2140

Если же силы лежат в плоскости xOy, то обращается в тождество еще

и уравнение проекций на ось Oz. Поэтому для плоской системы сходя-

щихся сил уравнениями равновесия являются:

уравнениями равновесия системы параллельных сил, не лежащих в одной плоскости, являются:

Если же все силы системы лежат в одной плоскости, например, в плоскости zOy, то из этих уравнений обращается в тождество еще и уравнение моментов относительно оси Oy, т.к. момент каждой силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекает эту ось.

Таким образом, при равновесии плоской системы параллельных

сил составляются два независимых уравнения равновесия:

mo(Fi) 0. (5.9)

62

ценное ему уравнение моментов относительно полюса O.

Итак, для находящейся в равновесии произвольной плоской сис-

4. Уравнения равновесия сил, приложенных к механической системе, состоящей

из нескольких тел

Механическая система из нескольких абсолютно твердых тел, соединенных между собой какой-либо связью, называется сочлененной системой. Силы, действующие на сочлененную систему, можно разбить на две группы. Внешние силы–силы, с которыми тела, не входящие в сочлененную систему, действуют на рассматриваемую конструкцию. К ним же относятся и реакции связей, за исключением реакций тех связей, которые соединяют тела в систему в местах сочленения тел. Внутренние силы–это силы взаимодействия между телами, образующими сочлененную систему.

При рассмотрении равновесия механической системы, состоящей из нескольких тел, наряду с рассмотрением всей системы в целом, можно ее расчленить и рассматривать равновесие тел в отдельности.

63

Поясним сказанное на примере сочлененной системы, показанной на рис.70.

ция в точке B1 (результат действия балки CD).

Независимых уравнений равновесия для сочлененной системы увеличивается в n раз. Так для произвольно плоской системы сил, приложенных к сочлененной механической системе из n тел, независимыми являются 3n уравнений равновесия. Поэтому для рассматриваемой задачи можно составить 6 независимых уравнений равновесия.

5.Нестандартные уравнения равновесия произвольной плоской системы сил

Для произвольной плоской системы сил уравнения равновесия

называются стандартными. Докажем, что вместо этих уравнений при некотором дополнительном условии можно составлять нестандартные уравнения

или уравнения

Согласно общим условиям равновесия, должны быть равны нулю главный вектор системы сил и ее главный момент относительно произвольно выбранного полюса. При этом следует иметь в виду, что при равенстве нулю главного вектора, главный момент не будет зависеть от выбора

полюса MA MB AB R (см. «Зависимость главного момента от выбора полюса»), если R 0, то MA MB. Однако MA MBтакже и тогда, когда R 0, но направлен главный вектор по прямой AB(рис.72).

B

R

A

Рис.72

65

Следовательно, дополнительными условиями при составлении нестандартных уравнений равновесия являются:

точки, относительно которых составляются уравнения моментов, не должны лежать на одной прямой, при составлении трёх уравнений моментов;

ось X , на которую проектируются силы, нельзя выбирать перпендикулярно прямой AB, проведенной через полюсы, относительно которых составляются уравнения моментов, в системе уравнений:

6. Статически определенные и статически неопределенные задачи

Найдите в предыдущих параграфах ответы на следующие вопросы:

1.Сколько независимых уравнений равновесия можно составить, если тело находится в равновесии под действием произвольной системы сил? (6 уравнений равновесия).

2.Какое количество независимых уравнений равновесия можно составить, если в равновесии под действием произвольной системы сил находится сочлененная система из n тел? (6n уравнений).

3.Сколько независимых уравнений равновесия составляется в случае, если силы, приложенные к такой сочлененной системе, лежат в одной плоскости? (3n).

4.Сколько независимых уравнений равновесия составляется в случае, если силы, приложенные к такой сочлененной системе, лежат в одной плоскости и параллельны между собой? (2n).

5.Сколько независимых уравнений равновесия имеет пространственная система сходящихся сил? (3n)

6.Сколько независимых уравнений равновесия имеет система сходя-

щихся сил, лежащих в одной плоскости? (2n)

Чтобы задача имела решение методами статики, количество по условию задачи неизвестных величин не должно превышать количества независимых уравнений равновесия для рассматриваемой системы сил.

Задачи, в которых число неизвестных не превышает числа независимых уравнений равновесия для данной системы сил, называются статически определенными.

Статически неопределенными называются задачи с числом неизвестных, превышающим число уравнений равновесия. Такие задачи методами статики решения не имеют.

66

Показать силу Q на рис.74, направив силу тяжести Q вертикально

вниз и приложив её в середине балки. Так как в точках B и C наложены связи, то «отбросив связи», показать на рис.74 реакции этих связей

RB,RC,T , направив их соответствующим образом (см. стр.31).

3. Силы, приложенные к балке, образуют плоскую произвольную систему сил, для которой составляются три уравнения равновесия:

Xi RB cos30o T 0;Yi RB sin 30o Rc Q 0;

mC RB BC Q 2l cos60o 0 RB cosh30o Q 2l cos60o 0.

4.Решить уравнения и найти в результате решения величины по условию задачи:

Вопросы по теме 5 для самоконтроля

1.Каковы общие условия равновесия твердого тела?

2.Запишите скалярные уравнения равновесия твердого тела в общем случае.

3.Какие уравнения равновесия составляются при равновесии тела, на которое действует система сходящихся сил и если все силы лежат в одной плоскости? Не лежат в одной плоскости

4.Как записать стандартные уравнения равновесия плоской системы сил в общем случае; в частном случае системы параллельных сил, если все силы лежат в одной плоскости? Не лежат в одной плоскости?

5.Какие уравнения равновесия плоской системы сил относятся к нестандартным уравнениям? Какие дополнительные условия следует соблюдать при их составлении?

6.Сколько независимых уравнений равновесия можно составить для механической системы, состоящей из нескольких тел?

7.В каком случае задача не имеет решения методами статики?

8.Какие уравнения равновесия составляются для произвольной пространственной системы сил?

68

Курсовые работы по темам 1-5

Все задания для курсовых работ приведены в приложении.

Курсовая работа С-1

Определение реакций опор твердого тела

На рисунках к заданию С-1 (см. Приложение) для каждого варианта задания показан брус, ось которого – ломаная линия. Все активные силы, приложенные к брусу, известны и одинаковые на всех трех схемах рисунка. На схеме «а» рисунка к заданию активные силы показаны; на схемах «b» и «с» их нужно показать.

Обратите внимание, что способы закрепления бруса на схемах «а», «b» и «с» различны.

Определить реакции опор для того способа закрепления бруса, при котором исследуемая реакция, указанная в вашем варианте задания, имеет наименьший модуль.

Методика выполнения курсовой работы С–1

Пример (рис.75). Выполнить курсовую работу, если дано: P=5 кН; M =8 кН м; интенсивность распределенной нагрузки q=1,2 кН/м, иссле-

дуемая реакция Ma.

При выполнении курсовой работы нужно записать условие задачи, записать данные Вашего варианта задания, выполнить рисунки к заданию.

1.Выполнить схему «а». На рис.76 показаны активные силы, действующие на брус AC, равновесие которого в задаче рассматривается. При этом равномерно распределенная нагрузка на участке BC заменена

69

5. Для определения mAсоставить уравнение моментов относительно

полюса, который следует выбрать так, чтобы другие неизвестные в уравнение не вошли:

mК mA Pcos45 2 Pcos45 2 M Q 5 0 mA M Q 5 8 2,4 5 4 кН м.

6. Выполнить схему «c» (рис.78). Показать активные силы, действующие на брус AC, и реакции опор: свободной заделки в точке A и неподвижного шарнира в точкеC.

Находим mAиз уравнения моментов относительно полюса C:

mC mA Pcos45 2 Pcos45 4 M Q1 0

mA Pcos45 6 M Q 1 5cos45 6 8 2,4 1

31,61кН м.

7.Сравнив значения mA, находим, что наименьший момент получил-

ся при закреплении бруса по схеме b.

8. Составить для схемы b остальные уравнения равновесия и определить реакции YA,RC.

Xi Pcos45 Rc 0 RC Pcos45 5cos45 3,54кН.

Так как реакция отрицательная, следовательно, правильное направление реакции противоположно показанному направлению этой реакции на рис.78.

71