1753

_

F=1

ℓ2·xк·sin φк

ℓ·f

Л.в. Н·sin φк

ℓ1·ℓ2·sin φк

ℓ·f

cos φк ·(ℓ-xк) ℓ2·xк·sin φк

ℓℓ·f

cos φк

Л.в.Qак

Рис. 3.8

40

Согласно (3.10) л.в. Qka представляет собой геометрическую сум-

му двух линий влияния балочной линии влияния Qk0, построенной для сечения к из рассмотрения пролёта арки как пролёта балки, и линии влияния распора Н , умноженных соответственно на значения cos k и sin k , имеющих место в сечении к. На рис. 3.8 показано построение л.в. Qka .

Построение линии влияния продольной силы Nka , согласно формуле (3.7), можно осуществить по выражению

На рис. 3.9 показано построение этой линии влияния. Анализ всех трёх линий влияния показывает, что на каждой из них есть такая точка, при положении над которой подвижной силы F=1 искомое усилие равно нулю. Эта точка называется нулевой и может быть использована для геометрического построения указанных линий влияния.

Известно, что при расположении нагрузки только над одной из двух полуарок (например, левой) вектор наклонной опорной реакции в другой (например, правой) будет проходить через пятовый В и замковый С шарниры.

При построении линии влияния изгибающего момента Mka (рис. 3.10) методом нулевой точки (сечение k расположено на левой полуарке) вектор опорной реакции RB проводят через шарниры В и С, а вектор опорной реакции RA – через пятовый шарнир А и сечение k. Из рассмотрения равновесия левой от сечения k части арки очевидно, что Mka 0 в случае прохождения вектора опорной реакции RA через сечение k . Точка D пересечения векторов RA и RВ является той точкой, при положении над которой подвижной силы F 1 изгибающий момент Mka 0. Для определения аналитически точных зна-

чений ординат линии влияния изгибающего момента Mka из подобия треугольников DOB~CPB и DOA~kEA находят расстояние

42

Построение линии влияния поперечной силы Qka методом нулевой точки показано на рис. 3.11. Для того чтобы поперечная сила в сечении k Qka 0, вектор опорной реакции RA должен проходить параллельно касательной, проведенный к очертанию оси арки в точке k. Формула для определения расстояния xQ, полученная по тому же принципу, что и в предыдущем случае, имеет вид

Расстояние xN (см. рис. 3.11) можно определить по по формуле

43

В случае расположения сечения k на правой полуарке формулы (3.12), (3.13) и (3.14) можно использовать с учётом того, что эти расстояния необходимо отмерять от правой пятовой опоры В.

Рассмотрим два частных случая построения л.в. Qka , показанные на рис. 3.13 и 3.14. Если сечение, например k1, расположено на левой полуарке ближе к замковому шарниру С, то направление вектора опорной реакции RA пересечёт направление опорной реакции RB в точке (нулевой точке), расположенной над правой полуаркой (см. рис. 3.13). Но между двумя шарнирами (в данном случае С и В) усилие должно изменяться по закону прямой линии. Если сечение, например k2, расположено на левой полуарке таким образом, что направления опорных реакций Rа и Rb пересекутся в шарнире С, то правая прямая (см. рис. 3.14) будет совпадать с базовой линией.

44

D

_

F=1

Нормальные напряжения в поперечных сечениях арки, испытывающих деформацию внецентренного сжатия, определяют по формуле, известной из курса сопротивления материалов:

где А площадь поперечного сечения арки; J момент инерции сечения; е расстояние от нейтральной линии сечения до той точки, в которой определяется напряжение.

Наибольшее значение напряжения будет соответствовать загружению линий влияния для нормального усилия N и изгибающего момента М на экстремум. Из сопоставления линий влияния, представленных на рис 3.7 и 3.9, видно, что пределы загружения этих линий

46

влияния на экстремум различны, вследствие чего определять наибольшее напряжение приходится исходя из предположений: 1) определяют наибольшее положительное значение М и вычисляют соответствующее этому загружению значение N ; 2) определяют наибольшее отрицательное значение М и вычисляют соответствующее этому загружению значение N ; 3) определяют наибольшее значение N , вычисляют соответствующее ему значение М . По формуле (3.15) определяют нормальные напряжения, соответствующие каждой схеме загружения линий влияния М и N. Для конструирования сечения арки принимают наибольшее из трёх найденных значений нормальных напряжений.

Избежать тройного загружения двух линий влияния можно, пользуясь расчётом при помощи ядровых моментов.

Двухчленная форма нормального напряжения может быть приведена к одночленной, если за точку моментов взять точки К1 и К2 ядра сечения (рис. 3.15).

Рис. 3.15

Пусть расстояния крайних точек ядра сечения от оси арки будут с1и с2 соответственно, а расстояние точки приложения нормальной силы N от оси арки е. Равнодействующую левых сил R разложим на две составляющие N и Q. В одной из крайних точек ядра сечения, например в верхней точке k1, приложим перпендикулярно сечению две взаимно уравновешенные силы N . В результате в сечении будет при-

47

Для того чтобы найти по этим формулам наибольшее напряжение при невыгодном загружении, остаётся построить линии влияния так называемых ядровых моментов Мк1 и Мк2 соответственно для крайних

верхней и нижней точек k1 и k2 ядра сечения. На рис. 3.16 показано построение этих линий влияния методом нулевой точки. Расстояния хk1 и хk2 можно находить по формулам (3.17), а ординаты yk1 и yk2

по формулам (3.18).

3.5. Рациональное очертание оси арки

Рациональной осью трёхшарнирной арки заданного пролёта и заданной стрелы подъёма называется такая ось, при которой требуемые условиями прочности поперечные сечения арки будут наимень-

шими. Очевидно, что наименьшая величина нормального напряжения, согласно выражению (3.11), будет в том случае, когда значение изгибающего момента в сечении будет равно нулю. Последнее же возможно в том случае, когда равнодействующая внутренних проходит через центр тяжести поперечного сечения арки. Этому условию должны удовлетворять все сечения арки.

Рассмотрим типичный случай загружения, когда арка находится под действием равномерно распределённой нагрузки (рис. 3.17).

Исходя из определения рациональной оси арки приравняем к нулю выражение (3.5).

49