1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ПРИНЦИПОВ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ТЕХНОЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1.1. Построение плотности распределения |
|
||||||||||||
|
|
|
и функции распределения |
|
|
|||||||||
Цель |
работы: зучить |
|
|
основные |
принципы практического |
|||||||||
вероятности |
|
|
|
|
методов |
для |
решения |
|||||||
использован |
|
стат стических |
||||||||||||
техноэконом ческ |
х задач. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
тат |
ческ |
методы применяются в случае если исходные |
||||||||||||
данные меют |
случайный |
характер. |
Основные понятия из теории |
|||||||||||
|
б |
|
|
|
||||||||||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Математ ческое ожидание случайной величины определяет ее |
||||||||||||||
среднее значен |
: |
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|||
|
|
|
М |
|
|
|
x |
|
|
|
(1.1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ni 1 i |
|
|
|
||||
|
|
|
А |
|
n число |
|||||||||
где xi значение случайной величины в |
i-й реализации; |
|||||||||||||
реализаций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В Excel математическое ожидание определяется с помощью |
||||||||||||||
функции СРЗНАЧ в категории Статистические. |
|
|
||||||||||||
Среднее квадратичное отклонение определяет разброс значений |
||||||||||||||
случайной величины относительно ее математического ожидания. В |
||||||||||||||
Excel эта величина называется стандартное отклонение и |
||||||||||||||
вычисляется с помощью функции СТ |
Н ОТКЛОН по зависимости |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||
|
|
|
|
|
n |
x M 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
i |
Д |
|||||
|
|
|
G |
|
|
n 1 |
. |
|
|
|
||||
|
|
(1.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Коэффициент вариации или вариабельности показывает |
||||||||||||||
относительную величину разброса случайных величин: |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
достаточно много. На практике наибольшее распространение получил
нормальный закон распределения, который имеет две формы представления [1]:
1. плотность распределения f(x):
С |
|
|
|
1 |
|
|
e |
x M 2 |
; |
|
(1.4) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
f (x) |
|
|
|
2S2 |
|
||||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. функц я распределения F(x): |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
практическое |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||
|
|
|
F(x) |
|
|
f(x)dx, |
|
(1.5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
которая |
ногда называется интегральной функцией и имеет большое |
||||||||||||
|
значен , так как с помощью зависимости |
P(x а) = |
|||||||||||
|
бА |
|
|
||||||||||
F(x) дает возможность определить: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. какова вероятность Р появления случайной величины |
x a |
||||||||||||
|
(прямая задача); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х, |
|
2. |
чему должна |
ыть равна |
|
|
случайная величина |
чтобы |
|||||||
|
вероятность ее появления равнялась бы заданному значению |
||||||||||||
|
= F(x) (о ратная задача). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
График плотности распределения показывает, какие значения |
|||||||||||||
|
|
|
|
Д |
|
||||||||
случайной величины наиболее вероятны. |
|
|
|
||||||||||
Теоретически случайная величина х может изменяться в |
|||||||||||||
пределах - <x< . По теореме Чебышева, 89% единиц генеральной |
|||||||||||||
совокупности попадает в интервал: |
|
|
|
|
И |
||||||||
|
М 3G х M + 3G, |
||||||||||||
что и принимается за пределы изменения случайной величины. |
|
||||||||||||
В |
Excel эти обе |
формы |
|
находятся с помощью |
функции |
||||||||
НОРМРАСП(а; срзнач; стандотклон; интегральная), где а задаваемое значение случайной величины, для которой находятся значения f(x) и F(x); срзнач, стандотклон величины, определяемые по выражениям (1.1) и (1.2); интегральная определяет форму, для которой определяется значение. Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, то определяется значение интегральной функции, то есть функции распределения F(a). При аргументе ЛОЖЬ определяется значение плотности распределения f(a).
5
Задача 1.1. В небольшом регионе в строительной отрасли работают 10 предприятий, рентабельность которых в текущем году представлена в табл. 1.1. Требуется проанализировать деятельность отрасли в регионе в текущем году; спланировать рентабельность
|
отрасли в регионе в следующем году с вероятностью 80%. |
|
|
|
||||||||||
С |
|
Рентабельность предприятий |
|
Таблица 1.1 |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Номер предпр ят я |
11 |
22 |
|
33 |
|
44 |
55 |
66 |
77 |
88 |
99 |
10 |
|
|
рис |
54 |
|
32 |
|
-0,4 |
-2 |
-12 |
35 |
54 |
45 |
28 |
|
|
|
Рентабельность xi |
22 |
|
|
|
|||||||||
|
Расчет основных статистических показателей и построение |
|||||||||||||
|
функц й представлено на |
. 1.1-1.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
бА |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
||||||
|
|
Рис. 1.1. Плотность и функция распределения |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|||||
Рис. 1.2. Расчет в Ехсеl
6
Выводы:
1. В среднем рентабельность по отрасли в регионе в текущем году составила М=25.56%.
2. График плотности распределения f(х) показывает, что
|
наиболее вероятно появление случайной величины М=25,56. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3. Из рис. 1.1 видно, что с вероятностью в 80% можно ожидать |
|||||||||||||||||||||||
|
повышения среднего значения рентабельности не более чем до 44%. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1.2. Контрольные задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
выработки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Задача 1.2. |
Несколько бригад ведут забивку железобетонных |
||||||||||||||||||||||
|
свай экскаваторами-копрами. В таблице 1.2 представлены средние |
|||||||||||||||||||||||
|
сменные |
|
|
|
|
|
на |
ригаду в штуках забитых свай. |
Требуется |
|||||||||||||||
|
проанал з ровать деятельность ригады и спланировать её работу с |
|||||||||||||||||||||||
|
|
бА |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
вероятностью 90%. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сменная выработка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Номер бр гады |
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
|
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
|
||||
|
Сменная |
|
|
|
|
10 |
|
9 |
|
12 |
7 |
9 |
|
|
|
8 |
|
11 |
|
6 |
|
|
||
|
выработка хi, шт. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Задача 1.3. В результате 10 хронометражных наблюдений |
|||||||||||||||||||||||
|
установлена |
продолжительность |
формирования бетонных колец. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
||||||||||
|
Данные представлены в табл. 1.3. Требуется проанализировать |
|||||||||||||||||||||||
|
продолжительность формирования и спланировать процесс с |
|||||||||||||||||||||||
|
вероятностью 85%. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.3 |
|||||||||||
|
|
|
|
Продолжительность формирования бетонных колец |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Номер |
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
6 |
|
7 |
8 |
9 |
|
10 |
|
|
|||
|
наблюдения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Время хi, мин |
|
10,3 |
|
10,7 |
11,2 |
10,9 |
|
10,4 |
10,6 |
|
11,3 |
11 |
10,4 |
10,5 |
|
|
|||||||
Контрольные вопросы
1. Что определяет математическое ожидание?
2. Как рассчитать среднее квадратическое отклонение?
3. Для чего рассчитывается коэффициент вариации?
4.Какие формы представления имеет нормальный закон распределения?
5.Каков смысл прямой и обратной задач?
6.Каково практическое значение функции распределения?
7