1638

36. Требуется оценить средние еженедельные расходы на питание студентов некоторого университета. Эта оценка используется для определения размера дотаций нуждающимся студентам.

1. Выборку какого объёма следует взять для получения доверительного интервала шириной 0,4 долл. при доверительной вероятности 0,95? Из опыта известно, что S=5 долл.

2.Оказалось, что выборочное среднее равно 70 долл. Указать пределы доверительного интервала для средних расходов на питание.

3.Сколько примерно расходует студент на питание в течение учебного года (35 недель)?

37.Известно, что S2=4. При каком n левая граница доверительного

интервала для 2 отличается от S2 на 1,8? Положить 0,95.

38. На некотором предприятии работает 2000 человек. Дирекция хочет оценить долю рабочих, которые в понедельник опоздали на работу более чем на 5 минут.

1.Выборку какого объёма нужно взять, чтобы доверительный интервал имел ширину не более 4%, если β=0,95? (Дирекции известно, что количество опоздавших не больше 30%).

2.Была взята случайная выборка того объёма, который был определён

в предыдущем пункте. Оказалось, что x 0,18. Оценить общее число рабочих, опоздавших на работу в понедельник.

39. 800 студентам задали следующий вопрос: купили бы вы в период с сентября по июль в магазине нашего университетского городка хотя бы одну пару обуви? Число положительных ответов оказалось 100.

1.Построить доверительный интервал для доли студентов, сделавших такую покупку, если 0,99.

2.Оценить общее число покупателей-студентов, если всего в университете учится 20000 студентов.

3.Предположим, что студенты, попавшие в выборку, ответили также, сколько пар обуви они купили и за какую цену. Сто студентов, каждый из которых купил хотя бы одну пару обуви, купили в общей сложности

120 пар по средней цене x 45 долл. за пару, причём S=6,3 долл. Построить доверительный интервал для средней стоимости пары обуви, приобретённой всеми студентами, 0,95.

4. Оценить общую сумму денег, истраченных на обувь студентами в магазинах этого городка.

121

8.ПОНЯТИЕ О ПРОВЕРКЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Осколько нам открытий чудных Готовят просвещенья дух, И опыт, сын ошибок трудных, И гений, парадоксов друг,

И случай, бог изобретатель.

А. С. Пушкин

8.1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

8.1.1.Что такое статистическая гипотеза

Под статистической гипотезой мы будем понимать либо предположение о законе распределения генеральной совокупности (закон неизвестен), либо предположение о значениях (неизвестных) параметров известного закона распределения.

Всоответствии со сказанным статистические гипотезы делятся на непараметрические, если в них высказывается предложение о виде закона распределения, и параметрические, если в них говорится о значениях параметров известного закона распределения.

Вглаве 1 мы уже рассматривали процедуру проверки непараметрических гипотез по критерию Пирсона.

Параметрические гипотезы рассматриваются попарно. Гипотезы, образующие пару, взаимно исключают друг друга; называются они нулевой и альтернативой. Процедура проверки применяется к нулевой гипотезе H0. Если в результате проверки оказывается целесообразным отвергнуть гипотезу Н0, то принимается альтернативная гипотеза Hа.

Нулевая гипотеза - это простая гипотеза, в ней говорится о конкретных значениях параметров. Альтернативная гипотеза сложная, в ней подразумевается бесконечно много возможностей. Рассмотрим несколько примеров нулевых и альтернативных гипотез.

Нулевая гипотеза: математическое ожидание а генеральной совокупности равно числу а0. Коротко это записывается так: H0: a = a0. Возможные для этого случая альтернативные гипотезы:

122

8.1.2. О процедуре проверки нулевой гипотезы

Всякую гипотезу (не только статистическую) желательно обосновать. Вряд ли можно дать строгое определение такому понятию, как обоснование. В статистике под обоснованием гипотезы понимается следующая процедура.

1.Подбирается случайная величина K (выборочная статистика), закон распределения которой известен в предположении справедливости нулевой гипотезы Н0.

2.Область значений случайной величины K разбивается на два непересекающихся подмножества. Вероятность того, что случайная величина K примет значение из первого множества (если только справедлива гипотеза Н0), велика. Вероятность того, что случайная величина K примет значение из второго множества, мала. Первое множество значений называется областью принятия гипотезы H0, второе – областью отвержения гипотезы Ha или критической областью. Вероятность попадания в критическую область называется уровнем значимости и обозначается буквой α. Тогда вероятность попадания в область принятия гипотезы Н0 равна (1 – α).

3.По выборке, извлеченной из генеральной совокупности, вычисляется экспериментальное значение случайной величины K – число Kэксп. Если это число принадлежит критической области, то гипотеза Н0 отвергается, как противоречащая опытным данным. Справедливой считается альтернативная гипотеза На. Если число Kэксп принадлежит области принятия гипотезы Н0, эта гипотеза считается согласующейся с опытными данными.

Случайная величина K называется статистическим критерием или тестом.

Взависимости от условия эксперимента критическую область можно

выбрать двусторонней, левосторонней и правосторонней. На рис. 8.1 – 8.3 проиллюстрированы введенные определения. На каждом из этих рисунков показан график функции плотности вероятности случайной величины K при условии справедливости гипотезы Н0, обозначена эта функция f (К / Н0).

8.1.3. Ошибки, допускаемые при проверке статистических гипотез

Всякое заключение об истинности или ложности статистической гипотезы достаточно условно. Выборка конечного объёма не может отражать всю генеральную совокупность. Если экспериментальное значение

123

статистического критерия, вычисленное по этой выборке, попало в область принятия гипотезы Н0, это ещё не означает, что Н0 обязательно верна. Если число Kэксп попало в критическую область, это не гарантия справедливости

124

альтернативной гипотезы.

Таким образом, применяя процедуру проверки некоторой статистической гипотезы, можно совершить одну из двух ошибок.

Ошибкой первого рода называется ошибка отклонения верной гипотезы Н0. Вероятность этой ошибки равна вероятности попадания случайной величины K в критическую область, т.е. равна числу α. Ошибкой второго рода называется ошибка принятия ложной гипотезы Н0. Чтобы найти вероятность ошибки второго рода, нужно знать закон распределения случайной величины K в предположении справедливости альтернативной гипотезы На. Тогда искомая вероятность равна вероятности попадания случайной величины K в область принятия гипотезы Н0. Это число обозначается буквой β. Мощностью критерия K называется вероятность (1 – β) несовершения ошибки второго рода.

Хороший статистический критерий тот, для которого минимальны вероятности совершения ошибок как первого, так и второго рода. Но мы не будем рассматривать теорию построения критериев максимальной мощности, ограничимся только обсуждением так называемых критериев значимости, применяя которые заранее фиксируют вероятность совершения ошибки первого рода (уровень значимости α).

Во многих случаях экспериментатору достаточно быть уверенным в том, что выдвинутая им нулевая гипотеза не противоречит опытным данным.

8.2. ПРОВЕРКА ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ПО КРИТЕРИЯМ ЗНАЧИМОСТИ

В дальнейшем ограничимся только случаем нормально распределенной генеральной совокупности или нескольких нормально распределенных генеральных совокупностей.

8.2.1. Проверка гипотезы о значении математического ожидания

8.2.1.1. Случай, когда дисперсия σ2 генеральной совокупности известна

Задача ставится следующим образом. Из нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестным математическим ожиданием a и известной дисперсией σ2 извлечена выборка объёма n. Выдвигается нулевая гипотеза, что значение математического ожидания равно числу a0. Требуется подтвердить или опровергнуть эту гипотезу. Для проверки гипотезы используется случайная величина

125

125 раз. Можно ли утверждать, что кость правильная? Принять α = 0,05. Решение. Требуется проверить нулевую гипотезу Н0 : р = 1/6. Если

кость правильная, то математическое ожидание числа выпадений шестерки в шестистах бросаниях равно 1/6 * 600 = 100.

Так как 125 > 100, в качестве альтернативной гипотезы примем гипотезу На : p> 1/6. Критическая область - правосторонняя (рис. 8.5).

Число uкр находится из условия Р (u > uкр) = α = 0,05. С другой стороны, P(u > uкр) = Ф (∞) – Ф (uкр) = 0,5 – Ф (uкр).

Отсюда Ф(uкр) = 0,45 uкр=1,65. Найдём число uэксп.

Экспериментальное значение критерия больше критического, нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной.

8.2.1.3. Проверка гипотезы о значении математического ожидания, когда дисперсия генеральной совокупности неизвестна

Когда объём выборки мал (n < 30), а дисперсия генеральной совокупности неизвестна, для проверки нулевой гипотезы H0 : a = a0 используют статистику

128

где x – выборочное среднее; S – выборочное среднее квадратическое отклонение; S~ – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение.

Если нулевая гипотеза верна, случайная величина T распределена по закону Стьюдента с n – 1 степенями свободы.

Пример. По паспортным данным автомобильного двигателя, расход топлива на 100 км пробега составляет 10 л. В результате изменения конструкции двигателя ожидается, что расход топлива уменьшится. Для проверки были испытаны 25 случайно отобранных автомобилей с модернизированным двигателем. Средний расход топлива на 100 км пробега оказался равным x = 9,6 л. Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение расхода топлива равно 2 л. Можно ли утверждать, что изменение конструкции двигателя не повлияло на расход топлива? Положить α = 0,05. Считать, что выборка произведена из нормальной генеральной совокупности.

Решение. Проверяется нулевая гипотеза Н0: а = 10 против альтернативной гипотезы На : а < 10. Если нулевая гипотеза верна, то случайная величина

x 10

T S~ 25

имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы n = 24. По таблице распределения Стьюдента, полагая α = 0,05 и r = 24, находим, что критическое значение в случае правосторонней критической области tкр = l,71. Так как график функции плотности вероятности распределения Стьюдента симметричен относительно нуля, для левосторонней критической области Tкр = -1,71. Вычислим Тэксп.

Тэксп > Tкр, нет оснований считать, что новая конструкция двигателя позволила уменьшить расход топлива.

Пример. В условиях предыдущего примера определить такое максимальное значение выборочного среднего, что при α = 0,05 нулевая гипотеза будет отвергнута.

Решение. Значение x определяется из условия

129

гипотеза Н0 справедлива? (Полагаем, что S~ = 2).

Решение. Вероятность ошибки первого рода – это вероятность того, что случайная величина

T x 10 25 , 2

имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы r = 24, примет значение меньше чем (9,47 – 10) * 2,5 = -1,32.

По таблице распределения Стьюдента находим, что α = 0,1. Это означает, что принятый критерий примерно 10% автомобилей, имеющих расход топлива 10 л на 100 км пробега, отнесет к автомобилям, имеющим меньший расход топлива.

Пример. Группе школьников младших классов был дан стандартный тест на проверку скорости чтения. Затем со школьниками был проведен специальный курс занятий, после чего детям был предложен второй тест. Скорость чтения оценивалась в баллах, результаты представлены в таблице.

Можно ли сказать, что занятия по увеличению скорости чтения эффективны? Предполагается, что оба теста эквивалентны по трудности, а оценки, полученные школьниками, можно считать нормально распределенными.

Решение. Рассмотрим выборку, варианты которой – разности баллов, полученных каждым школьником до и после занятий. Эта выборка такова:

Предположим, что упражнения не влияют на скорость чтения (нулевая гипотеза). Тогда полученную выборку следует считать выборкой из нормально распределённой генеральной совокупности со средним значением а = 0. Если же упражнения увеличивают скорость чтения (альтернативная гипотеза), то математическое ожидание а должно быть больше нуля. Значит, для проверки нулевой гипотезы нужно использовать статистику

Tx 9 ,

S

130