1753

Уравнения равновесия выполняются, что свидетельствует о правильности выполненных расчётов.

7. РАСЧЁТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК

7.1. Уравнение трех моментов

Неразрезной называется статически неопределимая балка, прикреплённая к земле более чем тремя простыми кинематическими связями.

При расчёте неразрезных балок опоры принято нумеровать слева направо. На рис. 7.1 показана многопролётная неразрезная балка и её основная система, выбранная в соответствии с методом сил.

а

Рис. 7.1

Степень статической неопределимости для неразрезных балок можно определять несколькими способами. Наиболее рациональным из них является способ, который заключается в том, что считают общее число простых кинематических связей, которыми балка прикреплена к земле. Из этого числа вычитают цифру 3, означающую минимально необходимое число простых кинематических связей для жёсткого прикрепления балки к земле. Полученное таким образом число

100

представляет собой степень статической неопределимости рассматриваемой неразрезной балки. Так, показанная на рис. 7.1, а балка прикреплена к земле шестью простыми кинематическими связями. Значит, степень её статической неопределимости равна трём.

Если рассчитывать неразрезную балку методом сил, то наиболее рациональной основной системой для неё является такая, в которой в надопорные сечения неразрезной балки введены шарниры, высвобождающие каждый одну степень свободы (рис. 7.1, б), давая возможность углового перемещения надопорных сечений балки.

На рис. 7.2 построены единичные эпюры моментов для неразрезной три раза статически неопределимой балки.

Рис. 7.3

Перемножением соответствующих единичных эпюр определим коэффициенты при неизвестных.

MFo приняты обозначения: n и n 1 площади грузовых эпюр моментов (метода сил) соответственно для пролётов n и n 1; an и bn 1расстояния от центра тяжести этих эпюр (см. рис. 7.3) соответственно до опор (n 1) и (n+1).

Подставим найденные перемещения в (7.1), перенося грузовое перемещение в правую часть уравнения и сокращая все слагаемые на изгибную жёсткость EJ:

6n Mn 1 2 n 6 n 1 Mn n6 1 Mn an n n bn 1n 1n 1 . (7.6)

103

Следует обратить внимание на правую часть выражения (7.6). По сути, она представляет собой сумму двух условных (фиктивных) опорных реакций, полученных от загружения условной нагрузкой, описанной по закону построенных грузовых эпюр МFo . Обозначив

ставив их в выражение (7.6), получим уравнение, которое в строительной механике носит название уравнения трёх моментов.

При расчёте многопролётных неразрезных балок на статическую нагрузку для каждой промежуточной опоры записывают уравнение трёх моментов. Таких уравнений записывают столько, сколько раз является статически неопределимой рассчитываемая балка. В результате решения полученной таким образом системы алгебраических уравнений находят значения опорных моментов. Строят эпюру опорных моментов, которую геометрически складывают с грузовой эпюрой MFo . В результате сложения получают эпюру моментов в заданной системе.

В прил. 2 приведены значения фиктивных опорных реакцийАnф и

Вnф для наиболее характерных случаев загружения однопролётных балок.

7.2. Определение моментных фокусных отношений

Рассмотрим некоторый участок неразрезной балки (рис. 7.4) с загруженным только одним пролётом и с построенной для этого случая эпюрой моментов. Если каким-то образом изменить величину силы F загруженного пролёта, то соответственно изменятся и ординаты этой эпюры. Но форма эпюры никак не изменится, а в незагруженных пролётах останутся неизменными положения нулевых точек, которые называются фокусными точками. Точки, расположенные правее загруженного пролета, называются правыми, а левее левыми фокусами.

Отношения опорных моментов незагруженного пролета называются моментными фокусными отношениями. Различают левые kn моментные фокусные отношения, представляющие собой отношение последующего опорного момента к предыдущему, и правые kn , пред-

104

ставляющие собой отношение предыдущего опорного момента к последующему.

Так, для пролёта n при расположении загруженного пролёта пра-

ложен левее рассматриваемого, то в нём будет иметь место правое

фокусное отношение kn Mn 1 . Таким образом, в каждом незагру-

Mn

женном пролёте имеются два моментных фокусных отношения, c помощью которых можно определять моменты на опорах незагруженных пролётов.

Рис. 7.4

Для вывода формулы определения моментных фокусных отношений рассмотрим участок неразрезной балки (рис. 7.5) при расположении загруженного пролёта правее выделенного участка.

Мn-1

Мn

Эп. М

Мn+1

Рис. 7.5

Запишем уравнение трёх моментов для опоры n и приравняем его к нулю (7.8). Равенство нулю выражения (7.8) связано с отсутствием

105

(рис. 7.6) левое фокусное отношение, согласно его определению,

момент Mn 1 0, то в этом случае kn .

Если крайний (например, левый) пролёт неразрезной балки имеет консоль, то, используя предыдущее рассуждение (рис. 7.7), можно заключить, что левое фокусное отношение kn .

аℓ1

Рис. 7.7

В случае жёсткого защемления крайнего (например, левого) пролёта неразрезной балки (рис. 7.8) для определения значения фокусного отношения в месте этого защемления в левую сторону ставят условный пролёт n 1 0, имеющий шарнирное опирание. Для этого случая было показано, что kn 1 . Тогда, подставляя это значение в

Эп. М

1

М0

ℓ-1=0 ℓ1

Рис. 7.8

107

Аналогичными будут значения правых фокусных отношений, если рассматривать такие же соответственно закрепления крайних правых пролётов неразрезной балки: kn и kn 2.

Пример. Определить фокусные отношения в неразрезной балке

(рис. 7.9).

Рис. 7.9

Фокусные отношения определим по формулам (7.11) и (7.12).

7.3. Определение моментов на опорах загруженного пролёта

При расчёте неразрезных балок, прежде чем воспользоваться моментными фокусными отношениями, необходимо найти значения моментов на опорах загруженных пролётов.

Пусть загруженным является только один пролёт n . Запишем уравнения трёх моментов соответственно для левой (n 1) и правой n опор.

108

Впервом уравнении системы (7.13) выразим опорный момент

Мn 2 через опорный момент Мn 1, используя для этого левое фокус-

ное отношение kn 1. Во втором уравнении этой же системы опорный момент Mn 1 выразим через момент Mn , используя для этого правое фокусное отношение kn 1:

В последних соотношениях, используя формулы (7.11) и (7.12), заменим левое kn 1 и правое kn 1 фокусные отношения на фокусные отношения kn и kn соответственно. Кроме того, учитывая, что загру-

женным является только пролёт n , Rnф 1 Аnф; Rnф Bnф . Подставляя эти данные в систему уравнений (7.13) и решая её относительно опорных моментов Mn и Мn 1, получим формулы для определения левых Мn 1 и правых Мn моментов на опорах загруженного пролёта.

Зная значения опорных моментов в загруженном пролёте, через соответствующие моментные фокусные отношения можно определить моменты на опорах незагруженных пролётов.

7.4.Определение изгибающих моментов и поперечных сил

взаданной системе неразрезной балки

Изгибающие моменты в заданной системе неразрезной балки определяем по известному выражению

109