1753

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В УПРУГИХ СИСТЕМАХ

5.1. Основные понятия и обозначения

Всякое сооружение под действием приложенных к нему внешних нагрузок и воздействий (сосредоточенные и распределённые нагрузки, осадка опор, температура и др.) изменяет свою первоначальную форму, т.е. все точки этого сооружения получают перемещения.

Определение перемещений осуществляют для того, чтобы оценить жёсткость сооружения. Для определения перемещений необходимо знать работу внутренних сил, возникающих в сооружении в результате действия на него внешних нагрузок.

В инженерной практике расчёт, связанный с определением перемещений, сводится к определению перемещений от действия внешних нагрузок, не вызывающих напряжений в поперечном сечении больше предела упругости. Такие перемещения называются упругими. Пусть отрезок ab, принадлежащий какому-то элементу конструкции, помещённый в прямоугольную систему координат и имеющий длину ds до деформирования элемента конструкции, занимал положение, показанное на рис. 5.1.

Рис. 5.1

После деформирования элемента конструкции этот отрезок займёт положение a b . При этом длина его изменится на величину ds, а первоначальный угол на величину . Тогда расстояние аа будет составлять полное перемещение точки а, а bb точки b; угловое перемещение отрезка ab; ua и ub есть суть линейные пе-

ремещения точек а и b вдоль оси х соответственно, va и vb вдоль

оси у, w вдоль оси z (это перемещение на рис. 5.1 не показано, т.к. оно перпендикулярно плоскости чертежа).

Рассмотрим определение упругих перемещений. Полное перемещение обозначается символом km . Индексы у перемещения несут следующую смысловую нагрузку: первый индекс (в данном случае k ) указывает на направление искомого перемещения; второй индекс (в данном случае m) указывает на причину, вызвавшую это перемещение. На рис. 5.2 показана иллюстрация индексов перемещений для балок, нагруженных разным типом нагрузок.

Fk

∆mk ∆kk

Mm

∆mm

∆km

Рис. 5.2

61

Перемещения, вызванные действием силовых факторов, равных единице, называются единичными (удельными) и обозначаются km

или mn.

На основе принципа суперпозиции формула для определения перемещений, выраженных через единичные перемещения, принимает вид

5.2. Действительная работа внешних сил

При определении работы внешних сил рассматривается статическое приложение нагрузки, когда она в процессе приложения к конструкции достаточно медленно возрастает от нуля до какого-то конечного значения и в дальнейшем остаётся неизменной.

Из сопротивления материалов известно, что работа, производимая силой F1 на перемещении в направлении k, вызванном этой силой, равна площади треугольника ОАВ графика, показанного на рис. 5.3. В соответствии с этим действительная работа внешних сил описывается формулой

А

F

0

к1

Рис. 5.3

5.3. Обобщённые силы и обобщённые перемещения

Под обобщённой силой будем понимать любое силовое воздействие. Под обобщённым перемещением будем понимать условное перемещение, определённое из того, что произведение обобщённой силы на обобщённое перемещение равно обобщённой работе. Сказанное

62

вызванных другими факторами (силами, температурой, осадкой опор и др.).

5.4. Действительная работа внутренних сил

Выделим из конструкции, подверженной внешнему силовому воздействию, бесконечно малый элемент (рис. 5.4) длиной ds, на гранях которого имеют место внутренние силовые факторы M, Q и N.

Внутренние силовые факторы противодействуют изменению длин волокон материала, изгибу, сдвигу. Поэтому действительная работа, создаваемая внутренними силовыми факторами, будет отрицательной. В формулах для определения таких работ в этой связи ставят знак минус.

Найдём работу, совершаемую каждым из этих трёх внутренних силовых факторов на вызванных ими перемещениях.

1. Работа продольных сил.

Силы N вызвали изменение первоначальной длины элемента на величину ds (рис. 5.5).

Из курса сопротивления материалов известно, что изменение длины стержня при деформации «растяжение сжатие», когда на стержень действует сосредоточенная продольная сила N, определяют по формуле

64

В сопротивлении материалов при рассмотрении чистого изгиба

получено следующее соотношение: 1 М . Из рассмотрения тре-

ЕJ

угольника ОАВ (см. рис. 5.6) очевидно, что d ds. Подставляя эти

соотношения в выражение (5.8), получим

Выражение работы для стержневой системы с учётом действия на него системы сосредоточенных моментов принимает следующий вид:

3. Работа от действия поперечной силы.

Вызванный силой Q сдвиг торцевых сечений бесконечно малого элемента определится из выражения у ds. С другой стороны, в

соответствии с законом Гука при сдвиге . Подставив это соот-

γ

Q

66

τ·dA

∆

Закрепим условно левую грань (рис. 5.7) бесконечно малого элемента и предположим, что касательные напряжения распределены по всей высоте сечения равномерно. Исходя из этого предположения

Q .

A

Элементарная работа статической силы Q на этом перемещении будет равна

Из курса сопротивления материалов известно, что в действительности эпюра касательных напряжений по высоте сечения является непостоянной. Она изменяется по квадратной параболе от нуля в крайних волокнах до максимума в уровне нейтрального волокна. Поэтому в выражение (5.12) вводят поправочный коэффициент , учитывающий неравномерность распределения по высоте сечения касательного напряжения . Формула, по которой определяют этот коэффициент, получена из известной формулы Журавского.

Величина этого коэффициента, что очевидно из формулы (5.13), в которой участвуют только геометрические параметры сечения, зависит от формы поперечного сечения элемента. При этом коэффициентвсегда больше единицы. Так, для прямоугольника 1,2.

Выражение работы для стержневой системы с учётом действия на неё системы сосредоточенных поперечных сил принимает следующий вид:

67

Суммируя работы от всех рассмотренных силовых факторов, получим выражение действительной работы внутренних силовых факторов стержневой системы

Выражение (5.15), взятое с обратным знаком, носит название потенциальной энергии системы: U W .

5.5. Возможная работа внешних сил

Рассмотрим два состояния упругой системы (рис. 5.8).

*

Рис. 5.8

В дальнейшем, понимая под F какую-то обобщённую силу, уберём индекс (*). Физический смысл показанных на рис. 5.8 перемещений заключается в следующем:

11 перемещение в направлении силы F1 от действия той же силы F1;

21 перемещение в направлении силы F2 от действия силы F1;

12 перемещение в направлении силы F1 от действия силы F2;

22 перемещение в направлении силы F2 от действия той же си-

лы F2.

Работу силы F1 на вызванном ею перемещении 11 обозначим W11,

68