- •Введение
- •Глава 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
- •§1. Определение двойного интеграла
- •§2. Замена переменных в двойном интеграле
- •§3. Приложения двойного интеграла
- •1. Вычисление объёма цилиндрического тела
- •2. Масса материальной двумерной пластинки D
- •3. Площадь плоской фигуры
- •4. Координаты центра тяжести плоской пластины D
- •5. Момент инерции плоской пластины относительно координатных осей
- •Вопросы и задания для самопроверки
- •Контрольная работа по разделу «Двойные интегралы»
- •Глава 2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
- •§1. Понятие о тройном интеграле
- •§2. Замена переменных в тройном интеграле
- •2. Вычисление тройного интеграла в сферической системе координат
- •§3. Приложения тройных интегралов
- •1. Вычисление объёма тел
- •2. Вычисление массы трехмерной области V
- •Контрольная работа по разделу «Тройные интегралы»
- •Вопросы и задания для самопроверки
- •Глава 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- •§ 1. Криволинейные интегралы первого рода
- •1. Параметрическое задание дуги АВ
- •§ 3. Формула Остроградского – Грина
- •Глава 4. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- •§3. Поверхностный интеграл второго рода (от вектор-функции)
- •§4. Вычисление поверхностного интеграла второго рода (от вектор-функции)
- •§5. Формула Гаусса – Остроградского
- •Библиографический список
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для решения в аудитории |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1. |
|
Вычислить объем тела, |
ограниченного цилиндром x y2 и |
||||||||||||||||||||||||||||
плоскостями x z 1, |
z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
Вычислить |
|
объем |
тела, |
ограниченного |
|
сферами |
|||||||||||||||||||||
x2 y2 |
z2 |
|
1;x2 |
y2 |
z2 |
16 |
и конусом |
z2 x2 y2 (тела, лежа- |
|||||||||||||||||||||||
щего внутри конуса). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3. |
Найти коорд наты центра масс части однородного шара ра- |
||||||||||||||||||||||||||||||
диусом R с центром в начале координат, расположенного выше плос- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
кости 0ху. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
С4. коорд наты центра масс однородного тела, ограничен- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ного плоскостями x y z а; x 0; y 0;z 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5. Выч сл ть момент |
инерции |
относительно |
оси |
однородного |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
бА |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
круглого прямого конуса весом Р, высотой Н и радиусом основания R. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
1 1 |
|
1 |
||||||||||
1. V |
|
. 2. |
V |
|
|
|
|
|
|
C 0,0, |
R . 4. C |
a, |
a, |
|
a . |
||||||||||||||||
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
8 |
|
4 4 |
|
4 |
||||||||||
5. Iz |
|
3 P |
R |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
10 g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Контрольная работа по разделу «Тройные интегралы» |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. Расставить пределы интегрированияДв тройном интеграле |
|||||||||||||||||||||||||||||||
f х, y,z dxdydz, |
если область V ограничена указанными поверхно- |
||||||||||||||||||||||||||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
стями: |
|
x 2, y 4х, у 3 |
|
,z 0,z 4. Начертить область интегри- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
х |
рования. |
|
|
|
|
|
2. Вычислить с помощью тройного интегралаИобъём тела, огра- |
|||||
ниченного поверхностями z у2,х 0,z 0,x y 2. |
|||||
3. Вычислить y2 х2 dxdydz, |
где V ограничена поверхностя- |
||||
V |
|
|
|
|
|
ми: x2 y2 16, 1 |
x2 y2 |
z 1 |
|
x2 y2 |
. |
83
4. |
Вычислить |
массу |
|
тела, |
ограниченного |
поверхностью |
||||||
x2 y2 |
z2 4(x 0, y 0,z 0), если плотность задается функцией |
|||||||||||
х, у,z x2 y2 z2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Вариант 2 |
|
|
|
|||||
1. |
Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле |
|||||||||||
f х, y,z dxdydz, если область V ограничена указанными поверхно- |
||||||||||||
V |
x 1, y 3х, у 0,z 0,z 2 х2 у2 . |
|
|
|||||||||
стями: |
Начертить область ин- |
|||||||||||
Ся. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Выч сл ть с помощью тройного интеграла объём тела, огра- |
|||||||||||
ниченного поверхностями z 0; z x2;x 2y 2 0;x y 7. |
||||||||||||
тегрирован3. Выч сл ть |
|
|
1 |
|
|
|
dxdydz, где V ограничена поверхно- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
2 |
3 |
||||||||||
|
V |
|
y |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
стями x2 y2 16; 1 x2 |
y2 |
z 1 x2 |
y2 . |
|
||||||||
4. |
Вычислить |
массу |
тела, |
ограниченного |
поверхностями |
|||||||
4 x2 y2 z2 36; |
x 0; y х; z 0, |
если |
плотность задается |
|||||||||
функцией х, у,z y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
бА |
|
Вариант 3
1. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле
f х, y,z dxdydz, если область V ограничена указанными поверхно-
V |
|
стями: x2 y2 |
z; x 3; y х; у 0;z 0. Начертить область интег- |
рирования. |
Д |
2.Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями z y2; z 0;x 0;x y 2.
3.Вычислить y2 х2dxdydz, где V ограничена поверхностямиИ
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
36; 3 |
x2 |
y2 |
z 1 |
x2 y2 |
. |
|||||
4. |
Вычислить |
массу |
тела, |
ограниченного поверхностями |
|||||||
4 x2 y2 z2 36; |
x 0; y |
|
х; z 0, если плотность задается |
||||||||
3 |
|||||||||||
функцией х, у,z |
|
у2 |
|
. |
|
|
|||||
x2 y2 |
z2 |
|
|
84
|
|
|
|
Вариант 4 |
|
|
|
||
|
1 Расставить пределы интегрирования в тройном |
интеграле |
|||||||
|
f х, y,z dxdydz, если область V ограничена указанными поверхно- |
||||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стями: |
x 1; y 4х; у 3 |
х;z 0;z |
3y . Начертить область интег- |
||||||
рирования. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2. Выч сл ть с помощью тройного интеграла объём тела, огра- |
||||||||
ниченного поверхностями z 0; х 0;z y;x 4; y |
25 x2 . |
||||||||
|
3. Выч сл ть |
y2 х2dxdydz, где V ограничена поверхностя- |
|||||||
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
ми x2 y2 4; 3 x2 y2 z 8 x2 y2 . |
|
|
|
||||||
|
4. |
Выч сл ть |
массу |
тела, |
ограниченного |
поверхностью |
|||
x2 y2 |
z2 16(z 0), |
если |
плотность |
задается |
функцией |
||||
|
|
х2 |
|
|
|
|
|
|
|
х, у,z x2 y2 z2 . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Типовой расчет по теме "Тройные интегралы" |
|||||||
|
|
|
|
Вариант 1 |
|
zz |
|
|
|
|
1. Вычислить тройной интеграл |
|
|
|
|||||
x dxdydz, |
|
|
|
|
|
|
|
||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где V : y 10x; y 0; x 1, z xy; z 0. |
|
|
|
||||||
|
2. Найти объем тела, ограниченного |
|
|
|
|||||
поверхностями |
|
|
|
|
|
|
уу |
||
|
x2 y2 z2 4;x2 y2 z2(z 0). |
|
|
|
|||||
|
3. Вычислить массу тела, ограничен- xх |
|
|
|
|||||
ного |
поверхностями |
|
x2 y2 |
4; |
Рис. 69 |
|
|||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
Сx yиб2z;z 0 (рис. 69),АДИесли плот- |
|||||||||
ность задается функцией (x, y,z) x2 |
y2 . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
||
|
1. |
|
Вычислить |
тройной |
интеграл |
|
zz |
|
|
|||||||
x |
|
y |
|
|
z |
4 |
dxdydz, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
V 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где V : x y z 1; |
x 0; y 0; |
z 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3 |
|
4 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Найти объем тела, ограниченного по- |
|
|
|
|
|||||||||||
верхностями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
С |
2x;z 0; x z 2. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
y |
16 2x; |
y |
|
|
xх |
|
у у |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3. Выч сл ть массу тела, ограниченно- |
|
Рис. 70 |
|
||||||||||||
го |
|
|
|
|
|
|
z x2 |
y2;z 4 (рис. 70), |
|
|
||||||
поверхностями |
|
|
|
1 |
. |
|
|
|||||||||
если плотность задается функцией (x, y,z) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
|
|
|
|
|
||
|
1. |
Вычислить |
тройной |
интеграл |
15(y2 |
z2) dxdydz, |
где |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V :z x y; x y 1; x 0; y 0; z 0. |
|||||||
|
|
|
zz |
бА |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Найти объем тела, ограниченно- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
го поверхностями |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 5 x; y 5 x; z 0; z 5 |
3 |
x . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
xх |
|
|
|
|
|
|
|
уу |
|
3. Вычислить массу тела, |
ограни- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ченного поверхностями z 1 x2; |
x 1; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1; z 0 (рис. 71), |
если плотность за- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||
|
|
|
Рис. 71 |
|
дается функцией |
(x, y,z) 2x z . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
86 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 4 |
|
|
|
|
|||
1. |
Вычислить |
тройной |
интеграл |
(3x 4y)dxdydz; |
где |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
zz |
|
|
|
V :y x;y 0;x 1;z 5(x2 y2);z 0. |
|||||||
С |
|
|
2. Найти объем тела, ограниченного |
||||||||
|
|
поверхностями |
|
|
|
|
|||||
|
|
x y 2; y |
x ; z 12y; z 0. |
|
|||||||
|
|
3. Вычислить массу тела, ограничен- |
|||||||||
уу |
|
ного |
|
поверхностями |
x2 y2 |
4; |
|||||
|
|
|
|
||||||||
xх |
|
|
y 0( |
у 0); |
z 0; |
z 4(рис. 72), |
если |
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
плотность |
|
задается |
функцией |
||||
и(x, y,z) |
x2 y2 . |
|
|
||||||||
|
Р с. 72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 5 |
|
|
|
|
|||
1. |
Вычислить |
тройной |
интеграл |
(1 2x3) dxdydz, |
где |
||||||
V : y 9x; y 0; x 1; z |
xy ; z 0. |
|
V |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
бА |
|
|
||||||||
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями |
|
||||||||||
x 20 2y ; x 5 2y ; z 0 ; z y 1. |
|
|
z |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
||||||
3. Вычислить массу тела, ограни- |
И |
||||||||||
ченного поверхностями |
z 1 x2; |
x 0; |
|||||||||
y 0;y 1; z 0 (рис. |
73), если |
плот- |
|||||||||
ность задается функцией (x, y,z) y z. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xx |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 73 |
|
|
|
|
|
|
87 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1. Вычислить тройной интеграл (27 54y3)dxdydz, где |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V : y x; y 0; x 1; z |
|
|
|
|
; z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Найти объем тела, ограниченного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
поверхностями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
5 |
|
|
; x |
5 |
|
y ; z 0; z |
5 |
(3 |
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
y |
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
yповерхностями0; y 2; z 0 ( . 74), если плот- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3. |
Выч сл ть |
массу тела, ограни- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
бА |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ченного |
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
x |
; x 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ность |
|
|
задается |
|
|
|
|
|
функцией |
|
|
|
|
|
|
Рис. 74 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(x, y,z) y z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1. |
|
Вычислить |
тройной |
|
Д |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
интеграл |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
y dxdydz, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V : y 15x ; y 0; x 1, z xy ; z 0. |
|
И |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2. Найти объем тела, ограниченно- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||||||||||||||||||||
го поверхностями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x2 y2 2; x |
|
|
; x 0 , z 0; z 30y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
3. |
Вычислить массу тела, ограни- |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 75 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ченного |
|
поверхностями |
|
|
x 2;y 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
y 2;z |
0; |
z x |
(рис. |
75), |
|
если плотность задается функцией |
(x, y,z) x y z .
88
|
|
|
|
|
Вариант 8 |
|
|
|
|
|
||
|
z |
|
|
|
|
1. |
Вычислить |
тройной |
интеграл |
|||
|
|
|
|
(3x2 y2) dxdydz, где |
|
|
|
|||||
С |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
V : z 10y ; x y 1; x 0; y 0; z 0. |
||||||||||
|
|
|
2. Найти объем тела, ограниченного |
|||||||||
|
поверхностями |
|
y ; z 12 x ; z 0. |
|||||||||
|
|
|
x y 2; x |
|||||||||
zу |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|||
|
|
3. |
Вычислить |
массу |
тела, |
ограни- |
||||||
x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
ченного поверхностями x 0;y 0; |
y 1; |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
Р с. 76 |
|
|
z x2; |
z 2 x |
(рис. 76), если плотность |
||||||
|
|
задается функцией (x, y,z) 2y z. |
|
|||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Вариант 9 |
|
|
|
|
|
||
|
z |
|
|
|
|
|
1. Вычислить тройной интеграл |
|||||
|
|
|
|
(15x 30z) dxdydz, где |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V : z x2 3y2 ; z 0; y x; y 0; |
|||||||
|
|
|
|
|
x 1. |
|
|
|
|
|
||
|
|
бА |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2. Найти объем тела, ограничен- |
|||||
|
|
|
|
y |
ного поверхностями |
|
|
|
||||
x |
|
|
|
y 17 2x ; y 2 2x ; z 0 ; x z 1 . |
||||||||
|
|
Рис. 77 |
|
|
|
Д |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить массу тела, ограни- |
||||||
|
|
|
|
|
ченного поверхностями |
x y z 2; |
||||||
x 0; |
x 1; y 0; |
y 1; |
z 0 |
(рис. 77), |
если плотность задается |
|||||||
функцией (x, y,z) 2y z. |
|
|
И |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
89 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
|
Вычислить |
|
тройной |
|
|
интеграл: |
(4 8z3) dxdydz, |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|||||
где V : y x; y 0; x 1; z |
|
|
; z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Найти объем тела, ограниченного по- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
верхностями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y |
5 |
|
|
; y |
5 |
x ; z 0 ; z |
5 |
|
(3 |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
поверхностями(x, y,z) 2y z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3 |
|
9 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3. Выч сл ть массу тела, ограниченного |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 0; |
x y2 |
1; |
z 0 |
; z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
бА |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(рис. 73), если плотность задается функцией |
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 78 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1. Вычислить тройной интеграл |
(4 8z3) dxdydz, где |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V : y x; y 0; x 1; z |
|
xy |
; z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями |
|
|||||||||||||||||||||||
y |
5 |
|
|
; y |
5 |
x ; z 0 ; z |
5 |
(3 x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3 |
|
9 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить массу тела, ограни- |
И |
||
ченного |
поверхностями |
z 1 y; |
|
z 2 2y; |
y x2 (рис. 79), |
если плот- |
|
ность |
задается |
функцией |
(x, y,z) 2z x. |
|
|
y |
x |
|
||
|
|
||
|
|
|
|
|
Рис. 79 |
||
|
|
||
|
|
90
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
|
Вычислить |
|
тройной |
интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|||||||||||||||||||
21xz dxdydz, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где V : y x ; y 0; x 2; z xy ; z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2. Найти объем тела, ограниченного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
поверхностями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x y 4; y |
|
|
; z 3y ; z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||||||||||||||
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3. Выч сл ть массу тела, ограничен- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ного |
|
|
|
|
|
|
|
x 1; |
|
y 0; |
y x; |
|
|
|
|
|
Рис. 80 |
|||||||||||
z 0;z 1 ( |
. 80), |
если плотность зада- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ется функц ей (x, y,z) 2z y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
поверхностями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить тройной интеграл |
|||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 |
3y2) dxdydz, где |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V : z 10x ; x y 1; x 0 ; y 0; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
бА |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
2. Найти объем тела, ограничен- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ного поверхностями |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
y ; x 5 |
y ; z 0; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 81 |
|
|
|
|
|
|
Д6 18 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
5 |
(3 |
y |
). |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3. Вычислить массу тела, |
ограниченного поверхностями x 0; |
||||||||||||||||||||||||||
y 0; |
y 2; |
z 1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||||||||||||
|
(рис. 81), если плотность задается функцией |
(x, y,z) 2z y.
91
Вариант 14
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить тройной интеграл: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(60y 90z) dxdydz, где |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
V : y x; y 0; x 1; z x2 y2 ; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Найти объем тела, ограничен- |
|||||||||||||||
|
|
поверхностями |
y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
ного поверхностями |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р . 82 |
|
|
|
|
x 19 2y ; x 4 2y ;z 0; z y 2. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить массу тела, ограни- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ченного |
бА |
|
если плот- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z 4 y; |
y x2; |
z 0 (рис. 82), |
||||||||||||||||||||||
ность задается функц |
ей (x, y,z) z x y . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1. Вычислить тройной интеграл V |
10 |
5 |
) dxdydz, где |
|||||||||||||||||||||||||
|
( |
|
х |
|
|
||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
V : y 9x; y 0; x 1; z |
|
|
; z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
||||||||||||||||
|
2. Найти объем тела, ограниченного |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
поверхностями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|||||||||||||||||
x2 y2 8; x |
|
; x 0; z 30 y; z 0. |
|||||||||||||||||||||||||||
2y |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3. Вычислить массу тела, ограничен- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ного |
|
поверхностямиx 0; |
|
|
x y2 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
z 0; |
z 2 (рис. 83), если плотность зада- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ется функцией (x, y,z) z x y.
Рис. 83
92
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
Вычислить |
тройной |
|
|
интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(9 18z) dxdydz, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V : y 4x; y 0; x 1; z |
xy |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Найти объем тела, ограничен- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
поверхностями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ного поверхностями |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Сx y 4; x 2y |
; z |
5 |
x ; z 0. |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
бА |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
3. Выч сл ть массу тела, ограни- |
|
|
|
|
|
Рис. 84 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ченного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
x2 y2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x2 y2 |
9;z 0 |
|
(р с. |
84), |
|
|
|
если |
плотность задается функцией |
||||||||||||||||||||||||||
(x, y,z) |
x z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Вариант 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1. |
|
Вычислить |
тройной интеграл |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3y2 dxdydz, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|||||||||
V : y 2x ; y 0; x 2; z xy ; z 0. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
2. Найти объем тела, ограниченногоД |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
поверхностями |
|
; z 0; x z 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
y 6 |
3x |
; y |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3. Вычислить массу тела, ограни- |
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ченного поверхностями z x |
|
|
|
y ; |
z 4 |
|
|
|
|
|
Рис. 85 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
(рис. 85), если плотность задается функ- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
цией (x, y,z) |
|
|
x y |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
93
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
Вычислить |
тройной |
интеграл |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 dxdydz, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
z 10(x 3y) ; x y 1; x 0; y 0 ; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V : |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
рис |
2. Найти объем тела, ограниченного |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхностями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Сx2 y2 |
18; y |
3x |
; y 0; z 0; z |
5 |
x. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить массу тела, ограниченно- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
бА |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
го поверхностями |
z x2 |
y2; z 2 x2 y2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Р с. 86 |
( |
|
. 86), если плотность задается функцией |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x, y,z) |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Вычислить тройной интеграл |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8y 12z)dxdydz, где |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V : y x; y 0; x 1; z x2 y2 ; z 0. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Найти объем тела, ограниченного |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
И |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхностями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y 6; y 3x ; z 4y , z 0. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
3. Вычислить массу тела, ограничен- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ного |
|
поверхностями |
z x2 y2; |
z 0; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 87 |
|
|
|
|
2y x |
|
y (рис. 87), если плотность за- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дается функцией (x, y,z) |
|
|
x y |
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2
94
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
|
Вычислить тройной |
|
интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
63(1 2 |
y |
)dxdydz, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V : y x ; y 0; x 1; z |
|
xy |
; z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. Найти объем тела, ограниченного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
поверхностями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x 7 |
|
; x 2 |
|
|
; z 0; z y 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3y |
3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. Выч сл ть массу тела, ограни- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ченного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 4 x2 |
y2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
z 0 (р |
|
с. 88), если плотность задается |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
поверхностямиz |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 88 |
|
|
|
|||||||||||||||
функц ей (x, y,z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
|
|
Вычислить |
|
тройной |
|
интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(x2 y2)dxdydz, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
V |
|
|
бА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
V : x y z 1 x 0; y 0; z 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. Найти объем тела, ограниченного по- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
верхностями |
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 18; x 3y ; x 0; z 0; z |
y. |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Вычислить массу тела, |
ограниченного |
|
|
|
|
Рис. 89 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|||||||||||||
поверхностями y z 4; |
y x ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
z 0 (рис. 89), |
|
|
|
|
|
|
|
|
если плотность задается функцией (x, y,z) 2 y.
95
Вариант 22
1. Вычислить тройной интеграл (x y)dxdydz, где
V
V : y x; y 0; x 1; z x2 y2 ; z 0.
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями |
||
z |
z2 x2 y2 |
0 z 4 . |
|
и |
3. Вычислить массу тела, ограни- |
|||||||||||||||||||
С |
|
|
|||||||||||||||||||
|
ченного |
поверхностями |
x2 y2 4; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
1; |
z 0;z 2 |
(рис. |
90), |
если |
|||||||
|
|
|
|
|
бА |
|
|
|
|
функцией |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плотность |
|
задается |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
(x, y,z) |
x y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Вычислить |
тройной |
интеграл |
||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
хdxdydz, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V : y2 x2 2у ; z |
x2 y2 |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Найти объем тела, ограниченного |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхностями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 z2 a2;x2 y2 z2;z 0(z 0). |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
3. |
Вычислить |
массу |
тела, ограни- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ченного |
поверхностями |
z 0; |
z 2; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
х |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x x2 y2 |
(рис. 91), если плотность за- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Рис. 91 |
|
дается функцией (x, y,z) z |
x2 y2 |
. |
96
|
|
Вариант 24 |
|
|
|
|
|
|||
|
z z |
|
|
1. Вычислить тройной интеграл: |
||||||
С |
|
|
xydxdydz, где |
|
|
|
||||
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
V : z 1; y 0; x 0; z2 x2 y2 ; |
||||||||
|
|
z 0. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2. Найти объем тела, ограничен- |
||||||||
|
|
ного |
|
|
|
|
поверхностями |
|||
y |
|
4z x2 y2;x2 y2 z2 |
12 (внутри па- |
|||||||
|
|
раболоида). |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
х |
|
|
|
3. Вычислить массу тела, огра- |
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
Р с. 92 |
|
|
ниченного |
поверхностями |
z 2 y2 ; |
||||
|
|
|
x 1; |
x 1; |
z 0 |
(рис. |
92), если |
|||
|
|
|
|
|||||||
плотность задается |
|
(x, y,z) x. |
|
|
|
|
||||
функцией |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Вариант 25 |
|
|
|
|
|
|||
1. |
Вычислить тройной |
|
интеграл |
|
|
|
zz |
|
|
|
xdxdydz, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V : z x 3y ; x y 1; x 0; y 0 ; |
|
|
|
|
|
|
||||
z 0. |
бА |
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||
2. Найти объем тела, ограниченно- |
|
|
|
|
|
|
||||
го поверхностями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 a2;x y z 3a;z 0. |
|
|
|
|
|
|
уy |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
||||||
3. Вычислить массу тела, ограни- |
|
х |
|
|
|
|
||||
ченного |
поверхностями |
z 6 x2 y2 ; |
|
|
|
|
|
|
||
z2 x2 y2 (рис. 93), |
если |
плотность |
|
|
|
Рис. 93 |
|
|||
задается функцией (x, y,z) y. |
|
|
И |
|||||||
|
|
|
|
97 |
|
|
|
|
|
|