Уравнения

1) Точное решение уравнения f(x)=0 производится командой

>solve(f(x),x); ноль в правой части в команде можно не писать.

Решение находится в точном виде или не находится совсем.

>solve(f(x)=g(x),x); находятся корни уравненияf(x)=g(x).

>solve(sqrt(x)=2*x-3, x); 9/4

>solve(x^3+x+10, x); –2 , 1+2i , 1–2i

ПРОВЕРКА. >eval(x^3+x+10=0,x=1+2*I); 0=0

2) Приближенное решение уравнения.

>fsolve(f(x),x); отыскиваются приближенныедействительныекорни уравненияf(x)=0.

>fsolve(f(x),x,complex); отыскиваются приближенныекомплексныекорни уравненияf(x)=0

>solve(x^3+3*x^2+5*x+3, x);

>fsolve(x^3+3*x^2+5*x+3, x); –1

>fsolve(x^3+3*x^2+5*x+3, x, complex); –1 , –1+i 1.414… , –1–i 1.414…

>fsolve(f(x),x,x=a..b); приближенные корни уравненияf(x)=0 на отрезке [a,b].

Примечание.Если в команде разыскиваемый корень обозначать нех , а {x}, то ответом будет не просто число, а равенство {х=а}.

3) Системы уравнений.

>solve({f(x,y),g(x,y)}, {x,y}); точное решение системы {f(x,y)=0,g(x,y)=0}

Вариант команды – сначала задается система. Так легче проверять правильность задания.

>sys:= {f(x,y)=g(x,y), P(x,y)=Q(x,y)};

>solve(sys, {x,y}); решение заданной системы.

Отсутствие результата означает, что система не имеет решения

>solve({x^2+y^2=1,x=y}, {x,y}); {x=RootOf(2z²–1,Label=_L1),y=RootOf(2z²–1,Label=_L1)}

Решение получено в виде корней уравнения 2z²–1=0. Решение помечено ярлыкомL1 .

Решение в привычном виде находится затем командой

>allvalues(%);

Для приближенного вычисления этой пары решений или какой-либо из этих пар используются команды

>evalf(%); >evalf(%[1]); >evalf(%[2]);

Команда приближенного решения системы имеет вид

>fsolve({f(x,y)=g(x,y),P(x,y)=Q(x,y)}, {x,y}); Иногда команда находит не все решения системы. В этом случае можно добавить интервал для корней опциями х=m..nилиy=m..n..

Команда проверки того, что пара чисел (a , b) является решением системыsys, имеет вид

>eval(sys, {x=a,y=b});

Примечание. При решении системы можно не указывать искомые неизвестные

>solve({eq1,eq2,eq3});

В этом случае программа принимает какие-то неизвестные за свободные и выражает остальные через них. Если число уравнений равно числу неизвестных, то выдается решение.

4) Параметризация уравнения F(x,y)=0.

>solve(x^3+y^3=3*x*y, {x(t), y(t)}); .

5) Решение уравнения f(x) =tв виде ряда

Пусть функция f(x) разлагается в ряд Тейлораf(x)=a0 +a1(x–x0) +a2(x–x0)² +… Тогда решение уравненияf(x) =tбудет иметь видx=x0 +b1(t–a0) +b2(t–a0)² +… Количество членов этого разложения определяется предварительной коман­дой >Order: =n; (по умолчаниюn= 6).

Команды для получения этого решения в общем случае имеют вид

>Order: = n:

>x:=solve(series(f(x),x=х0) =t,x);

Если f(x) разлагается в ряд Маклорена (х0=0), то команды для получения решения имеют вид

>Order: = n:

>x:=solve(series(f(x), x) = t , x);

Пример.

>Order: = 4:

>x:=solve(series(x+exp(x), x)=t , x); x:=

6) Определить при каких А и В уравнение F(x,A,B)=0 является тождеством пох .

Примеры.

>F: = 2*x^3+3*x^2+4*x+5=(x^2+x+1)*(A*x+B)+C*x+D ;

>solve(identity(F, x), {A,B,C,D}); A=2, B=1, C=1, D=4

--------

>F: = (2*a–3*b)*sin(x)^2+(a–b)*cos(x)^2=1;

>solve(identity(F, x), {a, b}); {a=2 , b=1}

-------

>F: = diff(y(x),x,x)+a*diff(y(x),x)+b*y(x);

>y(x): = exp(3*x)*sin(4*x);

>solve(identity(F, x), {a, b}); {a= – 6 , b=25}

------

>F: = diff(y(x),x,x)+4*diff(y(x),x)+13*y(x);

>y(x): = exp(a*x)*sin(b*x);

>solve(identity(F, x), {a, b}); {b=0} {a= – 2 , b=3} {a= – 2 , b= – 3}

-------

>F: = diff(y(x),x,x)+diff(y(x),x)+y(x)= 13*sin(2*x)+13*cos(2*x);

>y(x): = a*sin(2*x)+b*sin(2*x);

>solve(identity(F, x), {a, b}); {a= – 1 , b= – 5}

7) Решение уравнения в целых числах

>isolve(2*x+3*y=5); {x=1–3Z1 , y=1+2Z1}