1.3. Выравнивание вариационных рядов (построение теоретических распределений). Критерии согласия
Цели работы : изучить основные виды распределения при |
|
выравнивании вариационных рядов, научиться использовать |
|
С |
|
критерии согласия для проверки выдвинутой при выравнивании ряда |
|
гипотезы. |
|
|
1.3.1.Нормальное распределение |
кривых |
|
|
|
|
Под выравн ван ем вариационных рядов понимается замена |
||||
эмпир ческого |
распределения |
близким к нему по характеру |
||
теорет ческ м |
(вероятностным) |
распределением, |
имеющим |
|
бА |
последнего |
|||
определенное анал т ческое |
выражение (параметры |
|||
определяются по данным эмпирического распределения). |
|
|||
Из мног х |
форм |
распределения, по которым может |
||
выравн ваться |
вар ационный |
ряд, |
самое распространенное - |
|
нормальное распределение. График нормального распределения имеет форму колоколоо разной кривой, симметричной относительно хср, концы которой асимптотически приближаются к оси абсцисс. Она имеет точки переги а, а сциссы которых находятся на расстоянии S от центра симметрии. Эта кривая выражается уравнением
у |
1 |
ti /2 |
, |
2 e |
где у ордината кривой нормального распределения; ti =(хi хср)/S нормированные отклонения.
При выравнивании вариационного ряда по кривой нормального |
||||||
|
|
|
|
|
|
И |
распределения теоретические частоты ряда определяются по формуле |
||||||
|
Дn h 1 ti / 2 |
|||||
f |
|
S |
|
2 |
e |
, |
где n = Σfi сумма всех частот вариационного ряда; h величина интервала в группах (классах); S среднее квадратическое отклонение; ti нормированное отклонение вариантов от cpeдней арифметической.
Величина табулирована, ее легко определить по таблице, как функцию t, т.е. φ(t).
Основными параметрами кривой нормального распределения являются хср и S. По этим характеристикам ее и можно построить.
8
1.3.2. Распределение Пуассона
Если вариационный ряд представляет собой распределение по дискретному признаку, где по мере увеличения значений признака х частоты резко уменьшаются и где средняя арифметическая ряда равна или близка по значению к дисперсии, т.е хср = S2, то такой ряд можно выравнять по кривой Пуассона, аналитическое выражение:
|
|
Px |
ax |
|
e a , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x! |
|
|
|
||
где Рх вероятность наступления отдельных значении хi; а = хср |
||||||||
средняя ар фмет ческая ряда. |
|
|
|
|
|
|||
С |
частоты при |
выравнивании |
эмпирических |
|||||
Теорет ческ е |
||||||||
данных определяются по формуле f'=n·Pх, где f' теоретические |
||||||||
частоты; n |
ч сло единиц ряда. |
|
|
|
|
|
||
и1.3.3. Критерии согласия |
|
|||||||
После выравн вания ряда, т.е. нахождения теоретических |
||||||||
частот, возникает |
нео ходимость |
|
|
проверить, |
случайны или |
|||
общее |
|
|
|
|||||
существенны расхождения между эмпирическими и теоретическими |
||||||||
частотами, и тем самым проверить правильность выдвинутой при |
||||||||
выравнивании ряда гипотезы о наличии того или иного характера |
||||||||
распределения в эмпирическом ряду. |
|
|
|
|
|
|||
Для оценки близостиАэмпирических f и теоретических f' частот |
||||||||
можно применить один из критериев согласия: критерий Пирсона |
||||||||
(χ2 «хи-квадрат»), критерий Романовского, критерии Колмогорова |
||||||||
(λ «лямбда»). |
Пирсона χ2 представляет собой сумму отношений |
|||||||
Критерий |
||||||||
|
|
Д |
||||||
квадратоврасхождений между f и f´ к теоретическим частотам: |
||||||||
|
|
χ2 =Σ[(f f')2/ f')]. |
|
|
||||
Фактическое значение χ2 сравнивают с критическим, |
||||||||
определяемым по специальным таблицам в зависимости от |
||||||||
принимаемого уровня значимости и числа степеней свободы. Уровень |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
значимости α вероятность допуска ошибки в утверждении гипотетического закона (характера) распределения обычно принимается равным 5% или 1% (α=0,05 или α=0,01).
Число степеней свободы k рассчитывается как число групп m в ряду распределения минус единица и минус число параметров эмпирического распределения, использованных для нахождения
9
теоретических частот. Так, при выравнивании по кривой нормального распределения число степеней свободы k=т 1 2, поскольку при расчете теоретических частот используется два параметра
эмпирического распределения: хср и S, т.е. k=т 3. |
|
Если фактическое χ2 оказывается меньше табличного |
|
(критического), то расхождения между эмпирическими и |
|
теоретическими частотами можно считать случайными. |
|
При отсутств |
таблиц для оценки случайности расхождения |
теорет ческ х |
эмпирических частот можно воспользоваться |
максимального |
|
|
|
|
|
критер ем Романовского |
|
|
|
|
|
С |
2 k |
3 . |
|
||
|
|
2 k |
|
|
|
Если указанное отношение меньше 3, то расхождения считают |
|||||
бА |
|
||||
случайными, если ольше 3, то они существенны. |
|
||||
Кр тер й |
Колмогорова |
λ |
основан на |
определении |
|
|
расхождения |
между накопленными |
частотами |
||
эмпир ческого |
теоретического распределений: |
|
|||
|
|
|
D |
, |
|
|
|
|
n |
|
|
где D максимальная разность между накопленными частотами; n сумма всех частот.
Задача 1.4. В течение рабочей недели производилось наблюдение за работой машин и регистрировались неисправности, требовавшие
1.4. КонтрольныеДанныезадачи
остановкимашиндляихремонта. |
|
представленывтабл.1.4. |
||||
|
Результаты наблюдений |
|
|
Таблица 1.4 |
||
|
|
|
|
|||
Число неисправностей хi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Число машин fi |
12 |
14 |
8 |
5 |
2 |
1 |
Требуется: 1) вычислить вероятности иИтеоретические частоты числа неисправностей, считая, что распределение последних подчиняется закону Пуассона, 2) оценить близость эмпирических и теоретических частот с помощью критериев Пирсона, Романовского и Колмогорова.
10
Алгоритм решения:
1. Рассчитать среднее число неисправностей по средней арифметической взвешенной: хср = а.
2. По таблице определяется значение е -1,4 = 0,2466.
3. Подставляя в формулу Рх значения х = 0, 1, 2, 3, 4, 5, получить
вероятности числа неисправности от 0 до 5. |
|
|
|
|||||||
С |
|
|
|
|
|
|
||||
|
4.Рассчитатьтеоретическиечастотычисланеисправностей,т.е f'=NPх. |
|||||||||
|
Задача 1.5. Известны результаты исследований прочности на |
|||||||||
сжатие 200 образцов бетона (табл. 1.5). Исходя из гипотезы о |
||||||||||
нормальном распределении выровнять ряд по кривой нормального |
||||||||||
прочности |
|
|
|
|
||||||
распределен я |
|
оцен ть близость эмпирических и теоретических |
||||||||
частот. Уровень знач мости α=0,01. |
|
Таблица 1.5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Результаты исследований |
|
|
||
|
Интервалы |
бА |
220-230 |
230-240 |
240-250 |
|||||
|
|
190-200 |
200-210 |
210-220 |
||||||
|
кг/см2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частота fi |
|
|
|
10 |
26 |
56 |
64 |
30 |
14 |
Задача 1.6. Хронометражными наблюдениями установлено количество рейсов в смену, которое совершают автосамосвалы при вывозке щебня из карьера. Вычислить вероятности и теоретические частоты количества рейсов, считая, что распределение последних
подчиняется |
закону |
Пуассона, |
оценить |
близость |
эмпирических |
и |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
||||||
теоретических частот с помощью критериев Пирсона, Романовского и |
||||||||||||||
Колмогорова. Исходные данные представлены в табл. 1.6. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Результаты наблюдений |
|
Таблица 1.6 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Значения хi |
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
5 |
|
6 |
7 |
8 |
|
|
Частота fi |
|
11 |
9 |
|
8 |
6 |
|
5 |
И |
|
||||
|
|
|
|
3 |
2 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
Контрольные вопросы |
|
|
|
|
||||||
1.Чтопредставляетсобойпроцессвыравниваниявариационныхрядов? |
||||||||||||||
2. |
Для чего рассчитываются критерии согласия? |
|
|
|
||||||||||
3. |
Какие критерии согласия Вам известны? |
|
|
|
|
|||||||||
4. |
В каком случае вариационный ряд можно выравнивать по |
|||||||||||||
распределению Пуассона? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.Каковыосновныепараметрыкривойнормальногораспределения? |
||||||||||||||
6. |
Как рассчитать теоретические частоты для нормального |
|||||||||||||
распределения? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7.КакрассчитатьтеоретическиечастотыдляраспределенияПуассона? |
||||||||||||||
8. |
Каковы основные параметры распределения Пуассона? |
|
|
|||||||||||
11