- •Введение
- •Глава 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
- •§1. Определение двойного интеграла
- •§2. Замена переменных в двойном интеграле
- •§3. Приложения двойного интеграла
- •1. Вычисление объёма цилиндрического тела
- •2. Масса материальной двумерной пластинки D
- •3. Площадь плоской фигуры
- •4. Координаты центра тяжести плоской пластины D
- •5. Момент инерции плоской пластины относительно координатных осей
- •Вопросы и задания для самопроверки
- •Контрольная работа по разделу «Двойные интегралы»
- •Глава 2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
- •§1. Понятие о тройном интеграле
- •§2. Замена переменных в тройном интеграле
- •2. Вычисление тройного интеграла в сферической системе координат
- •§3. Приложения тройных интегралов
- •1. Вычисление объёма тел
- •2. Вычисление массы трехмерной области V
- •Контрольная работа по разделу «Тройные интегралы»
- •Вопросы и задания для самопроверки
- •Глава 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- •§ 1. Криволинейные интегралы первого рода
- •1. Параметрическое задание дуги АВ
- •§ 3. Формула Остроградского – Грина
- •Глава 4. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- •§3. Поверхностный интеграл второго рода (от вектор-функции)
- •§4. Вычисление поверхностного интеграла второго рода (от вектор-функции)
- •§5. Формула Гаусса – Остроградского
- •Библиографический список
|
|
2. Вычислить тройной интеграл |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dxdydz, ес- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V 1 x2 y2 z2 |
|
|
|
||||||||
ли область V ограничена сферой x2 y2 z2 |
1 и плоскостями |
х = |
||||||||||||||||||||||
0; у = 0; z = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 dxdydz, если область |
||||||||||||||
|
|
3. Вычислить тройной интеграл x2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
V огран чена сферами x2 y2 z2 |
1; x2 y2 z2 |
4. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
4. Выч сл ть тройной интеграл zdxdydz, если область V огра- |
||||||||||||||||||||||
ничена5. Выч сл ть тройной интеграл z x2 |
y2dxdydz, если об- |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
кон ческой поверхностью x2+y2=z2, |
цилиндрической поверх- |
|||||||||||||||||||||
ностью с образующей параллельной оси Oz x2+y2=R2 и плоскостью |
||||||||||||||||||||||||
z=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ласть V огран чена ц л ндрической поверхностью x2+y2=2х и плос- |
||||||||||||||||||||||||
костями у = 0; z = 0; z = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
56 |
|
R4 |
|
Дz |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
|
. 2. |
|
|
. 3. |
|
|
. |
4. |
|
. 5. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
8б15 4А9 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
§3. Приложения тройных интегралов |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1. Вычисление объёма тел |
И |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||
|
|
Объем области V (объем тела) обычно |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
вычисляют по формуле (2.7), в которой в трой- |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ном интеграле можно переходить (если это |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
удобно) к различным координатам (цилиндри- |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ческим, сферическим и др.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Пример 1. Вычислить объем тела, огра- |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ниченного |
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхностями |
|
|
|
|
|
|
z 5 x2 y2 ,z 1. |
|
|
|
|
|
у |
|
Решение. По заданным уравнениям по- |
|
|
|
|
|
|
|
верхностей в декартовых координатах строим |
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
Рис. 66 |
|
|
|
77
область V (рис. 66). Область V |
|
проецируется в область плоскости |
||||||||||||||||||||||||
x0y, ограниченную окружностью x2 y2 |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Последнее уравнение получается как пересечение параболоида |
||||||||||||||||||||||||
z 5 x2 y2 |
|
и |
плоскости |
|
|
z 1. |
Подставим |
|
в |
уравнение |
||||||||||||||||
С |
|
(2.9), |
|
получим |
z 5 r2 . Откуда |
|||||||||||||||||||||
z |
5 x2 |
|
y2 |
|
формулы |
|
||||||||||||||||||||
1 z 5 r2 . |
|
В цилиндрической системе координат уравнение ок- |
||||||||||||||||||||||||
ружности |
меет в д |
|
|
|
sin2 4; r2 4; r 2. |
|
||||||||||||||||||||
rcos 2 |
rsin 2 4; r2 cos2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
области |
|
|
|
|
|
|
до 2 , |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
Знач т, в |
|
|
меняется от 0 |
r от 0 до 2. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
Тогда в ц л ндр ческой системе координат искомый объем V |
||||||||||||||||||||||||
равен |
|
бА |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
5 r2 |
|
2 2 |
|
|
5 r2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
V dxdydz rdrd dz |
d rdr |
dz |
r z |
1 |
|
dr |
d |
|
||||||||||||||||||
|
V |
|
|
|
|
|
V |
|
0 |
0 |
|
|
1 |
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 4r2 |
|
|
r4 |
|
|
|
||||
|
|
r 4 r |
2 |
dr d 4r r |
3 |
dr d |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
0 0 |
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
4 0 |
|
|
|||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
4 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4 |
d |
4d 4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
ДV |
|
||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2. Вычисление массы трехмерной области V |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Масса m тела, занимающего область V в случае, когда задается |
||||||||||||||||||||||||
плотность x, y,z , вычисляется по формуле (2.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m x, |
|
y, |
z dxdydz. |
|
||||||||
|
|
|
|
01(0;0;2) |
|
|
|
тела, |
Пример |
2. |
|
|
Вычислить |
массу |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ограниченного поверхностью |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
конуса z 2 2 |
x2 |
y2 |
и плоско- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стью |
z 0 , |
если |
плотность |
тела |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, y,z z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Вершина конуса на- |
||||||||||||
-2 |
|
0 |
|
|
|
|
2 |
у |
|
|
ходится в точке 01(0, 0, 2). Для полу- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
чения уравнения кривой, лежащей |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при пересечении конуса с плоско- |
|||||||||||||||
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стью х0у, |
подставляем |
z 0 |
в его |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 67
78
уравнение z 2 2 x2 y2 (рис. 67) и получим уравнение окружно-
сти x2 y2 4. Следовательно, сверху тело ограничено поверхно-
стью z 2 x2 y2 , уравнение которой получено из уравнения ко-
С |
|
|
|
|
|
|
y2 |
, а снизу – плоскостью z 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нической поверхности z 2 x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
. Тогда в цилиндрической системе координат [см. формулу (2.10)] |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 z 2 |
x2 |
y2 |
|
|
ли |
0 z 2 |
|
|
rcos 2 |
rsin 2 |
, |
|
т.е. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
0 z 2 r. |
|
|
Из |
|
|
уравнения |
окружности |
|
x2 y2 4 |
получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
или |
4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
rcos |
2 rsin |
2 |
4 |
r2 |
т.е. |
0 r 2, |
0 2 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ледовательно, скомая масса m равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
бА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 r |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
z |
2 |
|
2 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
m zdxdydz |
d rdr |
zdz |
|
|
|
r |
2 |
|
|
|
dr d |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 2 |
|
2 r 2 |
|
|
|
|
|
1 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
r3 |
r4 |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
dr d |
4r 4r2 |
r3 dr |
|
|
|
2r2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 |
|
|
|
4 |
0 |
|
|||||||||
|
|
1 2 4 |
d |
2 |
|
|
2 |
|
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычисление координаты центра масс трехмерной |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
области V |
|
|
И |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Пусть (x; y;z) – плотность материальной трехмерной области |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
V , тогда координаты её центра тяжестиДвычисляются по формулам |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (x; y;z)dxdydz |
|
|
|
|
|
|
y (x; y;z)dxdydz |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
xc |
V |
|
|
|
|
|
|
|
; |
yc |
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x; y;z)dxdydz |
|
|
|
|
|
|
(x; y;z)dxdydz |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z (x; y;z)dxdydz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zc |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.13) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x; y;z)dxdydz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V
79
Пример 3. Вычислить координаты центра масс однородного те- |
|||||||||||
ла V, |
ограниченного |
поверхно- |
z |
|
|
|
|||||
стями z2 y2 x, x 4. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. Строим тело, ог- |
|
y |
z2 y2 |
x |
|||||||
раниченное |
данными |
поверхно- |
|
||||||||
стями (рис. 68). Область V огра- |
|
|
|
|
|||||||
ничена |
|
поверхностью парабо- |
|
|
|
|
|||||
лоида |
z2 y2 x, отсеченного |
0 |
|
4 |
x |
||||||
плоскостью х = 4. Его проекция |
|
||||||||||
4, т.е. |
0 r 2, |
0 2 , а |
|||||||||
rилиcos rsin 4 |
r |
|
|||||||||
на плоскость 0yz представляет |
|
|
|
|
|||||||
Ссобой круг, огран ченный ок- |
|
|
|
|
|||||||
ружностью z2 y2 4 |
радиусом |
|
Рис. 68 |
|
|||||||
|
|
бА4 2 |
|
|
|||||||
2, уравнен е которой в цилинд- |
|
|
|
|
|||||||
рическ х коорд натах |
меет вид |
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
0 х z2 |
y2 |
|
ли rcos 2 |
|
rsin 2 |
x 4, т.е. r2 x 4. Вычис- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лим вначале в цилиндрических координатах массу тела, считая, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
его плотность x, y,z 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dxdydz |
2 |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
2 2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
m |
|
|
d rdr dх |
|
|
|
rх |
|
r2 |
dr d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
r 4 r dr d |
|
4r r dr |
|
|
|
2r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4d 4 |
|
8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
х |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
х |
|
|
|
|
|
|
dxdydz |
|
|
|
d rdr xdх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr d |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
m |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
m V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
И2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8r |
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dr d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
m |
|
0 |
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
32 2 |
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
3m |
0 |
|
|
|
|
3m |
|
0 |
|
|
3 8 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80
Аналогично определяются уС и zС, но так как тело однородное и симметричное относительно оси 0х, то можно сразу записать, что
у = 0 и z = 0.
4. Вычисление моментов инерции трехмерной области V
относительно координатных осей и начала координат
Пусть (x; y;z) |
|
– плотность материальной трехмерной области |
||||||||||||||||
V , тогда её момент |
|
|
нерции относительно координатных осей и на- |
|||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
чала коорд нат выч сляются по формулам |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
СIox y2 |
z2 (x; y;z)dxdydz; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бА |
|
|
||||||||||||||||
Ioy |
|
|
|
|
2 |
z2 (x; y;z)dxdydz; |
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ioz y2 |
x2 (x; y;z)dxdydz; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Io |
|
|
|
|
2 |
|
у2 |
z2 (x; y;z)dxdy. |
|
(2.14) |
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
Д |
|
|||||||||
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Статические моменты тела с плотностью (x;y;z) |
относитель- |
|||||||||||||||||
но координатных плоскостей вычисляются по формулам |
|
|
||||||||||||||||
Mxy z (x; y;z)dxdydz; Mxz y (x; y;z)dxdydz; |
|
|||||||||||||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
И |
||||||
M yz x (x; y;z)dxdydz. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(2.15) |
|||||||||||||
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 4. Вычислить моменты инерции однородного шара ра- |
||||||||||||||||||
диусом R и весом Р относительно его центра и диаметра. |
|
|
||||||||||||||||
Решение. Так как |
объем шара V |
4 |
R |
3 |
, то его постоянная |
|||||||||||||
3 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
3P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
плотность (x; y;z) |
|
|
|
|
|
|
. Поместим центр шара в начале коорди- |
|||||||||||
|
4g R3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
нат, тогда его поверхность |
будет определяться |
уравнением |
||||||||||||||||
x2 y2 z2 R2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81
|
|
|
|
|
Момент инерции относительно центра шара удобно вычислять в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сферических координатах, в которых |
|
|
x2 y2 |
z2 |
R2преобразуется |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
к виду r2 R2, т.е. |
0 r R, 0 , |
0 . Тогда по формулам |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2.12) и (2.14) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2r2 sin drd d |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Io |
|
|
|
|
2 |
у2 |
z2 (x;y;z)dxdy |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r5 |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
r4dr |
d d |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
d |
d |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
R5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R5 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
sin d d |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
cos0 cos d |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бА2 2 2 2 2 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 R5 2 |
d |
2 R5 |
|
2 |
|
2R5 |
|
|
|
3P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
P |
R |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
4g R |
|
|
|
2 |
|
5 |
|
|
g |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Так как вследствие однородности и симметрии шара его момен- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ты инерции относительно лю ого диаметра равны, |
вычислим момент |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
инерции относительно диаметра, лежащего, например, на оси Oz: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ix |
|
|
|
2 |
|
у2 (x; y;z)dxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(r |
|
sin |
cos |
r |
sin sin |
)r |
|
|
sin drd d |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
sin3 |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
r2 sin2 r2 sin drd d |
|
|
|
|
|
r4dr d d |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
5 |
|
R |
|
|
|
|
|
R |
5 |
|
|
Д |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
sin3 |
|
|
|
|
d |
d |
|
|
|
|
|
1 cos2 |
sin d d |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
R5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
cos3 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cos |
|
|
d cos d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
d |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И3 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
R5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
cos3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
5 |
|
|
|
cos |
|
|
3 |
|
|
cos0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
4 R5 2 |
|
|
|
|
|
4 R5 |
|
2 |
|
4R5 |
|
|
|
3P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 P |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
R |
|
. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
15 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
0 |
|
|
15 4g R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 g |
|
|
|
|
|
|
82