Нахождение корней уравнения

k=1+max(|an-1|; …; |a1|; |a0|)/an.

20

Если f(x) является какой-либо другой функцией, то диапазон, на котором ищут корни, выбирается в соответствии с областью определения функции.

Для нахождения корней с помощью Excel нужно:

значен я пр бл женных корней уравнения и ввести их в свободные ячейки электронной та лицы;

6) выч сл ть значения функции от найденных приближенных

значен й корней уравнения;

полеб«Установ ть в ячейке» – ссылка на ячейку со значением f(x) от при лиженногоАкорня;

7) уточн ть значение каждого корня с помощью команды Сер-

– Подбор параметра, установив в окне «Подбор параметра» сле-

дующ е значен я:

поле «Значение» – 0;поле «Изменяя значение ячейки» – ссылка на ячейку со значе-

нием при лиженного корня.

подбирая точное значение корня х, близкое к приближенному значению.

Добиваемся того, чтобы значениеДфункции f(x) равнялось нулю,

полнения подбора параметра с помощью команды Сервис – Параметры на вкладке «Вычисления».

Пример

Решить уравнение х3+х2–2х–1=0.

Относительную погрешность вычислений можно задать до вы- И

В нашем примере максимальный по модулю коэффициент уравнения равен 2, а коэффициент при х3 равен 1, следовательно, k=3, интервал, в котором лежат все корни уравнения, равен [–3; 3].

Составим таблицу значений функции y = х3+х2–2х–1, х [–3; 3] с шагом 0,4 и построим график этой функции.

21

Находим значения приближенных корней уравнения либо по графику функции – абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох, либо по таблице значений функции – любое значение х из отрезка, на котором функция меняет знак (рис. 8).

Си

бАРис. 8. Поиск корней уравнения

В рассматриваемом примере эти отрезки следующие: [–2,2; –1,8], [–0,6; –0,2], [1; 1,4]. В качестве приближенныхДзначений корней возьмем числа –1,9; –0,5 и 1,2 и запишем их в ячейки С2, С3 и С4. В ячейку D2 введем формулу =С2^3+C2^2–2*C2–1, скопируем эту

формулу с помощью маркера заполнения в ячейки D3 и D4. Таким образом, мы вычислили значения функции f(x)=х3+х2–2х–1 от приближенных значений корней этой функцииИ.

Напомним, что если х1 – корень функции f(x), то значение функции в корне, т.е. f(x1), равняется нулю.

Теперь выделим ячейку D2 и выполним команду Сервис – Подбор параметра горизонтального меню. В появившемся диалоговом окне запишем следующее: в поле «Установить в ячейке» введем D2, в поле «Значение» введем число 0, в поле «Изменяя значение ячейки» введем С2. То есть добьемся того, чтобы значение функции f(x) равнялось нулю, подбирая точное значение корня х, приближенное значение которого записано в ячейке С2.

Вводить ссылки на ячейки D2 и С2 в поля диалогового окна можно и с помощью мыши, щелкнув левой кнопкой мыши по соот-

22

ветствующей ячейке таблицы. При этом Excel автоматически превращает ссылки в абсолютные ($C$2).

Полученные после уточнения корней значения функции f(x) могут быть записаны в экспоненциальной форме, например, в ячейке D2 получилось число –2E–05. Это означает –2 10–5, т.е. –0,00002. Учитывая относительную погрешность 0,001, можно сказать, что это ноль, следовательно, корень найден и он равен –1,802.

Аналог чно в ячейках С3 и С4 можно получить значения двух

Операции над массивами

1. Сложение (вычитание) массивов.

Исходные массивы должны быть одинаковой размерности, размерность результата совпадает с размерностью исходных массивов.

Общий вид формулы: =массив1+массив2 (=массив1–массив2)

Пример

=А2:А8+В2:В8

=А2:А8–В2:В8

23

2. Умножение массива на число.

Размерность результата совпадает с размерностью исходного массива.

Общий вид формулы: =массив*число

Пример

=А2:А8*4

3. Матр чное про зведение.

Кол чество столбцов первого массива должно быть равно коли-

мерностью исходной матрицы.

Пример

=МОПРЕД(А2:В3)

6. Транспонирование матрицы (обозначение АТ).

24

Размерность результата: количество строк равно количеству столбцов исходного массива, количество столбцов равно количеству строк исходного массива.

Общий вид формулы: =ТРАНСП(массив)

Тогда систему уравнений можно записать в матричном виде

А Х=В.

I способ

Решение системы уравнений имеет вид Х=А–1 В, где А–1 – матрица, обратная матрице А.

Для решения системы линейных уравнений необходимо:

3)выделить ячейки для результата (вектор-столбец Х);

4)в строке формул ввести формулу

=МУМНОЖ(МОБР(матрица А);массив В); 5) нажать клавиши [Ctrl]+[Shift]+[Enter].

25