Раздел 3. ОСНОВЫ ЛОГИКИ И ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА
3.1. Алгебра высказываний. Логические выражения и таблицы истинности
Алгебра высказываний является составной частью разделов математ ки – математ ческой логики.
Лог ка возн кла задолго до появления компьютеров в результате необход мости в строгом формальном языке. Были
построены функц |
– удобное |
средство для построения сложных |
||
С |
|
истинности. Оказалось, что такие |
||
утвержден й |
проверки их |
|||
функц |
обладают |
аналогичными свойствами с алгебраическими |
||
|
. Это дало возможность упрощать исходные выражения. |
|||
операторами Особое свойствобАлогических выражений – возможность их
нахожден я по значен ям. Это получило широкое распространение в цифровой электрон ке, где используются логические элементы, и программ рован .
Объектами алге ры высказываний являются высказывания. Высказывание – это повествовательное предложение, о
котором можно сказать, истинно оно или ложно. Простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные (А, В,
С и т.д.). |
|
|
|
Логическая |
переменная |
– это простое высказывание. |
|
Логические переменные обозначаются прописными и строчными |
|||
латинскими буквами (a – z, A – Z) и могут принимать всего два |
|||
значения: 1, если высказывание истинно, или 0, если высказывание |
|||
ложно [1]. |
|
И |
|
функция – этоДсложное высказывание, которое |
|||
Логическая |
|||
получается в результате проведения логических операций над |
|||
простыми высказываниями. |
|
||
Для образования сложных |
высказываний наиболее часто |
||
используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «И», «ИЛИ», «НЕ».
Связки «НЕ», «И», «ИЛИ» заменяются логическими операциями
инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любое логическое выражение.
40
3.1.1. Конъюнкция (логическое умножение)
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «И» называется операцией логического умножения
или конъюнкцией. |
|
|
|
|
|
|||
С |
|
|
|
|
|
|||
|
оставное высказывание, образованное в результате операции |
|||||||
логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, |
||||||||
когда |
ст нны все входящие в него простые высказывания [6]. |
|||||||
|
Обозначен е: «&» или « ». |
|
|
|
|
|||
прин |
B. |
|
|
|
|
|||
|
Пр мер. F=A & B; F=A |
|
|
|
F, которое |
|||
|
Табл ца ст нности составного |
высказывания |
||||||
получено в результате конъюнкции двух простых высказываний А и |
||||||||
В, |
мающ х значения «Истина» (1) или «Ложь» (0), имеет вид |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
В |
F= A & B |
|
||
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
3.1.2. Дизъюнкция (логическое сложение) |
|
||||||
|
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с |
|||||||
|
|
|
|
Д |
||||
помощью союза «ИЛИ» называется |
операцией |
логического |
||||||
сложения илибАдизъюнкцией. |
|
|||||||
|
Составное высказывание, образованное в результате операции |
|||||||
логического сложения (дизъюнкция), истинно тогда и только тогда, |
||||||||
когда истинно хотя бы |
одно входящее в него простое высказывание |
||||
[1]. |
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
Обозначение: «+» или « ». |
|
|
|||
Пример. F=A + B; F=A B. |
|
|
|||
Таблица истинности составного высказывания F, которое |
|||||
получено в результате |
конъюнкции двух простых высказываний А и |
||||
В, принимающих значения «Истина» (1) или «Ложь» (0), имеет вид |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
В |
F= A B |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
0 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
41
3.1.3. Инверсия (логическое отрицание)
Присоединение частицы «НЕ» к высказыванию называется
операцией логического отрицания или инверсией.
Обозначение отрицания логического высказывания А: «А» или |
||||||
С |
|
|
|
|
|
|
« А» [1]. |
|
F |
|
|
|
|
Истинность |
высказывания |
А |
, |
для |
логического |
|
высказыван яА задается следующей таблицей:
|
А |
|
|
|
следование |
F А |
|
||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
0 |
|
|
|
|
3.1.4. Операц я логического следования (импликация) |
|||||||
вид |
|
бА |
|
||||||
|
Лог ческое |
|
|
(импликация) образуется соединением |
|||||
двух высказыван й в одно |
|
помощью оборота речи «Если…, то…». |
|||||||
|
Лог ческая операция |
импликация «Если А, то В» обозначается |
|||||||
А В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составное высказывание, образованное с помощью операции |
||||||||
логического следования (импликации), ложно тогда и только тогда, |
|||||||||
когда из истинной предпосылки (первое высказывание) следует ложь |
|||||||||
[6]. |
Таблица истинности составного высказывания F А В имеет |
||||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
В |
|
F = A B |
И |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
||
|
|
|
0 |
|
1 |
|
1 |
||
|
|
|
1 |
|
0 |
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
Д |
|||
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
||
|
|
3.1.5. Операция логического равенства (эквивалентность) |
|||||||
|
Логическое |
равенство |
(эквивалентность) |
образуется |
|||||
соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «… тогда и только тогда, когда…».
Логическая операция эквивалентность «А тогда и только тогда, когда В» обозначается А В.
Составное высказывание, образованное с помощью операции логического равенства (эквивалентность), ложно тогда и только тогда,
42
когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны
[1].
Таблица истинности |
составного высказывания F А В |
|||
имеет вид |
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
А |
В |
F A B |
||
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
операция |
|
|
||||||
|
|
3.1.6. Операция «исключающая или » |
||||||
|
|
|
|
или «Сложение по mod 2» |
||||
|
Лог ческая |
«Исключающая или» обозначается А В. |
||||||
|
б |
|
|
|||||
|
Составное высказывание, образованное с помощью операции |
|||||||
«Исключающее ли», |
стинно тогда и только тогда, когда одно из |
|||||||
высказыван й |
ст нно. |
|
|
|
|
|
||
|
Табл ца |
ст нности составного высказывания F А В имеет |
||||||
вид |
|
|
А |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
A B |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
Д |
||
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
0 |
|
Теперь на основе полученных логических выражений можно построить из базовых логических элементов схему сложения
одноразрядных двоичных чисел [1]. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. Построить таблицу |
истинности |
логической функции |
|||||||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (А В)&C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
В |
С |
(А В) |
|
|
|
|
F |
И |
|
|
|
C |
|||||||||||
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
|
|
0 |
||||
|
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
||||
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
|
|
0 |
|
|||
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|||
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
|
|
0 |
|
|||
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|||
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|||
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
|
|
0 |
|
|||
43
2. |
Построить |
|
|
|
таблицу |
истинности |
|
логической |
функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||
F ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
А&С) |
(B&C) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
С |
А |
|
В |
|
С |
|
|
A&C |
|
|
A&C |
|
B&C |
|
|
|
F |
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
лицуА В С (А |
С |
В) |
|
1 |
|
B |
|
(А & B |
) |
F |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3. |
Постро ть |
|
|
|
та |
|
|
истинности |
|
логической |
функции |
||||||||||||||||||||||||||||||
F (А В) ( |
|
|
& B). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
0 |
1 |
|
|
А |
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
1 1 1 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Д |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||
4. |
Построить |
|
|
|
таблицу |
истинности |
|
логической |
функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||
F |
(А В) (B&C). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
А |
|
В |
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(А В) |
(В&C) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(А В) |
|
|
F |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
44