1638

Если все монеты правильные, то вероятность выпадения герба для каждой из них равна р = 0,5. Тогда случайная величина Х – число выпавших гербов при бросании семи монет – имеет биномиальное распределение с параметрами n = 7 и р = 0,5. Биномиальное распределение дискретно, поэтому нужно вычислить теоретические вероятности рi каждого из 8 возможных значений случайной величины X. Эти

Теперь можно вычислить математические ожидания чисел появлений каждого из значений случайной величины Х при 1536 бросаниях семи монет, сравнить их с экспериментальными данными и вычислить 2эксп. Результаты сведены в табл. 6.10.

Найдем 2кр. В случае дискретной случайной величины при подсчете r вместо числа интервалов берут число различных значений хi. В нашем случае r = 8 - 1 = 7, так как ни одного параметра по выборке мы не находим. Тогда 2кр = 14,l > 2эксп = 10,32. Нет оснований опровергнуть гипотезу о правильности монет.

6.3.4. Проверка гипотезы о законе распределения Пуассона

В таблице приведены числа ni участков равной площади (0,25 км2) южной части Лондона, на каждый из которых приходилось по хi попаданий самолетов-снарядов во время второй мировой войны

(табл. 6.11).

91

Всего n = 576 участков. При уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – число самолетов-снарядов, попавших на участок, имеет распределение Пуассона.

Вероятность того, что случайная величина X, имеющая распределение Пуассона, примет значение i, равна

Остальные вычисления сведены в табл. 6.12.

обеспечить выполнение условия nрi 5. Таким образом, осталось 5 разных значений случайной величины: 0, 1, 2, 3 и все, что больше или равно 4. Число степеней свободы равно r = 5 - 1 - 1 = 3, так как по выборке было определено значение параметра . Тогда 2кр = 7,8 > 2эксп = 0,96. И в этом случае можно считать справедливой выдвинутую гипотезу.

6.3.5. Последний пример

Согласно закону Геллина, предложенному им в 1855 г., вероятности

92

рождения двоен, троен и четверней есть соответственно р, р2, р3, где р – число, постоянное для данной группы населения. На основании приведенных ниже данных проверить, выполняется ли закон Геллина для многоплодных рождений среди японцев и белого населения США. В табл.6.13 через ν2, ν3, ν4 обозначены относительные частоты рождений двоен, троен и четверней соответственно за указанные периоды.

Таблица 6.13

Прежде всего оценим по нашим выборкам неизвестные значения р. Положим, что сумма частот ν2 + ν3 + ν4 равна сумме

число. Для белого населения США имеем:

p 0,01129 0,0001088 0,00000177 0,01140057 0,0114; 1 p

Теперь можно воспользоваться критерием 2. Нужно определить, извлечена ли выборка из генеральной совокупности X, имеющей такой закон распределения (табл. 6.14).

Таблица 6.14

Здесь р = 0,0113.

Все вычисления сведем в табл. 6.15. Частоты n1, n2, n3, n4 равны соответственно:

n1 = nν1 = 27939615* (1 - ν2 - ν3 - ν4) = 27621087,5;

n2 = nν2 = 27939615*0,01129 = 315438,25; n3 = nν3 = 3039,8; n4 = nν4 = =49,45.

93

распределение.

3. На некотором заводе были обследованы рабочие, получившие на производстве незначительные увечья. За 52 недели результаты оказались такими:

Можно ли эти данные аппроксимировать законом распределения Пуассона?

4. Было проверено 500 одинаковых контейнеров со стеклянными изделиями. В каждом контейнере нашли число поврежденных изделий:

Можно ли утверждать, что случайная величина Х – число поврежденных изделий в контейнере – имеет распределение Пуассона?

5. Ниже приводятся ставшие классическими данные Борткевича о числе лиц, убитых ударом копыта в 10 прусских армейских корпусах за 20

лет (1875-1894):

Проверить гипотезу о том, что число смертей в одном корпусе за год подчиняется закону Пуассона.

6. По данным шведской статистики, в Швеции в 1935 г. родилось 88273 ребенка, причем распределение рождений по месяцам таково:

Совместимы ли эти данные с гипотезой о том, что день рождения наудачу выбранного человека с равной вероятностью приходится на любой из 365 дней года?

7. Ниже приводятся результаты опыта с подбрасыванием костей. Количество граней с 6 очками при 4096 подбрасываниях 12 костей:

95

Проверить гипотезу о правильности костей.

Взадачах 8 - 16 проверить по критерию Пирсона одну из трех гипотез

озаконе распределения генеральной совокупности: равномерном, нормальном или показательном законе.

8. Регистрировалось время прихода 800 посетителей выставки (начало отсчета – момент открытия выставки). Результаты указаны в таблице; в первой строке – интервалы времени, во второй – количество посетителей, пришедших в течение данного интервала времени:

9. Результаты обследования роста 1000 человек:

10. Результаты испытаний прочности партии стальной проволоки диаметром 1,4 мм:

11. Результаты взвешивания 800 стальных шариков:

1.4.12. При изготовлении стального листа для автомобильных корпусов некоторые места, подверженные ржавчине и коррозии, следует гальванизировать, т.е. обычный стальной лист целиком покрыть тонким ровным слоем цинка. Заказчику необходимо найти металлургический завод, который имеет возможность провести гальванизацию таким образом, чтобы плотность слоя покрытия была не меньше 91,5 г/м2. На

96

одном заводе собраны следующие данные о цинковом покрытии стальных листов:

Оценить долю листов, которая не будет удовлетворять требованиям заказчика.

13. Результаты наблюдения за среднесуточной температурой воздуха в течение 320 суток:

14. Результаты испытаний 1000 элементов на время безотказной работы (часы):

Положить = 0,01.

15. Цифры 0,1,2,…,9 среди 800 первых десятичных знаков числа появились 74, 92, 83, 79, 80, 73, 77, 75, 76, 91 раз соответственно.

Согласуются ли эти данные с утверждением, что цифры в десятичном представлении числа распределены равномерно?

16. Для проверки точности хода специальных маятниковых часов в выбранные наудачу моменты времени фиксировались углы отклонения оси маятника от вертикали. Амплитуда колебаний поддерживалась равной А = 15°. Результаты 1000 таких измерений, разбитые на интервалы в 3°, приведены в таблице.

Проверить гипотезу о согласии наблюдений с законом распределения арксинуса. Функция плотности этого закона имеет вид

97

7.ПОНЯТИЕ О ТОЧЕЧНЫХ И ИНТЕРВАЛЬНЫХ ОЦЕНКАХ ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ

Много лет размышлял я над жизнью земной, Непонятного нет для меня под луной, Мне известно, что мне ничего не известно! - Вот последняя правда, открытая мной.

О. Хайям (перевод Г. Плисецкого)

7.1. ВЫБОРОЧНЫЕ СТАТИСТИКИ

Выборочной статистикой называется произвольная числовая функция f(x1, x2, …, xn), вычисляемая для значений x1, x2, …, xn, образующих выборку. Если вместо чисел x1, x2, …, xn мы рассмотрим случайные величины X1, X2, …, Xn, независимые и одинаково распределённые, как генеральная совокупность X, то получим случайную величину f(X1, X2, …, Xn), которая также называется выборочной статистикой или просто статистикой. В математической статистике случайные величины и их значения часто обозначаются одними и теми же маленькими буквами.

Рассмотрим два примера.

Пример 1. Выборочное среднее x .

Случайную величину x выборочное среднее – определяют по формуле

1 n

x Xi. n i 1

Найдём математическое ожидание и дисперсию случайной величины x . Обозначим математическое ожидание и дисперсию генеральной совокупности X через a и 2 соответственно. Таким образом, М(X)=a,

генеральной совокупности. При вычислении математического ожидания и

98

дисперсии мы воспользовались известными свойствами этих числовых характеристик.

Пример 2. Выборочная дисперсия S2.

Случайная величина S2 задаётся формулой

Найдём математическое ожидание этой случайной величины:

Математическое ожидание случайной величины S2 не равно дисперсии генеральной совокупности X. Чтобы получить равенство, рассматривают другую случайную величину. Она обозначается S~2 , называется исправленной выборочной дисперсией и связана с выборочной дисперсией S2 формулой

7.2. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ

Допустим, что нам известен закон распределения генеральной совокупности. Но каждый закон распределения зависит от нескольких параметров. Например, плотность вероятности нормального закона зависит от параметров a и .

2

В формулу для показательного закона входит параметр :

Равномерный закон распределения зависит от параметров a и b:

Вероятности значений, которые принимают дискретные случайные величины, также зависят от параметров. Например, вероятности значений

99

случайной величины, распределённой по закону Пуассона, зависят от параметра :

P(x k) k e , k=0,1,2,…, M(x) . k!

Вероятность “успеха” p и число независимых экспериментов n – параметры биномиального закона распределения.

Вероятность Pn,k того, что случайная величина, распределённая по биномиальному закону, примет значение, равное k, считается по формуле

Pn,k Cnk pk (1 p)n k, k=0,1,2,…,n; M(x) np; D(x) npq.

Если закон распределения генеральной совокупности известен, а значения параметров, от которых этот закон зависит, неизвестны, возникает задача оценки значений этих параметров по имеющимся значениям x1, x2, …, xn извлечённой из генеральной совокупности выборки. Точечные оценки параметров – это оценки с помощью числовых значений подходящих статистик. При этом можно оценивать не только параметры, непосредственно входящие в формулу для закона распределения, но и числовые характеристики генеральной совокупности – математическое ожидание, дисперсию, коэффициент корреляции и т. п. К точечным оценкам предъявляют три следующих требования:

1. Если статистика f (x1,x2,...,xn )- оценка параметра a, то при n

должна иметь маленькую дисперсию.

Оценка, обладающая минимальной дисперсией, называется эффективной.

В качестве примера рассмотрим точечные оценки математического ожидания a и дисперсии 2 генеральной совокупности – выборочное среднее x , выборочную дисперсию S2, исправленную выборочную

дисперсию S~2. Состоятельность выборочного среднего

x 1 n xi ni 1

100