![](/user_photo/_userpic.png)
- •Введение
- •Глава 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
- •§1. Определение двойного интеграла
- •§2. Замена переменных в двойном интеграле
- •§3. Приложения двойного интеграла
- •1. Вычисление объёма цилиндрического тела
- •2. Масса материальной двумерной пластинки D
- •3. Площадь плоской фигуры
- •4. Координаты центра тяжести плоской пластины D
- •5. Момент инерции плоской пластины относительно координатных осей
- •Вопросы и задания для самопроверки
- •Контрольная работа по разделу «Двойные интегралы»
- •Глава 2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
- •§1. Понятие о тройном интеграле
- •§2. Замена переменных в тройном интеграле
- •2. Вычисление тройного интеграла в сферической системе координат
- •§3. Приложения тройных интегралов
- •1. Вычисление объёма тел
- •2. Вычисление массы трехмерной области V
- •Контрольная работа по разделу «Тройные интегралы»
- •Вопросы и задания для самопроверки
- •Глава 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- •§ 1. Криволинейные интегралы первого рода
- •1. Параметрическое задание дуги АВ
- •§ 3. Формула Остроградского – Грина
- •Глава 4. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- •§3. Поверхностный интеграл второго рода (от вектор-функции)
- •§4. Вычисление поверхностного интеграла второго рода (от вектор-функции)
- •§5. Формула Гаусса – Остроградского
- •Библиографический список
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O35x1.jpg)
7. Вычислить массу плоской пластины, ограниченной линиями x=0; x=2; y=1; y=4, если ее плотность в каждой точке равна абсциссе
этой точки, x2 2xy.
|
8. Вычислить массу квадратной пластины со стороной а, если ее |
|||||||||||||||
плотность в любой точке М пропорциональна квадрату расстояния от |
||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
этой точки до точки пересечения диагоналей, а в угловых точках |
||||||||||||||||
квадрата равна единице. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
9. Выч сл ть координаты центра масс однородной плоской фи- |
|||||||||||||||
гуры, лежащей в плоскости Оху и ограниченной линиями |
||||||||||||||||
линиями |
|
|
у2=–2х + 4. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у2 |
= 4х + 4; |
|
|||||
|
10. Выч сл ть координаты центра масс фигуры, ограниченной |
|||||||||||||||
|
|
|
у = х2; у2 = х, если плотность фигуры xy. |
|||||||||||||
|
11. Выч сл ть момент инерции относительно начала координат |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
бА3 4 4 |
|||||||||||
фигуры, огран ченной линией |
х2 |
+ у2 |
− 2х = 0, если её плотность |
|||||||||||||
3,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
12. Выч сл ть момент инерции относительно начала координат |
|||||||||||||||
и осей коорд нат пластины плотностью x2 y, |
лежащей в плоско- |
|||||||||||||||
сти 0ху и ограниченной линиями у = х2 и у = 1. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
||||
|
28 |
|
|
4 3 3 |
|
|
16 |
. |
|
3 |
1 |
|
2 |
|||
1. |
|
. |
2. |
|
|
|
|
. 3. |
1. 4. |
|
5. |
. 6. |
. |
7. 38. |
8. а /3. 9. хс = - 2/5, |
|
ус = 0. |
|
10. |
хс = 9/14, ус = 3/56. |
|
11. |
21π/4. |
12. I0 = 104/495, Ix = 4/33, |
|||||||||
Iy = 4/25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||
|
|
|
|
|
Вопросы и задания для самопроверки |
1.Приведите примеры задач, приводящих к понятию двойного интеграла.
2.Как определяется двойной интеграл?
3.Какие свойства двойного интеграла вы знаете?
4.Выведите формулу перехода от двойного интеграла к повтор-
ному.
5.Дайте понятие вычисления двойного интеграла в полярной системе координат.
6.Как вычислить массу неоднородной плоской пластинки?
7.Выведите формулу для вычисления объема тела.
35
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O36x1.jpg)
8.Выведите формулы координат центра тяжести плоской пластины D.
9.Выведите формулы для определения момента инерции плоской пластины относительно координатных осей.
Контрольная работа по разделу «Двойные интегралы» |
||
|
|
Вариант 1 |
1. Начерт ть область D и изменить порядок интегрирования |
||
С |
0 |
0 |
|
dy f (x; y)dx. |
|
|
3 |
y2 9 |
2. |
тела, ограниченного поверхностями |
Найти
|
y |
х; у х; z 0; z x 4 . |
3. Вычислить |
А |
|
|
|
|
объем
ду двумя окружностями x2 y2 9 и x2 y2 25.
|
Д |
|
4. Вычислить момент инерции относительно начала координат |
||
фигуры плотностью (х, у) = 1, ограниченной линиями |
||
|
х + у = 2; х = 2; у = 2. |
|
|
|
И |
5. Найти центр тяжести пластинки σ, ограниченной кривыми с |
||
поверхностной плотностью (x; y;z): |
|
|
: x2 y2 4;x2 y2 |
9; x 0;y 0(x 0;y 0); |
|
(y 4x) (x2 y2 ). |
|
|
36
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O37x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|||
1. |
Начертить область D и изменить порядок интегрирования |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 y |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
dy f (x; y)dx. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2y |
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Найти объем тела, ограниченного поверхностями |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
y 0; х 0; z 0; х 4; у 4;z 1 x2 у2 . |
|
|
|
|||||||||
и1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Сx4 |
2x |
2 y2 y |
4 |
dxdy, если область является |
|||||||||||||
3. |
Выч сл ть |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x2 |
y2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
бА |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
y 3x и |
||||||||||||
сектором круга x2 y2 |
36, ограниченного прямыми |
||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
x, расположенного в первой четверти. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
Вычислить координаты центра тяжести однородной пластин- |
||||||||||||||||
ки, ограниченной линиями x=0; y = 0; х = 4–у2; = const. |
|
|
|
||||||||||||||
5. |
Найти центр тяжести пластинки σ, ограниченной кривыми с |
||||||||||||||||
поверхностной плотностью (x; y;z) |
: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
||||||||
|
|
: x2 y2 1;x2 y2 25; x 0; y |
0(x 0, y 0); |
|
|
|
|||||||||||
|
|
(x 4y) (x2 y2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
|
И |
||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Начертить область D и изменить порядок интегрирования |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx f (x; y)dy. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Найти объем тела, ограниченного поверхностями |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
z2 ху; y 0; у 4;х 0,х 1; z 0. |
|
|
|
37
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O38x1.jpg)
3.Вычислить x2 y2 dxdy, если область является частью
xy
кольца, ограниченного окружностями x2 y2 25; x2 y2 16 и
прямыми x y; x 0 |
y 0 . |
С |
|
4. Вычислить координаты центра масс однородной фигуры, лежащей в плоскости 0ху и ограниченной линиями у=–х2 + 2х; у = 0.
5. Найти центр тяжести пластинки σ, ограниченной кривыми с поверхностной плотностью (x; y;z) :
и |
|
||||
: x2 y2 |
4;x2 y2 9; x 0; y 0(x 0; y 0); |
||||
(y 2x) (x2 y2). |
|
||||
бА |
|||||
|
|
|
|
|
Вариант 4 |
1. Начерт ть о ласть D и изменить порядок интегрирования |
|||||
|
|
|
|
1 |
2 x2 |
|
|
|
|
dx f (x; y)dy. |
|
|
|
|
|
0 |
x |
2 |
|
2 |
|
|
Д |
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями |
|||||
y 0; |
у 2х; у 6 х; z x2 у2; z 0. |
||||
3. Вычислить x2 |
4xy dxdy, если область ограничена дугой |
||||
|
|
|
|
|
|
окружности x |
y |
|
4 |
и прямыми y 0; y x и лежит в первой |
четверти.
4. Вычислить момент инерции относительно точки пересечения |
|
диагоналей прямоугольной пластинки со сторонами 4 и 6, если ее |
|
плотность (х, у) = 2. |
И |
5. Найти центр тяжести пластинки σ, ограниченной кривыми с |
|
поверхностной плотностью (x; y;z) : |
|
: x2 y2 4;x2 y2 16; |
x 0; y 0(x 0; y 0); |
(3x y)(x2 y2).
38
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O39x1.jpg)
|
|
|
Типовой расчет по теме "Двойные интегралы" |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 1 |
|
|
|
|
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования |
|||||||||
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy f (x;y)dx. |
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Выч сл ть: |
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) dy (6xy2 |
2)dx; |
|
|
|
|||||
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
25 x2 |
2 |
dy; |
|
|
|
||
|
2) dx |
|
y3 |
|
|
|
||||
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
3) (cos2x sin y)dxdy, где D: x 0; y 0; |
4x 4y ; |
||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
2xdxdy, где D : y x2; y 4;x 0; y 6; |
||||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
|
x2 y2 |
где |
|
|
||||
|
|
|
y |
|
dxdy, |
|
|
|||
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
||
D : x2 y2 4; |
|
|
|
|
|
у |
||||
|
6) xdxdy |
|
, где |
|
|
|
||||
|
D x2 y2 |
|
|
|
|
|
||||
D : x2 y2 6x . |
|
|
|
|
хх |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3. Вычислить массу матери- |
|
|
|||||||
СибАДИ |
||||||||||
альной |
пластины |
плотностью |
Рис. 32 |
|||||||
(x, y) x y , |
если она ограни- |
|||||||||
|
|
|||||||||
чена линиями (рис. 32) |
|
|
|
D : y x2; 2y x 3; x 0.
39
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O40x1.jpg)
Вариант 2
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования
С |
2 |
|
2 y |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
dy |
|
|
f (x;y)dx. |
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
y |
2 |
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Выч сл ть: |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) dy |
(2x y2 |
1)dx; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2) dx |
|
y2 |
dy; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) xdxdy, |
где D :треугольник с вершинами в точках |
||||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O(0,0),A(1,1),B(0,1) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4) |
dxdy |
|
, где |
D :y x2; |
y x 6; |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
D |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
бx y А2 2 2 2 |
|
|||||||||||||||||||
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy, где D |
: x |
y |
2y;x y 4y; |
|
|||||||
D |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
|
|
|
|
|
dxdy |
|
, где D :x2 |
y2 |
9; x 0; y x; четверть . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
D |
16 x2 y2 |
|
|
|
|
И |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
уу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить массу материаль- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной |
пластины |
плотностью |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x, y) x y , если она |
ограничена |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линиями (рис. 33) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D:x 1;y 3;y 1;x y 6. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хх |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 33
40
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O41x1.jpg)
Вариант 3
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования
С |
|
|
|
2 |
|
6 x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
dx |
f (x; y)dy . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
2x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2. Выч сл ть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
и |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1) |
1 |
dx |
4 |
cos2 ydy; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) dy |
б2 А |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(2x 4y3 |
1)dx; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3) (x 2y)dxdy, где D : y 2 x2; y 2x 1; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) ( |
x |
1)dxdy, |
|
|
|
|
|
|
уу |
|||||||||||||||
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где D:y x3; y |
x |
;x 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5) |
(x4 x2 y2 )dxdy |
, где |
|
|
|
И |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x2 y2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
D :x2 y2 1; y 3x; |
|
|
|
Д |
||||||||||||||||||||
y 0;перваячетверть ; |
|
|
|
|
|
|
хх |
|
||||||||||||||||
|
|
|
ydxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
Рис. 34 |
||||||||
6) D x2 y2 , где D : x |
y |
2y; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x2 y2 |
4y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Вычислить массу материальной пластины плотностью
(x, y) x y , если она ограничена линиями (рис. 34)
D: y 3x; y 0,5x;x 2.
41
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O42x1.jpg)
|
|
|
|
|
Вариант 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy f (x; y)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Выч сл ть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
dx |
1 x |
|
(x 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|
y3 |
dy; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) dy (4x y 3)dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) |
4xydxdy, где D: x 0; y 0; y 1;x y 2; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
2dxdy, где |
D : y x2; y x;x 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
D x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) y2 |
x2 |
y2 dxdy, где D : x2 |
y2 |
1; x2 y2 |
4; y 0; |
|
|||||||||
D |
|
|
|
бА |
|
|
|
|
|||||||
|
|
уу |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
6) |
xdxdy |
|
|
|
2 |
y |
2 |
2y. |
|
||
|
|
|
|
|
|
, где D : x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
D |
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Вычислить |
массу |
|
материальной |
|||||
|
|
|
|
|
|
Д |
если |
||||||||
|
|
|
|
|
пластины плотностью (x, y) x y , |
||||||||||
|
|
|
|
|
она ограничена линиями (рис. 35) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
х |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
D : y 4 x ;2x y 4; y 0. |
|
||||||||
|
|
Рис. 35 |
|
|
|
|
И |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O43x1.jpg)
|
|
|
|
|
Вариант 5 |
|
|
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования |
|||||||
|
|
|
|
3 |
3x |
|
|
|
|
|
|
dx f (x; y)dy. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
2. Выч сл ть: |
|
|
|
|
|||
|
3 |
4 x |
|
|
|
|
|
1) dx (4y 1)dy; |
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
С |
а |
x dx; |
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|||
2) |
3у2 1dу sin |
|
|
||||
|
1 |
x |
0 |
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
ey dxdy, где D : y2 x;x 0; y 1; |
|
|
|||
и |
|
|
|||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
4) |
2xydxdy, где D : x 0; y x2 1; y x 1; |
||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
5) |
x2 y2dxdy |
, где |
D : x2 y2 1;x2 y2 4; |
||||
xy |
|
||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
6) cos(бx y )dxdy, Агде |
|||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
D : x2 y2 4; y x; y x; y 0. |
у |
||||||
3. |
Вычислить массу материальной |
|
|
||||
пластины плотностью |
|
Д |
|||||
(x, y) x y, ес- |
у |
|
|||||
ли она |
|
ограничена линиями (рис. 36) |
|
|
|||
D : y 2x;x 5 y2; y 0. |
|
|
хх |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 36 |
|
|
|
|
|
43 |
|
|
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O44x1.jpg)
Вариант 6
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования
С |
6 |
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
dx |
f (x; y)dy. |
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2. Выч сл ть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1) |
dy |
(2x |
y2 |
1)dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
2x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2) dx |
|
|
|
dy; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
D |
бy А |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) xdxdy, где D:треугольниксвершинамиO(0,0), A(1,1),B(0,1); |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
dxdy |
|
, где D: y x2;y x 6; |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
D |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
Д |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy, где D:x2 y2 1;x2 |
y2 |
4; |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
|
dxdy |
, |
где |
|||
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
И |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 x2 y2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D : x |
2 |
y |
2 |
9;x 0; y x;первая четверть. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить массу материальной пла- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стины |
|
плотностью |
(x, y) x y, если она |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ограничена линиями (рис. 37) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D: y 2x; y |
x |
;x 3. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 37
44
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O45x1.jpg)
Вариант 7
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования
С |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy f (x; y)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. Выч сл ть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
х 1 dx 1 аdy; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
D |
|
|
бАx y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2) |
|
|
dy |
exdx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
2х у2 |
1dxdy, где D: у х 2; y 2; у 0;х 2; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) 3ху2dxdy, где D: х 0; y 2x; у 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
ху y2 dxdy |
|
2 |
|
2 |
|
х |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
где D : x |
|
y |
|
4; у |
|
|
|
|
;x |
|
y |
|
9; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y x;первая четверть; |
|
|
|
|
|
|
И |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6) D |
|
|
|
|
|
|
|
dxdy , |
Д |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
где D : х |
2 |
у |
2 |
2 |
х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|||||||||||||||
3. |
|
Вычислить массу |
материальной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
пластины плотностью (x, y) x y, |
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
она ограничена линиями (рис. 38) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 38
D :x y2 4; y 0; y 2 2x.
45
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O46x1.jpg)
Вариант 8
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
7 y |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy f (x; y)dx. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
y |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2. Выч сл ть: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
и |
|
|
|
|
||||||||||||
1) |
1 |
|
3dx |
|
2 |
3xy2 1 dy ; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Сx 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
6 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бА |
|
||||||||||||
2) dy |
2dx |
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||
3 2уху 4у3 dxdy, где D: у 2 |
х |
;х 0; у 4;х 1; |
||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
dxdy |
, где D : у х2 |
1;х y 1;х 0; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
D |
х2 1 |
|
|
|
|
|
Д |
||||||||
|
|
|
х |
у 1 dxdy |
|
|||||||||||
5) |
|
|
, где D: х2 у2 4; первая четверть; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
D |
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) е х2 у2 dxdy, где D : х2 у2 1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить массу материальной |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пластины плотностью |
(x, y) x y, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если она ограничена линиями (рис. 39) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D : y xИ; y 0,25x ;x 2. |
Рис. 39
46
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O47x1.jpg)
Вариант 9
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования
С |
|
4 |
|
|
4 y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
dy |
f (x; y)dx. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
4 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Выч сл ть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) 2х 1 dx |
у |
dy; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бА |
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) dy |
|
|
3 |
|
2x |
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
4уdxdy, где D : х2 |
у 1 2;х 4y 1 0;х 0;х 4; |
|||||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) х2 |
у dxdy, где D: у х; y 2х; у 4; |
||||||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
|
хdxdy |
, |
где D : x2 y2 2у;x2 |
y2 6у; |
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
D x |
2 |
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6) sin x2 y2 dxdy, где D : x2 y2 |
4; у |
х |
|
; y x;первая |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
четверть. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Вычислить |
|
массу |
матери- |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
у |
|
||||||||||||||||||||||
альной |
|
пластины |
|
|
плотностью |
|
|
|
|
|
|
|
(x, y) x y , если она ограничена линиями (рис. 40)
D : y 0,25x2; y 0,5x; y 4.
хх
Рис. 40
47
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O48x1.jpg)
Вариант 10
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования
|
|
|
|
|
|
1 |
y |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx f (x; y)dy. |
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
y2 |
|||||
2. Выч сл ть: |
|
|
|
|||||||||
и |
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
1) ex 1dx cos |
|
dy ; |
|
|
|
|||||||
С0 0 |
2 |
|
|
|
|
|||||||
e |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
2) |
ln y |
dy |
5 |
x 1 4 dx |
; |
|
|
|||||
|
||||||||||||
|
|
бА |
||||||||||
1 |
|
y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
3) 2х 3 dxdy, где D : у х2; y 0; у 4;х 6; |
||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
х2 |
dxdy, |
|
|
|
|
у |
|
||||
|
|
|
|
|||||||||
D |
у2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Д |
||||||||
гдеD: y 2х; у х;х 2; |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||
5) cos x2 |
y2 dxdy, |
|
|
|
||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Вычислить массу материальной Ипластины плотностью
(x, y) x y , если она ограничена линиями (рис. 41)где
D : y x2; y (x 4)2; y 0.
48
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O49x1.jpg)
Вариант 11
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования
4 |
x |
dx f (x; y)dy.
С |
0 |
|
|
x |
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
4 у2 |
|
|
|
|
|
|
||||
1) dy |
|
4хdx; |
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
5у4 2ух2 |
dy; |
|
|
|
|
|
||||
2) dx |
|
|
|
|
|
|||||||
у |
бА |
|||||||||||
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и3) х 1 dxdy, где D : у 2 х2; y х 1;х 0; |
||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
х2 |
dxdy, где |
D: у |
х |
хy 2; |
х 4; |
||||||
у2 |
|
; |
||||||||||
D |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
|
х |
у dxdy |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
x2 y2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
где D : x2 y2 9; у х;х 0;третья |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
четверть; |
|
|
|
И |
|||
|
|
|
хх |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Дx х у |
|||||||
|
|
|
|
|
6) |
|
|
|
|
|
|
dxdy, |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
Рис. 42 |
|
|
где |
D : x2 y2 4. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить массу материаль- |
|||||||
ной пластины плотностью (x, y) x y |
, если она ограничена ли- |
|||||||||||
ниями (рис. 42) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D :2x y 2; y2 4 x; y 0.
49
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O50x1.jpg)
Вариант 12
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования
С |
|
1 |
5x |
||||||||
|
dx f (x;y)dy. |
||||||||||
|
0 |
x |
|||||||||
2. Вычислить: |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
1) dx 3x2 y 2 dy; |
|
|
|
||||||||
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
и |
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
y |
2 dx |
|
|
|
|
|||
2) cos |
|
dy |
x2 |
; |
|
|
|
||||
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
||||
3) |
|
бА |
|||||||||
х 2у dxdy, |
|
|
|
||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где D : у 2 х2; |
y 2х 1; |
|
у |
|
|||||||
|
|
|
2х |
|
|
|
|
|
|
||
4) |
|
|
|
|
4у 1 dxdy, |
|
|
|
|||
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
где D : у х2; y х2;х |
1;х 2; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5) |
|
|
|
хdxdy |
|
, |
|
|
хх |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
D |
x2 y2 |
Д |
||||||||
где D : x2 y2 2у; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6) |
|
x2 y2 |
dxdу, |
|
|
|
|
||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
где D : x2 y2 1. |
Рис. 43 |
|
И |
||
|
3.Вычислить массу материальной пластины плотностью
(x, y) x y , если она ограничена линиями (рис.43)
D : y x2; y x2;x 2.
50
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O51x1.jpg)
Вариант 13
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования
С |
1 |
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
dx |
f (x;y)dy. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. Выч сл ть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
dx |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) |
x |
2 |
|
|
3y2 2 dy; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бА2 2 |
|
|
|
|||||||||||||||
2) cos |
y |
dy 3 |
xdx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) 2хdxdy, где D: у 2х; y |
х |
; у 1; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) у 1 dxdy, где |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D : у х2 1; y 0; |
||||||||
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
|
|
, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где D : x2 y2 |
у; вторая четверть; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
Д |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) sin |
x |
|
y dxdy, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
x2 y2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где D : x2 y2 |
1. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
Рис. 44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить массу материаль- |
|||||||
ной пластины плотностью (x, y) x y , |
если она ограничена ли- |
|||||||||||||||||||||
ниями (рис. 44) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D: y 2x 4; y x; y 4.
51
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O52x1.jpg)
|
|
|
Вариант 14 |
|
||||
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования |
||||||||
|
|
|
2 |
|
4 y |
|
|
|
|
|
|
dy |
|
f (x;y)dx. |
|
||
|
|
|
1 |
|
4 y |
|
|
|
2. Выч сл ть: |
|
|
|
|
|
|||
2 |
6 y |
2 dx; |
|
|
|
|
|
|
1) dy |
|
|
|
|
|
|||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
С1 1 |
|
|
|
|
|
|||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2) dx 3х2 4у dy; |
|
|
|
|
||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
х; у |
х; х 4; |
||||
3) 2ху 4у3 dxdy, где D: у 2 |
||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
4) ехdxdy, где D: у х; у 0; х 1; |
|
|||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
х у dxdy |
, |
|
|
|
|
||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
D |
бАx y у |
|||||||
где D : x2 y2 |
8х; |
|
|
Д |
||||
6) еx2 y2 dxdу, |
|
|||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
где D : x2 |
y2 |
4. |
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
||||
3. Вычислить |
массу материаль- |
|
Рис. 45 |
|||||
И |
||||||||
ной |
пластины |
плотностью |
||||||
|
|
|||||||
(x, y) x y, если она ограничена линиями (рис. 45) |
||||||||
|
|
D: y 0; y 3;x y 1;x 2. |
||||||
|
|
|
|
|
52 |
|
|
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O53x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
Вариант 15 |
|
|
||
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
f (x; y)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 y2 |
|
|
|
2. Выч сл ть: |
|
|
|
|
|
|
||||
1) dx |
4 |
dy |
2 |
dx |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
С |
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
1 |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
х 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) dx |
2ухdy; |
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
3) х у dxdy, |
|
||||||||
у |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где D: у 0; у 1; у х; у х 2; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4) 2уdxdy, где D: у х3; у |
х; |
||
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
бА2 2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5) x y |
dxdy, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хх |
где D : x2 |
y2 1; x2 y2 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
4у. |
||
|
|
|
|
|
|
|
6) |
dxdу |
, где D : x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
x2 y2 |
|
|
|
Рис. 46 |
|
|
3. Вычислить массу материальной |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
пластины плотностью |
(x, y) x y, если онаИограничена линиями |
|||||||||
(рис. 46) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D : y 1 x2;3x y 3;x 0. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O54x1.jpg)
Вариант 16
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy f (x;y)dx. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
y2 4 |
|
|
|
|
|
|
2. Выч сл ть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
2х |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) dх |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
С0 1 у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
х |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
бА |
||||||||||||||||||||||||
2) dx |
|
|
2 |
ухdy |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
dy |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2) |
у 1 2 |
3х |
|
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3) 2ху3 |
3х dxdy, где D: у 3;х 0; у2 х; |
||||||||||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) хdxdy, где D : у 2х х2; у 0; |
у х 2; |
||||||||||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
хуdxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где D : x2 y2 8х; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уу |
И |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
2 |
|
y |
2 |
||||||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6) е |
x2 y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdу, где D : x |
|
Дy 9; |
|||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хх |
|
|
x y;х 0; третья четверть. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3. Вычислить массу материальной |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
пластины плотностью (x, y) x y, ес- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ли она ограничена линиями (рис. 47) |
|
|
Рис. 47 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
D: y x; y 3; y 0,25x. |
|
|
|
|
|
|
54
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O55x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
Вариант 17 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
4 |
|
8 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
dx f (x; y)dy. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Выч сл ть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) dу х у 5dy; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
1 |
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) dx sin |
dy; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
х;х 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) ху dxdy, где D |
: у |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) х |
уdxdy, где D : у 4 х2; у 0;первая четверть; |
|
|
||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
у |
x2 y2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
dxdy, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
бА |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
где D : x2 y2 |
2х; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
6) |
x |
y dxdу |
, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
D |
x |
2 |
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
||||||
|
|
|
|
где D : x2 |
y |
2 |
4;x2 |
y2 9; у х; у 0; |
|||||||
|
|
|
|
|
первая четверть. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
х |
|
|
|
|
3. Вычислить |
массу материальной |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
пластины плотностью (x, y) x y |
, |
ес- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||
|
|
|
|
ли она ограничена линиями (рис. 48) |
|
|
Рис. 48
D: y 6; y 0;x 1;x 6. x
55
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O56x1.jpg)
Вариант 18
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 y |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
f (x;y)dx. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Выч сл ть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1) |
2 |
|
|
e |
6ln2 |
у |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
хdx |
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
С1 1 e |
|
|
|
1dy; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) dx 4ух 3у2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
бАх у |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
хsin уdxdy, где D: х у ;х 0; у 0; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
2у |
dxdy, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
D |
|
х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где D: у 2х;ху 1;х 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Д |
|
|
|
|
|||||||||||||||
5) |
|
|
|
2 |
|
|
|
dxdy, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x2 y2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
где D : x2 |
|
y2 |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 49 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6) |
|
х x |
2 |
y |
2 |
dxdу |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где D : x2 y2 |
2у; первая четверть. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
3. |
Вычислить массу |
материальной Ипластины плотностью |
(x, y) x y , если она ограничена линиями (рис. 49)
D: y 0,5x2; y 2 x; y 2. 3
56
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O57x1.jpg)
|
|
|
|
Вариант 19 |
|
|
|
||
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования |
|||||||||
|
|
|
|
2 |
3 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
f (x;y)dy. |
|
|
||
|
|
|
|
0 |
x2 1 |
|
|
|
|
2. Выч сл ть: |
|
|
|
|
|
||||
2 dx 1 |
у |
|
|
|
|
|
|||
1) |
2 |
sin |
|
dy; |
|
|
|
|
|
С1 х 0 2 |
|
|
|
|
|
||||
е |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2) dу |
3 х 1dy; |
|
|
|
|
|
|||
1 |
у |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
у; у 2; |
|
||||||
3) |
1 х dxdy, где D : у х;х |
|
|||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
хdxdy |
|
, где D : у х; у х;х 2; |
|
|
||||
D |
х2 у2 |
|
2 |
|
хdxdy |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
у |
|
|
|
|
|
5) |
D x2 y2 , |
|
|
у |
бА |
|
|||||||
|
y2 16 |
||||||||
|
|
|
|
|
где D : x2 y2 |
9;x2 |
|||
|
|
|
|
|
|
6) |
cos |
x2 y2dxdу |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
2 |
|
|
|
|
|
|
Дx y |
||||
|
|
|
|
|
где D : x2 y2 |
9 2 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
х |
|
3. ВычислитьИмассу матери- |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
альной |
пластины |
плотностью |
||
|
|
Рис.50 |
(x, y) x y, если она ограничена |
||||||
|
|
линиями (рис. 50) |
|
||||||
|
|
|
|
D : y 1 2x; y 4 x2;x 0. |
|
||||
|
|
|
|
|
57 |
|
|
|
|
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O58x1.jpg)
Вариант 20
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования
С0 х |
|
|
3 |
|
9 y2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
dy |
f (x;y)dx. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 y |
|
|
|
|
|
|
|
2. Выч сл ть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
2х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) dx х у 2 dy; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4 |
|
у |
|
у2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
бА |
|
|
|
||||||||||||||||
2) dу |
|
2 |
|
у |
2 |
dy ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
0 х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) х у dxdy, где D: х 0; у 0;х у 3; |
|
|
|
|||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) хуdxdy, где D : у х 4; у2 2х; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5) |
|
x2 y2 |
dxdу |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где D : x2 |
y2 |
4; |
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
И |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6) |
уdxdу |
, где D : x2 |
y2 2х; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
D x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
||||||||||
x2 y2 4х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Вычислить массу материаль- |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
хх |
|
|
|||||||||||||||
ной |
пластины |
плотностью |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(x, y) x y |
|
, |
|
если |
она |
ограничена |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
линиями (рис. 51) |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 51 |
|
|
|
D : y x2;3x 5y 26; y 1.
58
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O59x1.jpg)
|
|
|
|
Вариант 21 |
|
|
|
|
|||
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
6 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx f (x;y)dy. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
2x |
|
|
|
|
|
|
2. Выч сл ть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) dx |
еу 2dy; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
е |
|
y |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2) sin |
dу 5 x |
1 dy; |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
4 |
|
2 |
|
|
|
||||
у х |
|
; y x ; у 4; |
|
|
|||||||
3) 4 |
х |
y dxdy |
, где D : |
|
|
|
|||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
y dxdy, где D: у х; у 2x;х 2; |
|
|
|
|||||||
D x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
xydxdу |
3 |
, |
|
уу |
|
|
|
|
|
|
D |
x2 y2 |
|
||
|
бА |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
где D : x2 y2 4; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
6) |
|
x2 y2 9dxdу, |
||
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
||||||
|
|
|
|
|
где D : x2 y2 16. |
|
|||||
|
|
|
|
хх |
|
3. Вычислить массу матери- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Рис. 52 |
|
альной |
|
пластиныИплотностью |
|||||
|
|
|
|
|
(x, y) x y , если она ограничена |
||||||
линиями (рис. 52) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
D : y x2; y 4; y 0;x 6. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
59 |
|
|
|
|
|
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O60x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 22 |
|
|
|
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx f (x;y)dy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2. Выч сл ть: |
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
||
С |
|
х dy; |
|
|
|
||||||||
1) |
|
dу |
|
|
|
6 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
1 |
|
|
1 |
|
хех |
2у dy; |
|
|
|
|||
dx |
|
|
|
|
|
||||||||
и0 0 |
|
|
|
||||||||||
3) |
2у х 4 dxdy, где D: х 0; y 6; у 2х; |
||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
2х 1dxdy, |
|
|
|
|||||||||
|
D |
|
|
|
у |
|
|
|
|
у |
у |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
х2 |
|
|
|
|
где D : х 2;бАу x ; у ; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
5) |
|
уdxdу |
|
, где D : x2 y2 10х; |
|
|
|||||||
|
D |
|
x2 y2 |
|
Д |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6) |
|
|
|
2 |
|
2 |
dxdу , |
|
|
хх |
|||
|
x |
|
|
y |
|
|
И |
||||||
|
D |
|
|
|
|
|
х2 |
|
|
|
|
||
где D : x2 y2 |
4;у 0;x2 y2 |
9; |
|||||||||||
у х; первая четверть. |
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
3. |
Вычислить массу материальной |
|
|
||||||||||
пластины плотностью (x, y) x y, ес- |
|
Рис. 53 |
|||||||||||
ли она ограничена линиями (рис. 53) |
|
||||||||||||
|
|
D: y 2x;x 3; y x 3.
60
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O61x1.jpg)
|
|
|
|
Вариант 23 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования |
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx f (x;y)dy . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Выч сл ть: |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) dy (4xy 1)dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) dx ysin ydy; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и3) хуdxdy, где D: х 0; y 2;х 1; у |
х ; |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) D |
dxdy |
|
|
|
|
3 |
|
|||
|
у |
у |
|
у |
|
, где D : ху 6; у 2 х; у 6 |
; |
|||||||
|
|
|
|
5) |
хуdxdу |
, где D : x |
2 y2 |
2х; |
|
|||||
|
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
бА |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
первая четверть; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
6) |
х2dxdу |
, где D : x2 y2 |
1; |
|
||||||
|
|
|
|
x |
2 y |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Д |
|
|||||||||
|
|
|
|
x2 y2 |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
х |
3. |
Вычислить массу материальной |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
Рис. 54 |
|
пластины |
плотностью |
(x, y) x y, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||||
|
|
|
|
если она ограничена линиями (рис. 54) |
|
D : y x2; y x 6;x 0.
61
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O62x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 24 |
|
|
|
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
f (x;y)dy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
2. Выч сл ть: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 dx |
|
1 x |
(x 1) dy |
; |
|
|
|
|
|||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Сy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) dy (4x y 3)dx; |
|
|
|
||||||||||||
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и |
|
|
|
||||||||||||
3) |
4хуdxdy, где D: х 0; y 0; у 1;х у 2; |
|
|||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) D х dxdy, где D : у х2; y х; |
у у |
|
|||||||||||||
х 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
бА |
|
|||||||||||||
5) у |
|
|
x |
|
|
y |
|
dxdу, |
|
|
|
|
|||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где D : x2 y2 |
1; |
|
x2 y2 4; у 0; |
|
|
||||||||||
|
|
|
хdxdу |
|
|
|
|
|
|
Д |
хх |
||||
6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
, где D : x2 y2 2y. |
ИРис. |
|||||||||||
D |
|
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Вычислить массу материальной |
|||||||||||||||
пластины |
|
|
плотностью |
|
(x, y) x y, |
||||||||||
если она ограничена линиями (рис. 55) |
|
|
D: x 2;5x 4y 21;2x 3y 13.
62
![](/html/65386/418/html_X97NBgmahw.o2iC/htmlconvd-mnXg4O63x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 25 |
|
|
|||
1. Начертить область D и изменить порядок интегрирования |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx f (x;y)dy. |
|
|
|||
2. Вычислить: |
0 |
x2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
||
1) dx cos2 ydy; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
у |
2х 4у3 1dх; |
|
|
|
|
|
||||
2) dу |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
х 2у dxdy, |
|
|
|
|
|
||||||||
иD |
|
|
|
|
хх |
|||||||||
где D : у 2 х |
2 |
; |
y 2х 1; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4) |
|
|
|
|
|
|
|
: у х |
; |
|
|
|||
|
|
у |
2 |
1 dxdy, где D |
|
|
|
|||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y х;х 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
бА |
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||
5) |
х |
2 х2у2 |
|
|
|
|
Рис. 56 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
dxdу, |
|
|
|
||||
|
D |
|
x2 y2 |
|
Д |
|||||||||
где D : x2 y2 |
1; |
у |
|
|||||||||||
3х; у 0; первая четверть; |
|
|||||||||||||
6) |
|
|
уdxdу |
, где D : x2 y2 2y;x2 y2 4y. |
|
|||||||||
|
D |
|
x2 y2 |
|
|
|
|
И |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Вычислить |
массу |
материальной |
пластины |
плотностью |
|||||||||
(x,y) x y, если она ограничена линиями (рис. 56) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D : у 2х;x 2; y х2. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63 |
|
|
|
|