Задачи для решения в аудитории

1.

Вычислить тройной интеграл x y z dxdydz по области

V

V, ограниченной плоскостями х = 0; х= 1; у = 0; у= 1; z = 0; z = 1.

2. Выч сл ть тройной интеграл 1 y хzdxdydz, если область

V

V огран чена плоскостями х = 0; у = 0; z = 0; z 1 х у.

С3. хdxdydz, если о ласть V ограничена цилиндром х2 у2 1

и

V

z = 0; z = 3.

4. Выч сл ть о ъем тела, ограниченного цилиндрами z 4 у2;

z у2 2

х = 1; х = 2.

плоскостями

Ответы

3

1

б

1.

. 2.

. 3. 0. 4. V 8.

2

144

§2. Замена переменных в тройном интеграле

А

1. Вычисление тройного интеграла в цилиндрической

системе координат

Д

И

z

z

z

z

z const

M

M

0

y

r const

r

0

N const

y

r

x r

N

x r

Рис. 61

Р с. 60

С

Положен е точки М в пространстве в цилиндрической системе

коорд нат определяется

тремя

числами: z – аппликата точки,

r,

– полярные

точки N – ортогональной проекции M

координаты

на плоскость X0Y(р

с. 60).

Коорд натными поверхностями цилиндрической системы коор-

динат

являются

z =

const

– плоскость,

параллельная

х0у,

r = const – цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной

оси 0z, и φ = const – плоскость, проходящая через ось 0z под углом φ к

точек выражается формулами:

бА

x rcos ,

(2.9)

y rsin ,.

z z.

Д

И

f (x, y,z)dxdydz f (rcos ,rsin ,z)rdzdrd .

(2.10)

V

V

ружности имеет вид rcos 2

zsin 2

4;

r2 cos2 sin2 4;

r2 4; r 2. Значит,в области меняется от 0 до 2 , r от 0 до 2.

Итак,

С

y2 x

2

2

2

m 2 x2

y

dxdy

2

2

2

r

2

2

r

2

sin

2

2

2 r2 cos2 r2 sin2

cos

rdr

d

2

0

0

2 2

r

4

2 2

r

5

r

2

rdr

d

r

3

dr

d

2

2

z 6 x

бАy и конусом z x y .

0

0

2

0

0

2

и2 2 2 2

2r

4

1

r

6

1

|2

|2

2r

3 dr

r

5 dr d

d

0 0

20

4

0

2 6

0

0

2

2 24

26

82

8

2

8

16

d

d

|

0

2

.

4

12

3 0

3

3

3

0

2

2

Д

Пример 2. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом

2

2

2

2

2

Решение. Так как искомое те-

z

ло (рис. 63) ограничено снизу кону-

z 6 x

2

y

2

И

сом

z

x2 y2 , а сверху парабо-

z

2

x

2

y

2

лоидом

z 6 x

y

, то,

подстав-

ляя

в

формулу

(2.7)

x,y

x2 y2

;

x,y 6 x2 y2;

f x, y,z 1,

yу

хx

Рис. 63

6 x2 y2

V

dz

dxdy

x2 y2

6 x

2 y2

6 x

2

2

2

2

dxdy.

z|

dxdy

y

x

y

x2

y2

Полученный двойной интеграл вычисляем в полярной системе

коорд нат. Область

V

проецируется в область плоскости x0y, ог-

уравнение

4.