Раздел 1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛОВОЙ ИНФОРМАЦИИ
1.1. Понятие о системах счисления. Основные определения
истема счисления – это совокупность правил для обозначения
и наименования чисел.
СибАДИзаписать дробные отрицательные числа, сложно выполнять арифметические операции.
Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.
стемы сч сления делятся на непозиционные и
позиц онные.
Непоз ц онной называется такая система счисления, в которой количественный экв валент каждой цифры не зависит от ее
положен я (места, поз ции) в коде числа [2].
ледует отмет ть, что непозиционные системы счисления возникли раньше поз ционных. Приведем примеры непозиционных
систем сч слен я. |
|
|
Пр мер 1. Р мская система счисления: |
||
I – 1; V – 5; X – 10; L – 50; C – 100; D – 500; M – 1000 и т. д. |
||
Пр мер 2. С стема счисления Древнего Египта: |
||
1 |
– |
; |
2 |
– |
; |
10 |
– |
. |
Непозиционные системы счисления имеют недостатки: для записи больших чисел необходимо вводить новые цифры, нельзя
Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в коде числа.
Основные достоинства позиционных систем счисления: простота выполнения арифметических операций; ограниченное количество символов, необходимых для записи любого числа.
Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.
Основанием (базисом) позиционной системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.
В повседневной жизни используется позиционная десятичная система. Основание равно десяти: для записи чисел используются десять различных знаков (цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Из двух
4
рядом стоящих цифр одного числа, например 35, левая цифра выражает число, в десять раз большее, чем правая. Кроме того, имеет значение не только сама цифра, но и ее место (позиция), что указывает на позиционный характер данной системы счисления [4].
1.2. Представление чисел в позиционных системах счисления
Для зап си ч сел в позиционной системе счисления с основан ем меньш м десяти используются цифры от 0 до 9 (табл.1).
При основан |
большем десяти |
к перечисленным цифрам |
||||
добавляются буквы. Приведем пример для самых распространенных |
||||||
систем сч слен я. |
Таблица 1 |
|||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Распространенные системы счисления |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Основан е |
|
Назван е системы |
|
Цифры для обозначения |
|
|
|
сч сления |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Дво чная |
|
0, 1 |
|
|
3 |
|
Троичная |
|
0, 1, 2 |
|
|
5 |
|
Пятеричная |
|
0, 1, 2, 3, 4 |
|
|
8 |
|
Восьмеричная |
|
0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7 |
|
|
16 |
|
Шестнадцатеричная |
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, , B, C, D, E, F |
|
|
В системе счисления с основанием q(q-ричная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q, иначе говоря, q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи чисел в q-ричной системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа 0,1, …, q– 1. Запись числа в q в q-ричной системе счисления имеет вид 10 [4].
Таким образом, в позиционной системе счисления любое
вещественное число можно представить в следующем виде: |
|
|
|||||||||
СибАДИ |
|||||||||||
A |
a |
qn 1 a |
qn 2 |
... a q0 a |
q 1 |
a |
q 2 ... a |
q m |
(1) |
||
q |
n 1 |
n 1 |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
m |
|
|
или |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
a |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1а) |
|||
|
|
|
q |
i m |
i |
i . |
|
|
|
||
5
|
|
В приведенной формуле Aq – само число; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
q – основание системы счисления; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
ai |
– цифры данной системы счисления; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
n – число разрядов целой части числа; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
m |
– число разрядов дробной части числа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
СибАДИa |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Приведенная |
выше |
формула |
|
|
называется |
развернутой |
||||||||||||||||||||||
формулой зап си. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Исходя |
з |
данной |
|
формулы |
|
можно |
получить |
формулу |
для |
|||||||||||||||||||
записи про звольного целого числа (2, 3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
A |
(a |
n 1 |
qn 1 a |
n 2 |
qn 2 |
... a |
q0, |
|
|
(2) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
qЦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
а также формулу для записи произвольного дробного числа: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A |
|
a |
1 |
q 1 |
a |
2 |
q 2 |
... a |
m |
q m . |
|
|
(3) |
||||||||||||||
|
|
|
qДД |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1.3.Перевод десятичных чисел в другие |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
системы счисления и обратно |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1.3.1. Перевод целых чисел |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Пусть AqЦ |
|
|
|
|
|
лгоритм перевода |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
– |
десятичное |
|
целое |
|
число. |
|
Тогда |
в разложении |
||||||||||||||||||||
отсутствуют коэффициенты с отрицательными индексами. Данное |
||||||||||||||||||||||||||||||
число представляется в виде [4] |
A |
|
|
|
a |
n |
1 |
qn 1 |
... a q1 a |
0 |
q0 . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
AqЦ |
|
|
|
|
|
|
|
qЦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
1. |
Число |
разделить |
|
|
на |
|
q. |
|
Неполное |
частное |
равно: |
|||||||||||||||||
a |
n 1 |
qn 1 ... a , а остаток равен |
a |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2. |
Полученное неполное частное опять разделить на q, остаток |
|||||||||||||||||||||||||||
от деления будет равен |
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3. Продолжить данный процесс деления пока на n-м шаге не |
||||||||||||||||||||||||||||
получим набор цифр a0,a1,a2,...,an 1, которые входят в q-ричное |
||||||||||||||||||||||||||||||
представления |
числа |
|
|
AqЦ |
|
и |
|
|
|
совпадают |
|
|
с |
остатками |
|
при |
||||||||||||||
последовательном делении данного числа на q.
6
4.Записать десятичное целое число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного: AqЦ an 1an 2...a1a0 .
Пример. Перевести число 12310 в двоичную, в восьмеричную и в шестнадцатеричную системы счисления.
СибАДИ |
||||||||
|
12310→А2: |
|
|
|
|
|
|
|
- 123 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
122 |
- 61 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
60 |
- 30 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
30 |
- 15 |
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
14 |
- 7 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
6 |
- 3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Результат: 12310=11110112.
Проверка: 1∙26+1∙25+1∙24+1∙23+0∙22+1∙21+1∙20=12310.
12310→А8: |
|
||
-123 |
|
8 |
|
|
|
||
120 |
|
-15 |
8 |
3 |
8 |
1 |
|
|
7 |
|
|
Результат: 12310=1738.
Проверка: 1∙82+7∙81+3∙80=12310. 12310→ 16:
-123 16 112 -7 11
Результат: 12310=7B16.
Проверка: 7∙161+11∙160=12310.
7