1753

Из анализа структуры матрицы влияния Lm наблюдается закономерность в определении элементов матрицы влияния моментов, что позволяет вычислить любой элемент матрицы по формулам: при i j

mij=(d/n) (n j); при i j mij=(d/h) (n i).

Рассмотрим пример построения эпюры М для балки (рис. 2.24), нагруженной системой сосредоточенных сил F. Пролёт балки =10 м разделён на пять частей, т.е. n=5. Тогда длина одной части составит

d. F1 = 5 кН; F2 = 15 кН; F3 = 5 кН. n

Построение эпюры М будем осуществлять в соответствии с выражением (2.19), которое в матричной форме имеет вид

При этом вектор-столбец искомых моментов M , вектор-столбец F и матрица влияния моментов Lm приобретают следующий вид:

Подставляя полученные матрицы в выражение (2.24) и совершая операцию перемножения матриц, получаем вектор-столбец искомых усилий изгибающих моментов М.

Рис. 2.24

31

По полученному вектору искомых изгибающих моментов построена эпюра М (см. рис. 2.24).

Матрицы влияния моментов для балок-консолей имеют следующий вид:

32

3. РАСЧЁТ РАСПОРНЫХ СИСТЕМ

3.1. Общие сведения

Распорной называется такая система, в результате действия на которую вертикальных внешних нагрузок в ней возникают наклон-

ные опорные реакции. На рис. 3.1 показаны два типа распорных систем.

При расчёте распорных систем наклонную опорную реакцию R раскладывают на две составляющие: вертикальную V и горизонтальную Н. Горизонтальная составляющая Н опорной реакции называется распором. Если горизонтальная составляющая Н направлена вовнутрь конструкции, то такую конструкцию называют арочной системой (рис. 3.1, а), если наружу висячей системой (рис. 3.1, б). В настоящем курсе рассматривается только арочная система (арка).

По степени статической определимости различают арки: трёхшарнирные (рис. 3.2, а), двухшарнирные (рис. 3.2, б) и бесшарнирные

(рис. 3.2, в).

Арки могут быть как сплошными, так и решётчатыми. Опоры арки могут располагаться как в одном уровне, так и в разных уровнях.

Конструктивные элементы арки показаны на рис. 3.3: пролёт арки; f стрела подъёма арки; шарниры А и В называются пятовыми, а шарнир С замковым. Элемент арки между шарнирами А и С называется левой полуаркой, а между шарнирами В и С правой полу-

33

аркой.

По отношению стрелы подъёма арки к её длине различают сле-

y

С

f

ℓ

Рис. 3.3

Ось арки может быть очерчена различными кривыми. Наиболее часто в практике транспортного строительства используется парабола, описанная выражением (3.1), и дуга окружности, описанная выражением (3.2).

последних формулах R радиус окружности.

3.2. Расчёт трёхшарнирной арки на статическую нагрузку

Как и любой расчёт, расчёт трёхшарнирной арки начинают с определения опорных реакций. На рис. 3.4 изображена арка с пятами на одном уровне, находящаяся под воздействием системы внешних нагрузок.

34

Вертикальные составляющие Va и Vb опорных реакций Ra и Rb находят из рассмотрения пролёта арки как пролёта балки. Тогда изМВ = 0 следует

бающий момент, создаваемый действием вертикальных сил.

Для определения горизонтальных составляющих опорных реакций НА и НВ рассмотрим равновесие арки в целом. Составим уравнение статики – суммы проекций всех сил, действующих на арку, на горизонтальную ось х. х=НА НВ = 0 НА = НВ = Н. Далее, составляя уравнение моментов относительно замкового шарнира С, рассматривая при этом равновесие либо левой, либо правой полуарок, можно записать

Мсправ Мс0 прав Н f 0;

(3.3)

Мслев Мс0 лев Н f 0.

Исходя из (3.3) находят

35

Для определения внутренних усилий в произвольном сечении арки мысленно в этом сечении проводят плоскость, нормальную к оси арки (рис. 3.5). Положение плоскости определяется координатами её центра тяжести хк, ук и к.

v

φк

КМак

y

yк

VА

HА

Аxк

Рис. 3.5

Отделяемая этим сечением любая из частей арки находится в равновесии под действием приложенных к рассматриваемой части арки внешних сил и равнодействующей R внутренних сил, приложенной к плоскости сечения. С отнесением равнодействующей R в центр тяжести сечения внутренние усилия в сечении арки будут определяться

изгибающим моментомMka, поперечной силой Qka и продольной силой Nka. Рассматривая равновесие оставшейся части арки (см. рис. 3.5), составляют уравнение моментов относительно сечения k и уравнения проекций всех сил на нормаль и касательную к оси арки в точке к соответственно. Исходя из этого получены выражения

В формуле (3.6) Qka представляет собой так называемую балочную поперечную силу в сечении k при рассмотрении пролёта арки как пролёта балки.

По приведённым формулам строят эпюры внутренних усилий, предварительно определив геометрические параметры каждого рассматриваемого сечения трёхшарнирной арки.

3.3. Расчёт трёхшарнирной арки на подвижную нагрузку

Расчёт на подвижную нагрузку предполагает построение линий влияния всех искомых параметров, определяющих напряжённодеформированное состояние рассчитываемой конструкции.

Как обычно, расчёт начинают с построения линий влияния опорных реакций. Линии влияния вертикальных VА и VВ составляющих опорных реакций (рис. 3.6) строят так же, как строят линии влияния опорных реакций в двухопорной без консолей балке. При этом пролёт арки рассматривается как пролёт балки с длиной пролёта, равной расстоянию между пятовыми шарнирами А и В.

Линия влияния горизонтальной (распора Н) составляющей опорной реакции может быть построена в соответствии с выражением (3.4), согласно которому

f

Из (3.8) видно, что линия влияния распора имеет в точности такой же вид, что и линия влияния изгибающего момента для сечения С, построенной из рассмотрения пролёта арки как пролёта простой двухопорной балки (см. рис. 3.5). В соответствии с этим все ординаты данной линии влияния поделены на постоянную f , равную стреле подъёма арки.

Линия влияния изгибающего момента Мkа в произвольном сечении к арки, находящемся на расстоянии х от левой опоры, может быть построена исходя из формулы (3.5):

Рис. 3.6

Построение линии влияния поперечной силы Q основывается на формуле (3.6) и соответствует выражению