1638

вытекает из закона больших чисел.

Ранее мы показали, что M(x) a, поэтому x - несмещённая оценка математического ожидания a. Мы показали также, что

D(x) 2 . n

Можно доказать, что если генеральная совокупность X имеет нормальное распределение, то x - эффективная оценка параметра a.

Состоятельность статистики S2 как оценки дисперсии

n 1

Несмещенной оценкой дисперсии 2 является исправленная

выборочная дисперсия S~2.

Чтобы оценить некоторый параметр закона распределения генеральной совокупности X, нужно выразить его через теоретические моменты (математическое ожидание, дисперсию и т.п.), а затем подставить в полученную формулу значения соответствующих выборочных статистик (выборочного среднего, выборочной дисперсии и т. д.).

Например, оценками параметров a и 2 нормального распределения служат статистики x и S~2, так как M(x)=a, D(x)= 2. Оценкой

т.к. M(x)= .

Такой метод оценки параметров называется методом моментов. Мы фактически пользовались им в процедуре проверки гипотезы о законе распределения генеральной совокупности по критерию Пирсона.

В заключение отметим, что поправочный множитель n/(n-1), вводимый для статистики S2, при больших n практически равен 1 и его нет смысла использовать.

7.3. О ТОЧНОСТИ И НАДЁЖНОСТИ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК

Рассмотрим здесь только случай оценки математического ожидания a генеральной совокупности значением x. Заменяя неизвестное значение a

101

абсолютное значение ошибки. Если известен закон распределения случайной величины x, можно найти вероятность

P( x a )

Число характеризует точность оценки, вероятность - её надёжность. Если для небольших вероятность достаточно велика,

число x можно считать точной и надёжной оценкой математического ожидания a.

Когда генеральная совокупность имеет нормальное распределение,

случайная величина x распределена нормально (сумма независимых нормально распределённых случайных величин). Если закон распределения генеральной совокупности отличен от нормального, но

число n достаточно велико, случайную величину x можно считать приблизительно нормально распределённой в силу центральной предельной теоремы. Числовые характеристики x известны:

Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна, заменим её на

значение исправленной выборочной дисперсии S~2. Применяя известную формулу для нормального закона, получим

Пример. Из генеральной совокупности извлечена выборка объёма n=47. Найденное по выборке значение S~ =2,35. Какова вероятность того, что точность оценки математического ожидания a генеральной совокупности не больше 0,3?

Решение. Нужно найти вероятность события

P x a 0,3 .

Найденная вероятность достаточно мала. Для того чтобы получить большую надёжность (при той же точности) или большую точность (при той же надёжности), нужно увеличить число n.

Пример. Каков должен быть минимальный объём выборки n для того, чтобы с надёжностью 0,98 точность оценки математического ожидания a с

102

помощью выборочного среднего x была 0,2, если среднее квадратичное отклонение генеральной совокупности равно 1,5?

Решение. Число n определяется из условия

P x a 0,2 0,98,

Пример. Как изменится точность математического ожидания a из предыдущего примера, если объём выборки увеличить до 500, а надёжность оставить равной 0,98?

Решение. Из условия

P x a 0,98

Пример. Оценка вероятности p “успеха”.

Пусть проведено n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность события A (“успеха”) равна p (следовательно, вероятность непоявления события A равна q=1-p). Если в n независимых испытаниях событие A появилось k раз, то насколько точно число k/n оценивает вероятность p?

Решение. В этом случае генеральная совокупность X имеет следующий закон распределения:

Случайная величина X равна единице, если событие A произошло, и равна нулю в противном случае.

M(X)=p, D(X)=pq, X pq.

Если число n достаточно велико, то случайная величина x= k/n - выборочное среднее - имеет приближённое нормальное распределение с параметрами:

103

Тогда точность и надёжность оценки числа p числом k/n определяют из равенства

Пример. Из большой партии некоторых изделий отобрано наугад для контроля 500 штук, причём 20 штук оказались бракованными. Найти вероятность того, что, приняв вероятность p изделию быть бракованным, равной 0,04, мы совершаем ошибку, не превосходящую 0,01. Сколько нужно отобрать изделий, чтобы с вероятностью 0,95 была совершена ошибка, не превосходящая 0,01?

По таблице функции Лапласа, зная её значение, равное числу 0,475, определяем аргумент

7.3.1. Ещё об определении нужного объёма выборки

Пользуясь формулой

104

где X1, X2, ..., Xn - независимые и одинаково распределённые (как генеральная совокупность X) случайные величины. Такое предположение не всегда можно принять. На практике генеральная совокупность X - это N объектов, из которых отбирают для исследования n объектов. Если выборка бесповторная (один раз отобранный объект не возвращается назад), то дисперсия выборочного среднего x в общем случае зависит от чисел N и n.

Пусть генеральная совокупность X состоит из N чисел x1, x2, ..., xN. Если вероятность выбора каждого числа (при извлечении одного числа) равна 1/N, то математическое ожидание a и дисперсия 2 случайной величины x - выбранного числа - равны соответственно:

Пусть теперь x - это среднее арифметическое n наудачу отобранных чисел, причём отбор бесповоротный. Нетрудно показать, что в этом случае

На практике величину 1 n/ N заменяют на 1, если n/N<0,05, и рассчитывают в противном случае. Для отыскания необходимого объёма выборки, обеспечивающего заданную точность и надёжность, имеем:

Если среди чисел x1, x2, ..., xN встречаются только нули и единицы, то

Напомним, что пользоваться указанными формулами можно, только если закон распределения выборочного среднего x можно хотя бы приближённо считать нормальным. Так почти всегда получается, когда n>30.

Пример. Фермер хочет оценить среднюю массу своих 5000 индеек с точностью до 0,5 фунта, чтобы как можно точнее определить доход от продажи этих индеек. Отобрав случайным образом 20 индеек, он нашёл, что их средняя масса составляет 9,25 фунта, а S~=4,39 фунта. Теперь он в состоянии определить минимальный объём выборки n, позволяющий оценить среднюю массу индейки с точностью =0,5 и надёжностью

=0,95:

106

Предварительная малая выборка потребовалась, чтобы оценить , иначе дальнейшие вычисления невозможны.

7.4. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ОЦЕНКАХ ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ

Ещё один способ оценить известное значение параметра - указать интервал 1, 2 на числовой оси, про который известно, что он содержит это неизвестное значение с достаточно большой вероятностью

,P 1 a 2 .

Вероятность называется доверительной вероятностью, а интервал1, 2 - доверительным интервалом. Для построения доверительных интервалов используют подходящим образом подобранные выборочные статистики.

7.4.1. Построение доверительного интервала для неизвестного математического ожидания a

нормально распределённой генеральной совокупности, когда дисперсия σ2 генеральной совокупности известна

Рассмотрим случайную величину x - выборочное среднее:

1 n

x xi. n i 1

Taк как генеральная совокупность X распределена по нормальному закону, x тоже имеет нормальное распределение, M(x) a, D(x)= 2/n.

График функции плотности вероятности случайной величины x симметричен относительно оси x=a.

Рассмотрим интервал x a , или a x a . Ширину 2 этого интервала определим из условия

P x a ,

где - заданная доверительная вероятность.

Как мы уже знаем, t , где число t находится по таблице функции

107

подставив в формулу для вместо неизвестного среднего квадратического отклонения генеральной совокупности исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение S~:

Причём если n велико, то подправлять S нет смысла. Окончательно определяется по формуле

где число t берётся из таблицы функции Лапласа из условия Ф t /2. Пример. В 100 бросаниях монеты герб выпал 64 раза. Построить

доверительные интервалы для вероятности p выпадения герба в одном бросании с доверительными вероятностями 1 0,9; 2 0,95; 3 0,99.

Можно ли считать монету правильной?

Решение. Здесь n=100; k=64; t1=1,64; t2=1,96; t3=2,58; выборочное среднее x 0,64; выборочная дисперсия S2 x1 x 0,64 0,36 0,2304;

выборочное среднее квадратическое отклонение S S2 0,48. Число опытов n велико, поправкой для дисперсии можно пренебречь.

Границы доверительных интервалов для вероятности p таковы: 0,561<p<0,719, если =0,9; 0,546<p<0,734, если =0,95;

0,516<p<0,764, если =0,95.

Ни один из этих интервалов не содержит числа 0,5. Монету следует признать неправильной, вероятность p выпадения герба больше 0,5.

7.4.3. Построение доверительного интервала для неизвестного математического ожидания нормально распределённой генеральной совокупности, когда дисперсия σ2 генеральной совокупности неизвестна

Как уже было сказано выше, когда объём выборки n>30, при построении доверительного интервала для a можно пользоваться нормальным распределением, подставляя в формулу для ширины

109

интервала вместо неизвестного значения число S~, определяемое по выборке. Рассмотрим случай малых n.

В этой ситуации пользуются случайной величиной T, определяемой формулой

Подчеркнём, что x и S - это случайные величины, а n и a - числа. Случайная величина T распределена по закону Стьюдента (Стьюдент -

псевдоним английского статистика В. Госсета (1876-1937), одного из создателей теории проверки статистических гипотез).

График функции плотности вероятности случайной величины, распределённой по закону Стьюдента, симметричен относительно оси ординат. Функция плотности f(t, r) зависит от одного параметра r, который называется числом степеней свободы.

Случайная величина

имеет число степеней свободы r=n-1.

Для распределения Стьюдента составлены специальные таблицы, по которым, зная число степеней свободы r и вероятность события T t ,

можно найти число t . Таблица распределения Стьюдента приведена в

прил. 2.

Заключим случайную величину T в интервал, симметричный относительно нуля, и обозначим его границы через -t и t .

P T t .

Тогда вероятности событий T t и {T<tβ} равны:

P(T>tβ)=P T t 1 . 2

Зная число степеней свободы r=n-1 и вероятность (1- )/2, можно по таблице найти число t . Неравенство T t означает, что

110