1282

зная никого из студентов, все же может держать пари, что среди них найдутся два человека, родившиеся в один день. И она ни разу не ошиблась! С точки зрения теории вероятностей Е.С. Вентцель ничем не рисковала: если в аудитории на лекции присутствуют хотя бы 50 человек (а в году 365 дней!), вероятность совпадения дней рождения практически равняется 1. Но кто может ответить на вопрос, почему вполне абстрактные понятия независимых событий и их вероятностей так замечательно точно соответствуют реальным рождениям людей?

Второй пример - это задача 7.4.7. В конце 1980-х годов в СССР

существовал государственный заем с условиями, очень похожими на те, которые в ней описаны. Вероятности доходов, рассчитанные в задаче, прекрасно соответствовали реальным частотам (проверено путем статистического анализа таблиц выигрышных номеров). Затем государство

СССР прекратило свое существование, а облигации государственного займа превратились в ничего не стоящие бумажки. Но теория вероятностей к этому факту современной истории отношения не имеет.

Без глубокого постижения основ теории вероятностей невозможно ни дальнейшее изучение ее более серьезных разделов, ни грамотное использование вероятностных методов на практике.

1 . Э Л Е М Е Н Т Ы К О М Б И Н А Т О Р И К И

Комбинаторика решает задачи подсчета числа определенных комбинаций элементов, выбранных из данного конечного множества. Далее будут рассмотрены простейшие понятия и формулы.

1.1.Принцип умножения

Этот принцип будет для нас основным. Он формулируется так: пусть требуется выполнить одно за другим к действий. Если первое действие можно выполнить П\ способами, второе - п2 способами и так далее до k-vo действия, которое можно выполнить пк способами, то все к действий

вместе могут быть выполнены

nx-rh-...nk

способами.

Примеры решения задач

I.Три дороги соединяют города А и В, две дороги соединяют города В

иС, по двум дорогам можно проехать из С в Д. Сколькими способами можно совершить поездку из А в Д через йиС ?

Решение. Чтобы указать способ поездки, нужно выполнить три действия: выбрать дорогу, соединяющую А с В; выбрать дорогу, соединяющую В с С; выбрать дорогу, соединяющую С и Д.

Первое действие можно совершить тремя способами, второе и третье - двумя. Следуя принципу умножения, получаем, что число разных способов совершить поездку равно

3-2-2 = 12.

Принцип умножения можно представить наглядно с помощью графического построения, которое называется деревом. Обозначим дороги, соединяющие города А и В, символами А\В, А2В, АЗВ; дороги, соединяющие города В и С, - символами В\С, В2С; дороги, соединяющие города С и Д - символами ОД С2Д. Один из возможных способов совершить поездку может быть, например, такой: А\В — В2С — С\Д.

Дерево для задачи 1 показано на рис. 1.1.

способами можно разместить их в списке ораторов? Тот же вопрос дл случая, когда В может выступать только после А.

Решение. Каждое размещение ораторов в списке - это перестановка и четырех элементов. Следовательно, число различных списков равн< />4 = 4 ! = 4 - 3 - 2 - 1 = 24. Примеры размещений: АВСД, ВАСД,ДАСВ, СДВА

В каждой такой перестановке либо буква А предшествует букве В, либ< наоборот.

Из соображений симметрии ясно, что число списков, в которых . записан раньше В, равно числу списков, в которых В записан раньше А, т.е 12.

1.3.Размещения

Размещением называется любой упорядоченный набор из к элементов выбранных из п данных. Например, из трех данных букв ABC можн составить 6 размещений по две буквы: АВ, ВА,АС,СА, СВ, ВС.

Чтобы получить размещение, нужно выполнить к действий: указат первый элемент размещения, указать второй элемент размещения, .. указать к-й элемент размещения. Первое действие можно выполнить способами (выбрать любой элемент из п имеющихся); второе действи можно выполнить (п - 1) способами (выбрать любой элемент из (« - 1 оставшихся); k-е действие можно выполнить (п - к + 1) способам: (выбрать любой элемент из (п - к+ 1) оставшихся). По принцип] умножения число размещений из п элементов по к равно

Пример решения задачи

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа, каждое и J которых содержит не менее трех цифр. Сколько таких чисел можне составить, если повторения цифр в числе запрещены.

Решение. Числа могут быть трех-, четырех- и пятизначные. Каждо' трехзначное число - это размещение из пяти данных цифр по три. Числ(

таких размещении равно Ai5 = — = 60 • 2 !

Примеры искомых трехзначных чисел: 123, 321, 541 и т.д. Такие числа как, например, 625 или 333 не соответствуют условиям задачи: в первом и: них есть цифра 6, во втором все цифры одинаковы.

Количество четырехзначных чисел равно Л* =120, пятизначных -

Л\ = P. = 120 • Всего же имеется 60 + 120 + 120 = 300 искомых чисел.

1.4.Сочетания

Сочетанием из п элементов по к называется любой неупорядоченный набор из к элементов, выбранных из п данных. Наборы отличаются друг от друга составом элементов, место элемента в наборе не имеет значения. Например, если имеется 5 букв: А, В, С, Д, Е, можно составить 10 трехбуквенных сочетаний: (А, В, Q, (А, В, Д) и т.д. Каждому неупорядоченному трехбуквенному набору (например, (А, В, Q) соответствует 3! = 6 упорядоченных: ABC, АСВ, ВАС, ВСА, CAB, СВА. В общем случае неупорядоченному набору из к элементов соответствует к\ упорядоченных наборов-перестановок. Поэтому число сочетаний из п элементов по к (обозначается С*) в к\ раз меньше числа размещений из п элементов по к.

"к\ к\(п-к}.

Числа С* называют биномиальными коэффициентами. Отметим их простейшие свойства:

(По определению 0! = 1).

с„Чс>...+с = 2». (lg)

Докажем эту формулу индукцией по числу п. Если л = 1,то С,0 + С\ =1 + 1 = 2.

Если« = 2, то С2°+С^ = 1 + 2 + 1 = 4 = 22 .

Пусть равенство (1.8) верно для первых п натуральных чисел. Тогда из (1.7) следует:

г° - г-о

С 2 + 1 = С 2 + С Л .

си*+1=с;+с;

Значит,

С°+1 + Сл+1 + . . . + С - 1 = 2С„° + 2С\ +... + 2 с ; = 2 • 2" = 2Л+1 (

что и требовалось доказать..

Примеры решения задач

1. Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?

Решение. Выбор комиссии - это задание некоторого сочетания из восьми элементов по пять, так как порядок перечисления выбранных в комиссию людей не имеет значения. Число способов отобрать пять человек из восьми равно

С 88 5 = ^ - ? Ц - = 56.

5! ( 8 - 5 ) !

2. Восемь человек должны разместиться в двух комнатах, в каждой из которых должно быть по крайней мере три человека. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Если в каждой из комнат должно быть не менее трех человек, то возможны следующие комбинации: в первой комнате 3 человека, во второй - 5; в каждой комнате по 4 человека; в первой комнате 5 человек, во второй - 3.

Число способов выбрать трех человек для одной комнаты и пятерых для другой равно

^8 ' С | = Cg = С | = 56

Число способов разместить в каждой из комнат по 4 человека равно

перестановку с повторениями, нужно выполнить к действий: указать щ мест, на которых стоят элементы первого типа (число способов выбрать щ

мест из правно С% У, указать п2 мест из оставшихся (п-п\) мест, на кото­ рых стоят элементы второго типа (число способов выбрать п2 мест из п - щ

Например, число перестановок с повторениями из двух букв А и тр. букв В равно

Сами перестановки таковы: ААВВВ, АВАВВ, АВВАВ, ABBBA, ВААВ1

ВАВАВ, ВАВВА, ВВААВ, ВВАВА, ВВВАА.

Пример решения задачи

1. Сколько чисел, больших чем 3 000 000, можно записать с помощь* цифр 1, 1, 1,2, 2, 3,3?

Решение. Ясно, что всякое такое число должно начинаться с тройки! Остальные шесть цифр этого числа представляют собой перестановки и шести символов с повторениями. В каждой перестановке три единицы, дв двойки и одна тройка. Число таких перестановок равно

Рт =6!/(3!2!1!) = 60

1.6Сочетания с повторениями

Каждому сочетанию с повторениями из п элементов по т соответствует последовательность из т единиц и п - 1 нулей. Наоборот, по каждой такой последовательности однозначно восстанавливается сочетание с повторением. Следовательно, число сочетаний с повторениями из п элементов по т равно числу последовательностей из т единиц и п - 1

нулей, т.е. равно числу С™+„_, •

Пример решения задачи

Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение

х\ + х2 + ... +х„ = т ?

Решение. Каждому набору целых неотрицательных чисел хи х2, х„ таких, что х\ + х2 + ... + хп = т, поставим в соответствие сочетание с повторениями, такое, что в него входят хх элементов первого типа, х2 элементов второго типа, х„ элементов п-го типа. Наоборот, каждому сочетанию с повторениями, в которое входят Х\ элементов первого типа, х2 элементов второго, дг„-и-го типа, соответствует решение уравнения xi +

+х2 + ... + х„ = т. Вследствие этого взаимно однозначного соответствия число целых неотрицательных решений уравнения х, + х2 + ... + х„ = т равно

Сочетанием из п элементов по т элементов с повторениям

называется неупорядоченный набор, содержащий т элементов, приче! каждый элемент принадлежит к одному из п типов. Например, из тре элементов А, В, С можно составить такие сочетания с повторениями по дв элемента: АА, АВ, АС, ВВ, ВС, СС.

Число различных сочетаний из п элементов по т с повторениями равн

Докажем эту формулу. Чтобы задать сочетание с повторениями, нужш указать, сколько элементов каждого типа в него входит. Пусть в сочетани! входит /И| элементов первого типа, т2 - второго, тп элементов п-го типа.

Закодируем это сочетание последовательностью из нулей и единиц составленной следующим образом: сначала запишем т, единиц, потом нуль, потом т2 единиц, потом нуль, в конце запишем т„ единиц 11апример, написанные выше сочетания из трех букв по две кодируютс следующим образом: 1100, 1010, 1001, ОНО, 0101, ООП.

1.7.Бином Ньютона

Имеет место равенство

(a * bf = Cnnanb° + Cnn-la"-lbl +... + CKnaKbn~K +... +

Докажем формулу (1.11) по индукции.

{a + bf = a2 + lab + b2= CJa2b° + C\ab + C\a*b2.

(a + bf =a2+ 3a2 b + 3ab2+b3= C33a3 + C\a2b + C\ab2 + C3V.

Пусть формула (1.11) справедлива для первых п натуральных чисел.

Тогда

ШШ>(***У(*+Ь)т ±Скпак+>Ь"-к * ±СкакЪ»-к^ =

так как С" = С"*,1 = с? — С0 - i

(i + iy = 2» = £ckn.

14

Всякая современная математическая теория строится по одному образцу: вначале задаются некоторое множество и система аксиом, определяются связи между элементами и подмножествами этого множества. Теория вероятностей не является исключением, она строится как абстрактная математическая дисциплина. Вместе с тем у теории вероятностей есть много приложений, обращенных во внешний мир, например, теория массового обслуживания, теория надежности, прикладная статистика. Оказывается, что с ее помощью можно успешно описывать, изучать, прогнозировать многие реальные случайные явления.

Однако любой, даже вводный курс теории вероятностей, если он претендует на корректность изложения, должен содержать ее аксиоматическое представление. Наша ближайшая цель - описание того исходного множества, которое кладется в основу любой математической структуры. В теории вероятностей это множество называется

пространством элементарных исходов.

Под экспериментом понимается некое действие, которое может быть многократно повторено в одних и тех же условиях. Например, бросание монеты или кубика. Конечно, в реальном мире нельзя дважды бросить кубик в одних и тех же условиях. Хотя бы потому, что за время бросания Земля поворачивается вокруг своей оси, вокруг Солнца, вместе с Солнцем вокруг центра Галактики, условия разные! Но такие соображения игнорируются и постулируется возможность сохранения одних и тех же условий.

В зависимости от нужд эксперимента экспериментатор выделяет возможные исходы эксперимента. Они называются элементарными исходами, если взаимно исключают друг друга и в совокупности охватывают все возможные случаи. Например, в случае бросания кубика можно выделить два элементарных исхода - четно или нечетно выпавшее число очков, а можно шесть - какое именно число (от 1 до 6) выпало на верхней грани; а вот такие исходы: выпало четное число очков; выпало число очков, делящееся на три; выпало число очков, не делящееся ни на два, ни на три, не являются элементарными: шесть делится и на два, и на три, поэтому первые два исхода не исключают друг друга.

Элементарный исход - это пример события. Элементарный исхо входящий в событие (множество) А, называется благоприятствующг

Ы/=! /=1 /=1

События А и В называются несовместными, если их произведение - невозможное событие, АВ = 0. Вместе эти события не могут произойти. В противном случае А и В называются совместными.

Говорят, что событие А влечет событие В, если все элементарные Исходы, благоприятствующие А, благоприятствуют и В (множество А есть Подмножество множества В). Обозначается A QB. Ясно, что если А с В, то