1638

(35,197) В большом зале уже гремел оркестр, и начались танцы. (9,42) После казенной квартиры, охваченная впечатлениями света, пестроты, музыки, шума, Аня окинула взглядом залу и подумала: «Ах, как хорошо!» и сразу отличила в толпе всех своих знакомых, всех, кого она раньше отличала на вечерах и гуляньях, всех этих офицеров, учителей, адвокатов, чиновников, помещиков, его сиятельство, Артынова и дам высшего общества, разодетых, сильно декольтированных, красивых и безобразных, которые уже занимали свои позиции в избушках и павильонах благотворительного базара, чтобы начать торговлю в пользу бедных. (72,43) Громадный офицер в эполетах - она познакомилась с ним на Старо-Киевской улице, когда была гимназисткой, а теперь не помнила его фамилии – точно из-под земли вырос и пригласил ее на вальс, и она отлетела от мужа, и ей уже казалось, будто она плыла на парусной лодке, в сильную бурю, а муж остался далеко на берегу.» (53,247)

В табличном виде выборка выглядит так:

2. Из большого мешка, содержащего монеты одинакового достоинства, случайным образом отобраны 10 монет. Каждая монета была взвешена, и для каждой определен ее возраст:

31

3.3. ВЫБОРОЧНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ — ЧИСЛОВАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДВУМЕРНОЙ ВЫБОРКИ

(X,Y) M(XY) MX) M(Y).

(X) (Y)

Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

1.Если X и Y независимы, то ρ(Х,Y) = 0.

2.| ρ(Х,Y) | ≤ 1.

3.| ρ(Х,Y) | = 1 тогда и только тогда, когда случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью Y = aX + b.

В математической статистике аналогом является выборочный коэффициент корреляции r, определяемый по формуле

Нетрудно убедиться в следующих свойствах выборочного коэффициента корреляции:

1.| r | ≤ 1.

2.| r |= 1 тогда и только тогда, когда точки (xi, yi) лежат на одной

прямой.

3.Если точки (xi, yi) расположены на диаграмме рассеяния хаотически, то значение r весьма близко к нулю.

Вычислим значение выборочного коэффициента корреляции для наших трех случаев. Для удобства будем использовать таблицы.

Пример с текстом (табл. 3.1).

34

r 12,9 4 3,3 = -0,07 2,05 2,1

Такое маленькое значение r указывает на отсутствие связи между результатами бросаний кубиков, что соответствует интуитивному представлению о независимости бросаний.

и назовем его выборочной ковариацией.

3.4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Обратимся к примеру с текстом. На рис. 3.1 хорошо видно, что точки (хi, уi) группируются около прямой. Естественным образом возникает задача подбора уравнения этой прямой. Например, для того, чтобы предсказать, сколько примерно букв будет содержать предложение с заданным количеством слов, можно подобрать два уравнения:

y = ax + b (независимая переменная - число слов, функция – число букв);

x = cy + d (независимая переменная - число букв, функция – число слов).

Каждое из таких уравнений называется уравнением регрессии. (Слово “прогресс” означает развитие, движение вперед, слово “регресс” означает упрощение, движение назад). В случае уравнения y = ax + b говорят о регрессии y на x; в случае уравнения x = cy + d говорят о регрессии x на y.

В нашем примере каждая из переменных, как x, так и y, может быть объявлена независимой. Возможны ситуации, когда независимая переменная определяется однозначно. Например, можно исследовать растворимость некоторого вещества (переменная y) в зависимости от температуры растворителя (переменная x). Здесь x – независимая переменная, ее значение можно установить заранее, а y – статистически зависимая переменная. Исследуется только зависимость y от x.

Допустим, мы хотим подобрать коэффициенты уравнения y = ax + b так, чтобы это уравнение наилучшим образом соответствовало экспериментальным данным (xi, yi); i = 1,2,…,n. Но ведь понятие «наилучшим образом» не является строгим. Между точками на рис. 3.1

36

можно провести бесконечно много «хороших» прямых. Какая же из них «лучшая»?

Общепринятым способом определения неизвестных коэффициентов уравнения регрессии является метод наименьших квадратов, разработанный А. Лежандром (1806 ) и К. Гауссом (1821 ). Идея метода наименьших квадратов такова. Пусть нужно подобрать неизвестные коэффициенты a1, a2,…,ak уравнения регрессии y = f(a1,a2,...,ak, х). Рассмотрим экспериментальную точку (xi,yi) и вычислим отклонение ординаты уi точки от теоретического значения f(a1,a2,...,ak, хi) (рис.3.4).

Рис. 3.4

di= уi – f(a1,a2,...,ak, хi) , i = l,2,...,n.

Неизвестные значения a1,a2,...,ak подберем из условия минимизации суммы квадратов отклонений di:

получится система из k уравнений для определения k неизвестных чисел a1,a2,...,ak.

Составим эту систему и решим ее в случае линейного уравнения регрессии. Нужно определить два неизвестных коэффициента а и b уравнения прямой y = ax + b. Имеем

n

S yi (axi b) 2 min;

i 1

37

Разделим второе уравнение системы на n. Уравнение примет вид y = a x + b, откуда b = y – ax .

Разделим на n первое уравнение системы и подставим в него полученное выражение b через a. После несложных преобразований имеем:

aSx2 Sxy a Sxy2 . Sx

Итак,

a = Sxy /Sx2 ; b = y – a x .

Уравнение y = ax + b можно переписать в виде

S

(y y) xy (x x ),

Sy2

следовательно, наша прямая проходит через точку (x ; y ) .

Аналогично определяют коэффициенты c и d линейного уравнения регрессии x на y, x = cy + d.

c = Sxy /Sy2 d = x – c y .

Само уравнение можно записать так:

(x x ) Sxy (y y). Sy2

В этом случае минимизируется сумма квадратов отклонений по координате x:

Найдем коэффициенты линейных уравнений регрессии y на x и x на y для примеров с текстом и монетами. Все необходимые расчеты уже были сделаны при вычислении коэффициентов корреляции (см. пункт 4.3).

Пример с текстом:

38

Найдем коэффициенты c и d уравнения регрессии x на y.

Тогда x = 0,17y + 2,56.

Вычислим несколько значений x для разных y.

Эти прямые приведены на рис. 4.1. Прямые почти совпадают – еще одно доказательство сильной линейной зависимости между числом слов и числом букв в предложении.

Пример с монетами.

39

Уравнение регрессии x на y: x = -348,84y + 999,4.

Несколько значений х:

Эти прямые показаны на рис. 3.2. Прямые не так близки, как в случае с текстом, масса монеты не столь жестко связана с ее возрастом, как число слов и букв в предложении.

3.5.ДРУГИЕ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ

3.5.1.Парабола второго порядка

Уравнение имеет вид y = ax2 + bx + c.

Метод наименьших квадратов дает такую систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов а, b, c:

3.5.2. Показательная функция

Уравнение имеет вид y = bxa.

Прологарифмируем левую и правую части, для определенности вычислим натуральные логарифмы

ln(y) = a∙ln(x) + ln(b).

Обозначим ln(y) через y1, ln(x) через x1, ln(b) через b1. Получаем уравнение относительно неизвестных коэффициентов а и b1:

y1 = ax1 + b1

Определив по методу наименьших квадратов числа a и b1, найдем

b= eb1.

3.5.3.Степенная функция

Уравнение имеет вид y = bax.

Прологарифмировав левую и правую части, получим линейное

40