С

перейдя

к полярным

координатам, интеграл

3.

Вычислить,

arctg

y

dxdy,

где

ограничена линиями

x2 y2 1; x2

y2 9;

x

и

y

3

x

; y

1

x.

3

4.

бА

Выч сл ть

sin

x2 y2dxdy,

если

ограничена линиями

x2 y2 2; x2 y2 4 2.

5.

Выч сл ть

9 x2

y2

dxdy,

если

ограничена

линией

x2 y2

3х.

6.

Вычислить

x2 y2

dxdy, если

ограничена

линией

Д

x2 y2

2ах.

2

Ответы

2

4

2

32

3

3

1.

. 2.

. 3.

. 4.

6

. 5. 9 . 6.

а

.

5

6

9

И

§3. Приложения двойного интеграла

1. Вычисление объёма цилиндрического тела

Рассмотримзадачувычисленияобъемовцилиндрическихтел[3].

Пусть требуется вычислить объем тела, ограниченного сверху

непрерывной поверхностью z f x;y

f x;y 0 , снизу – конечной

замкнутой областью

плоскости 0xy

и с боков – цилиндрической

поверхностью,

построенной на границе области и имеющей обра-

Делим область на элемен-

z

тарные области i . В каждой i

выбираем по одной точке Ρi i;ni .

Тогда объем прямого элементарного

цилиндра, ограниченного сверху по-

верхностно z f x; y и снизу обла-

y

стью

i , приближенно равен

f ( i; i ) i , где

i – площадь

соответствующей элементарной

об-

х

ласти. Для объема всего нашего ци-

С

Рис. 21

ческого тела получаем при-

ближен е

V f

;n

.

(1.18)

линдрi

i

i

i

чем меньше будет наи-

Пр бл жен е (1.18)

удет тем точнее,

больш й

з д аметров элементарных областей i . Следовательно,

можно и в этом случае принять, что

V lim f i;ni i

.

(1.19)

Весь объем V

будет

0 i

бА

(1.20)

V

f x;y dxdy.

Пример

1.

Вычислить

объем

цилиндрического тела, ограниченного

у

снизу областью , показанной на

Д

рис. 22,

и

сверху

–

плоскостью

z x y.

у = х2

Решение. Область интегрирова-

ния

ограничена

снизу

кривой

И

x 0,

сверху –

кривой x x2.

Спроецировав на ось 0x, получим

отрезок 0;1 . Следовательно,

х

V f (x; y)dxdy (x y)dxdy

Рис. 22

1 x2

1 x2

x2

x y dy

dx

x

dy

ydy dx

0

0

0

0

0

1

x2

y2

x

2

1

2

1

2

2

1

3

x4

xy|

|

0

dx x

x

x

dx

x

dx

0

0

2

0

2

2

0

С

x4

1 x5

1

3

1

1

4

1

1

1 1 1 1 1

3

x

dx

2

x

dx

|

2

|

4

2

4

.

0

0

4

0

5

0

5

10

20

лоидом

Пр мер 2. Выч слить объем тела, ограниченного плоскостью

z 0

параболо

дом z 3 x2

y2 (рис. 23).

Решен е. Сверху данное тело (см. рис. 23) ограничено парабо-

z 3 x2

y2 , поэтому,

воспользовавшись формулой (1.20)

бАz

для выч слен я о ъема цилиндрического тела, ограниченного плос-

костью плоскости x0y, имеем

V f x, y dxdy 3 x2

y2 dxdy.

Область (рис. 24) есть круг, его границу получим подстанов-

кой z 0

в уравнение z 3 x2

y2. Введем полярные координаты.

Д

y

И

x

y

x

Рис. 23

Рис. 24

Тогда

уравнение

окружности

примет

вид

rcos 2 rsin 2 3;

r2 cos2 sin2 3; r2

3;

r

. Угол

меняется от 0 до 2 .

3

V

rcos

2

3

2

2

3

rsin

4

rdr d

0

0

СибАДИ

cos

rdr

2

3

2

2

2

2

3

2

3 r

sin

3 r

rdr

d

d

0

0

0

0

r2

r4

2

3

3

2

3 rdr

r3dr d 3

| 3

| 3

d

0

0

2

0

4

0

0

0

2

4

2

3

3

2

9 9

9

2

9

9

3

2

4

d

d

d

|2

.

0

0 2 4

4 0

4

0

8

Используя эту формулу, получим выражение для вычисления

массы материальной двумерной пластинки D , если известна её плот-

ность (x; y).

m x; y dxdy.

D

Эта формула даёт возможность вычислить массу неоднородной

по поверхности плоской области (рис. 25).

Пр мер 3. Выч слить массу плоской пластины ограниченной

линиями x=0; y=0; y=1–x2, если ее плотность в каждой точке равна

абсциссе этой точки, (x; y) х(рис. 26).

у

Решение.

1

1 x

2

1 1 x

2

=yх

2

m xdxdy dx

xdy

х

dy dx

y=1-x

0

0

0

0

x=0

1

1 x2

1

2

1

3

dx

xy

dx

x1 x

dx x

x

σ

x

0

0

0

0

x2

x4 1

1 1 1

0 y=0

.

4

2

4

4

2

0

Рис. 26

Пример

уу

4. Вычислить массу пластинки, ограни-

ченной

прямой

y x

параболой

1

y x2

(рис. 27),

если

плотность

рас-

пределения массы выражается функци-

ей (x, y) x 2y.

у x2

Решение. Область интегрирова-

ния

ограничена

снизу

кривой

1

x x2 , сверху

–

кривой

x x.

хх

Спроецировав на

ось 0x,

получим

Рис. 27

отрезок 0;1 . Следовательно,

0 x 1.

СибАДИ

По формуле (1.8) при

1

x

1

x

x

m x 2y dxdy

x 2y dy

ydy

dx

x dy 2

0 x2

0 x2

x2