1

dS

d

1

d .

3

3

1 х z 2

1 х 1 х у 2

2 у 2

S

до у 1 х.

учетом полученных границ имеем двойной интеграл

и

1

1

1 x

1

1

1 x

2

3

d

3

dy dx

3

2 у

dy

dx

С2

2

0 0

S 2

у

0 0

2 у

1

1 x

1

бА

1

2

1

1

1

1

3

dx

3

dx

3 ln1 x

x

0

0

0

1 x

2

2

0

1

3 ln2

.

2

ее точке Р

И

определяется положительное направление нормали еди-

ничным вектором n P , направляющиеДкосинусы которого являются

непрерывными функциями координат точек поверхности.

F Р Х x; y;z i Y x; y;z j Z x; y;z k ,

В

каждой

элементарной части Si выберем

по

одной точке

Ρ

х ; у

;z

и умножим скалярное произведение

F Р ,n P в этой

i

i i

i

i

i

n

.

(4.4)

F Ρ ,n P S

i

i 1

i

i

Обозначим через d Si

диаметр элементарной области Si , т. е.

расстояние

между

наиболее

удаленными

точками

этой

части;

d maxd Si

– наибольший из диаметров всех элементарных областей

i

данного разбиения.

Предел суммы (4.4), распространенный на все области Si , при

стремлен

к нулю д аметров всех таких площадок называется по-

верхностным нтегралом

обозначается символом

С

F,n dS .

(4.5)

S

Так м

, по определению,

n

и

F Ρi

,n Pi Si .

(4.6)

F

,n dS

lim

S

n

i 1

d 0

Каждое слагаемое суммы (4.4) по определению скалярного про-

изведения, равно

образом

S

F Ρ ,n P S

i

F Ρ n P cos F ,n

,

(4.7)

где cos F,n

S

i

i

i

i

i

i

i

i

– косинус угла между единичным вектором нормали

i

i

А

n Pi и

вектором

ва).

Рассмотрим задачу о вычислении потока жидкости через задан-

И

ную поверхность S, в каждой точке которой Р определён вектор ско-

и n P

S

S

С

Si cos n,z xy есть проекция площадки Si a

Произведение

Si cos n,z xy

(4.9)

Si cos n, y xz ,

Si cos n,x yz.

где xy

, xz , yz – проекции площадки Si на соответствующие

бА

коорд натные

.

На основан

этого интеграл (4.8) записывают также в другой

форме:

S

S

(4.10)

S

Д

Тогда неявное уравнение этой поверхности запишем в форме

С

f1 x,

y,z z f x, y .

Так как

f

f

f

f

f

и

1

1

grad f x, y,z

1

i

j

k

i

j k ,

1

x

y

z

x

y

то cos

1

.

1 zx' 2

z'y 2

По формуле (4.2)

d

d ,

cos

где d

– элемент проекции поверхности S на координатную плос-

кость x0y. Значит,

Д

бА1 z z

d

Z x; y;z cos dS Z x; y;z x; y

' 2

'

2

x

y

1 zx

zy

'

2

'

2

Z x; y;z x; y d .

(4.11)

ху

И

Если угол γ – тупой, то grad f x, y,z

f

f

1

x

y

случае

Z x; y;z cos dS Z x; y;z x; y d .

(4.12)

S

ху

Аналогично рассмотрим Y x; y;z cos dS . Перепишем неявное

S

уравнение поверхности F x, y,z 0

в виде

grad f2 x, y,z

f

2

f

2

f

2

f

f

i

j

k

i j

k ,

x

x

z

y

z

то

cos

grad f2,

j

1

.

'

2

'

2

grad f2

1 yx

yz

β – острый угол между 0y и grad f2 x, y,z .

проец руем поверхность S на координатную плоскость x0z и

Снайдем элемент

dS d

1 уx' 2 уz' 2

d .

cos

Тогда

поверхности

Y x; y;z cos dS

Y x; y x,z ;z d .

(4.13)

S

xz

Если β – тупой угол, то в правой части этого равенства будет

знак «минус».

Наконец, рассуждая аналогично, получим, что

бАХ x; y;z cos dS Х x у,z ; y;z d

(4.14)

S

уz

при условии, что угол (α – угол между осью 0x и нормалью к S).

2

Таким образом, из равенствД(4.11) – (4.14) следует, что вычисле-

ние поверхностного интеграла второго рода можно заменить вы-

И

верхности S на координатные плоскости: если направляющие коси-

нусы нормали к поверхности положительны, то

F,n dS Х x у,z ; y;z d

Y x; y x,z ;z d

S

уz

xz

Z x; y;z x; y d .

(4.15)

ный круг. Кроме того, левая и правая части параболоида имеют оди-

наковую проекцию хz на координатную плоскость x0z, но на правой

половине cos 0,

проекции на плоскость y0z (см. рис. 111).

И

Поэтому

z y2 d z y2 d

F,n dS

z x2 d

z x2 d

S

6d 6 r2

r 1

6 ,

ху