Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1276 вузов, 4769 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
2276.pdf
Скачиваний:
43
Добавлен:
07.01.2021
Размер:
4.86 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Глава 4.

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§1. Поверхностный интеграл первого рода

С

(по площади поверхности)

F x; y;z есть функция, непрерывная на некото-

Пусть F M

рой гладкой поверхности. Поверхность называется гладкой, если в каждой ее точке существует касательная плоскость, непрерывно изменяющаяся вдоль поверхности. Разобьем эту поверхность на элементарные Si,i 1,...,n. В каждой элементарной части Si вы-

берем по одной точке Ρi хi; уi;zi и умножим значение функции F в

этой точке на площадь Si элементарной части.

Определен е 1. Сумма таких произведений по всем элементар-

ной частям

 

 

 

 

 

 

 

 

части

 

 

 

 

 

 

 

 

n

хi; уi;zi Si

 

 

 

 

 

F Ρi

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

называется интегральной суммой.

 

 

 

 

 

Обозначим через d Si диаметр элементарной области Si , т. е.

расстояние

между

наиболее

удаленными

точками

этой

части;

d maxd Si

– наибольший из диаметров всех элементарных областей

i

бА

 

 

данного разбиения.

 

 

 

 

 

 

 

Определение

2. Поверхностным

интегралом

первого

рода

 

 

 

Д

 

F x;y;z dSот функции F (М) по площади поверхности S называет-

S

 

 

 

 

 

 

 

 

ся предел интегральных сумм при неограниченном увеличении числа

элементарных сегментов, т.е. когда все элементарные сегменты стя-

гиваются в точку

 

 

 

 

 

 

 

 

F x; y;z dS

 

n

 

; уi;zi Si .

 

 

lim

F Ρi хi

(4.1)

 

S

 

n

i 1

И

 

 

 

d 0

 

 

 

 

 

Будем считать, что функция z z x; y дифференцируема в любой точке – проекции S на плоскость х0у , то есть в любой точке S можно провести касательную плоскость.

153

Поверхностный интеграл по площади поверхности обладает свойствами, аналогичными свойствам криволинейного интеграла по длине дуги (см. гл. 3, §1).

Если F x; y;z означает поверхностную плотность массы мате-

риальной поверхности а, то интеграл (4.1) определяет массу всей по-

С

 

 

верхности; и по формулам, аналогичным формулам § 3 гл. 2 , вычис-

ляются координаты центра тяжести и моменты инерции этой поверх-

ности.

 

 

иdS

 

 

§2. Выч слен е поверхностного интеграла первого рода

z

 

 

бА

 

S

 

 

0

d

y

x

Д

 

Рис. 106

 

(рис. 106). Для этого вспомним известный фактИиз дифференциальной геометрии: если – проекция плоской области с площадью D, тоDcos , где – угол между плоскостями области и проекции этой

Предположим, что поверхность S однозначно проектируется на какую-либо координатную плоскость, например, на плоскость х0у и

область на этой плоскости является ее проекцией. Выразим элементарный сегмент поверхности dS через его проекцию d

области.

Проведем в произвольной точке выбранного элемента поверхности dS касательную плоскость и пусть dD – та её часть, которая

154

проецируется на d . Так как функция z z(x; y) дифференцируема,

то площадь элемента dS dD

d

 

, где – угол между касатель-

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ной плоскостью и плоскостью х0у, который равен углу между их

нормалями.

 

 

 

 

 

 

 

перепишем уравнение поверхности S в

Для вычисления cos

 

неявном в

де,

т.е. U x; y;z z z(x; y) 0. Тогда нормаль касатель-

ной плоскостиNкас совпадает с вектором gradU , который вычисляется

по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

U

 

 

 

U

U

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

Nкас

gradU

 

 

 

i

 

 

 

 

 

j

 

 

 

k zxi

zy

j 1 k .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вектор

плоскости x0yпараллелен оси 0z. Следователь-

нормали

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

но, можно взять в качестве нормали вектор k 0;0;1 . Воспользовав-

шись формулой

 

 

Nкас

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nкас

 

k

 

 

 

 

zx'

2 zy' 2 12

 

 

 

получим

бА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

dS

d

 

 

 

1 zx'

 

 

z'y

d .

 

 

 

(4.2)

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как

в точках

поверхности

S,

определяемой

уравнением

z z(x; y),

функция

 

 

 

F M F x; y;z

 

 

принимает

значения

F x; y;z F x; y;z x; y ,

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

 

то поверхностный интеграл первого рода

может быть сведен к двойному интегралу по формуле

 

 

 

F x; y;z dS F x; y;z x; y 1

z' 2

z' 2d .

 

(4.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

Замечание. Если поверхность S удобно спроектировать на другую координатную плоскость, то формула (4.3) изменится соответствующим образом.

Замечание. В более сложных случаях, когда поверхность кусоч- но-гладкая или неоднозначно проектируется на координатные плос-

155

кости, ее разбивают на гладкие части, однозначно проектирующиеся на одну из координатных плоскостей, а интеграл (4.1) разобьется на сумму интегралов по этим частям.

Пример 1. Вычислить

 

х2

у2

dS, где S – часть конической

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

расположенной

 

 

между

 

 

плоскостями

поверхности

z2 х2 у2 ,

 

 

 

 

 

z 0и z 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бА2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

0

 

 

 

 

 

2

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 107

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

Решение. Из уравнения данной поверхности находим, что для

рассматриваемой части z

 

х

у

и проекцией её на плоскость х0у

является круг

х2 у2 4,

 

так как проецируется та часть плоскости

z 2,

которая

вырезается

 

из

неё

 

 

конической

 

 

поверхностью

(рис. 107). Найдем частные производные:

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zх'

х2 у2 х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, z

'у

х2 у2 х

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х2 у2

 

 

 

 

х2 у2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

2

 

 

 

 

у

 

 

 

2

 

 

2

у

2

 

1 z' 2 z' 2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 х

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

x

y

 

 

 

 

 

х

2

 

у

2

 

 

х

2

у

2

 

 

х

2

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому по формуле (4.3) имеем

156

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х2

у2

dS

 

2

 

 

х2 у2 dxdy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученный двойной интеграл удобно находить в полярной

 

системе координат. Введем полярные координаты. Уравнение окруж-

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ности в полярных координатах примет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rcos 2

rsin 2

4;

r2 cos2 r2 sin2 4;

 

r2 1 4

 

или

 

окончательно

 

меем r 2.

Следовательно, r изменяется в границах

 

0 r 2, а для угла φ получим 0 2 . С учетом полученных гра-

 

ниц

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

8 2

 

 

 

 

 

16 2

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

2

 

 

 

3

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

х

 

у

 

dxdy

2

r

 

dr d

 

 

 

 

r

 

 

 

0d

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

3 0

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

бА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пр мер 2.

Выч слить

 

1 х z 2

dS, где S

– часть плоскости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х у z 1, заключенная в первом октанте (рис. 108).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 108

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

Запишем

уравнение

 

данной

плоскости

 

 

в

 

виде

 

z 1 х у.

 

Так

как

'

 

1 х

 

 

 

1;

 

z

'

 

 

 

 

 

 

 

 

1, то

 

 

zх

у х

 

у 1 х у у

 

получим

1 zx' 2 z'y 2 1 1 2 1 2 3.

157

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности