2140

Xi N P 0;

Yi RA RB Fтр 0.

Из этих уравнений находим:

RB Fтр 4,7 кН;

2

P N 94кН;

RA RB Fтр 4,7 9,4 14,1 кН.

92

Тема 8

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

1. Центр параллельных сил

На рис. 97 показана система параллельных сил, не лежащих в одной плоскости. Найдем координаты точки приложения равнодействующей такой системы сил.

z A1 A3

Система сил включает силы:

F1, приложенную в точке A1 с координатами (x1'y1'z1);

F2, приложенную в точке A2с координатами (x2'y2'z2);

F3, приложенную в точке A3с координатами (x3'y3'z3);

F4, приложенную в точке A4 с координатами (x4'y4'z4).

Сложим силы F1 и F2 изложенным ранее способом сложения двух параллельных сил, лежащих в одной плоскости: F1+F2=R1. Затем сло-

лентна первоначальной системе сил и, следовательно, является равнодействующей этой системы.

93

Обозначим точку приложения равнодействующей буквой C, а её координаты xc, yc,zc . Точка C называется центром параллельных сил и об-

ладает следующим свойством: если вращать каждую силу системы вокруг точки её приложения, не нарушая при этом параллельности сил, то равнодействующая, оставаясь параллельной силам системы, будет вращаться вокруг точки C.

Для определения координат точки C по теореме Вариньона о моменте равнодействующей найдём момент равнодействующей относительно оси

2. Центр тяжести твердого тела

Разбиваем твердое тело на n элементарных частиц. На каждую частицу действует сила тяжести, и все эти силы образуют систему параллельных сил, которые можно сложить изложенным выше способом. В результате

P Pi , где P вес тела; Pi вес каждой элементарной частицы.

Очевидно, что точка приложения веса тела (центр тяжести тела) является центром параллельных сил, а поэтому координаты центра тяжести оп-

94

ределяются как координаты центра параллельных сил (см. формулу 8.1):

где xi,yi,zi координаты элементарной i-й части.

Согласно свойству параллельных сил центр тяжести тела не изменяет своего положения относительно тела при любом положении этого тела.

Для однородного тела в формулах вычисления координат центра тяжести вместо веса можно записывать соответствующий объем тела или части тела:

3. Центр тяжести однородной плоской фигуры

Плоской фигурой называется такое твердое тело, один из трех размеров которого (толщина тела) настолько мал в сравнении с другими (длиной и шириной), что этим размером можно пренебречь. Если вес единицы площади фигуры , то вес фигуры P S, где S площадь фигуры.

Учитывая также, что вес элементарной частицы фигуры Pi Si ,

выведем формулу для определения координат центра тяжести однородной плоской фигуры:

тический момент плоской фигуры относительно оси x.

95

4. Центр тяжести линии

Линией называется такое твердое тело, длина которого настолько велика в сравнении с размерами поперечного сечения, что этими размерами можно пренебречь.

Координаты центра тяжести линии вычисляются:

где li длина одной части линии; l li длина всей линии.

Положение центра тяжести плоской линии определяют две координаты:

Очевидно, что для прямой линии, совпадающей с осью координат, достаточно одной координаты для определения положения центра тяжести.

Следует иметь в виду, формулы (8.5) и (8.6) выведены для тех линий, у которых вес единицы их длины не изменяется (однородных линий).

5. Первая теорема Гюльдена

Объем тела вращения, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости фигуры, но не пересекающей ее, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной ее центром тяжести при этом вращении.

Тело 1 (рис.98) вращается вокруг оси y. Замкнутая поверхность, об-

96

разованная при вращении тела, называется поверхностью вращения. Тело, ограниченное этой поверхностью, называется телом вращения.

Разбиваем тело 1 на элементарные частицы. Выделяем на теле 1 элементарную частицу площадью Si . При вращении тела эта площадка обра-

зует круговое кольцо. Сумма объемов колец всех частиц тела равна объему тела вращения. Если xi радиус вращения частицы, то объем кругового

кольца равен Vi 2 xi Si. Так как объем тела вращения V Vi ,

то

V 2 xi Si.

Учитывая, что xi Si SxC(статический момент фигуры относи-

тельно оси y), получим V 2 SxC , где 2 xC длина окружности ра-

диуса xC; S площадь фигуры. Таким образом, V 2 SxC , что и тре-

бовалось доказать. Отсюда координату центра тяжести тела вращения, показанного на рис.98, можно найти как

6. Вторая теорема Гюльдена

Площадь поверхности вращения, полученной вращением плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой, но её не пересекающей, равна произведению длины этой кривой на длину окружности, описанной ее центром тяжести.

ных участков, на которые разбита данная кривая, показанная на рис. 99. Поверхность, которую опишет элементарный участок li кривой ABпри

вращении той кривой вокруг оси y, можно принять за усеченный конус,

боковая поверхность которого Si равна Si 2 xi li. Площадь всей поверхности вращения при этом равна S Si S 2 xi li . Учи-

тывая, что xi li xCl, получим S 2 xCl, что и требовалось дока-

зать. Из этого уравнения следует, что координата центра тяжести кривой AB находится как

7. Теоремы для определения положения центра тяжести отдельных тел

1-я теорема для тел, имеющих ось симметрии. Если однородное те-

ло имеет ось симметрии, то центр тяжести такого тела находится на

Следовательно, из уравнений (8.3)

имеем xC =0; yC =0, т.е. центр тяжести лежит на оси z, которая является осью симметрии тела, что и требовалось доказать.

98

Записываем значения координат каждой из этих точек (в см):

100