1282

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Таблица 8.20

Контроль: 0,2 + 0,24 + 0,16 + 0,08 + 0,32 = 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

ад

	Р\ + Р7
	Pi	Г*
	х\	О	Х2	*3	Х4
				Рис.7.1
7.4.	Примеры		решения	задач

7.4.1. Найти функцию распределения дискретной случайной величины X, заданной законом распределения, и построить ее график.

	Xi	- 3	4	6	7

	р>	0,4	0,1	0,2	0,3
В соответствии с определением F(x) разобьем всю числовую ось на
следующие интервалы:
1.	- сс < х < - 3 . Для всех х из этого интервала F(x) = 0.
2.	- 3 < х <, 4.	Для всех х из этого интервала F\x) = 0,4.

3.4 < д: < 6. Для всех х из этого интервала F(x) = 0,5.

4.6 < х <, 7. Для всех х из этого интервала F(x) = 0,7.

5.7 < д: < со. Для всех х из этого интервала F(x) = 1.

Окончательно	Г
	0, - ос < л: < - 3 ;
	0,4, - 3 < х < 4 ;
а д = ^ 0 , 5 ,		4 < х £ б ;
	0,7,	6 < х < 7;
	1,0,	7<лг<со.

ад

<0^4

-3 -2 -1 0

3 4

- 7

Рис.7.2 7.4.2. Урна содержит один красный и два белых шара, одинаковых во

сем, кроме цвета. Производится выборка из урны трех шаров так, что 1еред выбором следующего шара предыдущий шар возвращается в урну ыборка с возвращением). Найти биноминальное распределение числа дых шаров в выборке.

Решение. В данном случае производится п = 3 независимых испытаний, аждое из испытаний состоит в выборе одного шара из трех. "Успех" - звлечение красного шара. Вероятность "успеха" р = 1/3. "Неудача" - влечение белого шара. Вероятность "неудачи" q = 2/3. Биноминально спределенная случайная величина А'- число появлений "успеха" - может

мнимать 4 значения: от 0 до 3. Вычислим их вероятности по формуле ерпулли:

у(Х = 0) = рз(0) = С3° -р° V = 8/27;					р(Х = 1) = р3Щ = С\ • р х			• q2 = 4/9;
N V =2) = р3(2) = С32р2			V = 2 / 9 ; р(Х = 3) = Рз(3) = С23				• ръ	=1/27.
	Составим таблицу вероятностей случайной величины X.
		0		1		2		3
	Pi	8/27		4/9		2/9	1/27
	Pi
Контроль: 8/27 + 4/9 + 2/9 + 1/27 = 1.

7.4.3. Три игральные кости были брошены 648 раз. При этом каждый вз отмечалось количество костей, на которых выпало 5 и 6 очков, ^чультаты сведены в таблицу.

Число костей, на которых	0	1	2	3	Всего
выпало 5 или 6 очков	0	1	2	3	Всего
выпало 5 или 6 очков
Наблюдаемая частота	179	298	141	30	648

График функции показан на рис. 7.2.

Требуется получить теоретические вероятности соответствующих исходов бросаний трех игральных костей, умножить их на 648 и сравнить найденные теоретические частоты с экспериментальными.

Решение. Одно бросание трех идеальных костей можно рассматривать как три независимых испытания, каждое из которых заключается в бросании одной кости. "Успех" - выпадение 5 или 6 очков, "неудача" Щ выпадение числа очков не больше четырех. Очевидно, чтор = 2/6 = 1/3, q = 2/3. Случайная величина X - число появлений "успеха" в трех независимых испытаниях - принимает значения от 0 до 3. Вероятности этих значений мы вычислили в предыдущем примере. Умножим их теперь на 648 и определим теоретические частоты появления каждого из значений X в 648 бросаниях трех костей.

648х 8/27 = 192; 648 х4/9 = 288; 648 х2/9 = 144; 648 xl/27 = 24. "Идеальные " частоты, конечно, отличаются от экспериментальных

частот. Насколько значимо это расхождение, обусловлено ли оно случайными факторами или тем, что кости, которыми пользовались, неправильные? На этот вопрос можно ответить с помощью методов математической статистики.

7.4.4. Дана таблица вероятностей случайной величины X.

2С

4С

С2"

1С2

1. Найти С.

2. Вычислить р(Х> 5)

ир(Х< 3).

Решение.

1. Константа С находится из условия

1 = 1 . Имеем 9С +

ЮС2

= 1^

откуда С, - - 1 ; С2 = 0,1.

Вероятности не могут быть отрицательными, поэтому остается

одно;

0,1

0,2

0,4

0,01

0,02

0,07

2. Событие

{XZ 5} есть в данном случае сумма следующих несовместных

событий: Л

- {А" = 5 } ,

В-^{Х=6),

= {X =

7},

р(Х*

5) = р(А) + р(В)

+ / т ( О - 0 , 1 .

Аналогично/КАТ < 3 )

=р(Х=2)+р\х=

1) =

0,3.

7.4.5. В последние годы стали популярны различные телевизионные жры. По условиям одной такой игры ведущий может задать игроку до! пяти вопросов. За каждый правильный ответ игрок получает определенную сумму денег. Как только игрок первый раз ошибается, он теряет все заработанные деньги и выбывает из игры. Каждый очередной вопрос сложнее предыдущего, поэтому шансы игрока дать правильный ответ уменьшаются от вопроса к вопросу. Будем считать, что вероятности правильно ответить на вопросы для некоторого игрока таковы: 0,99; 0,95;

0,9; 0,8; 0,6. Предполагается, эти вероятности не зависят от результатов предыдущих ответов. Найти закон распределения дискретной случайной величины X - числа вопросов, заданных игроку, и вероятности событий: {А"<2}; {АГ>4}; {1<АГ<3}.

Решение. Дискретная случайная величина X может принимать пять течений: 1, 2, 3,4, 5. Найдем их вероятности.

р(АГ = 1) = 1-0,99 = 0,01; р(Х = 2) = 0,99(1 -0,95) = 0,0495; р(Х = 3) = 0,99 • 0,95(1 - 0,9) = 0,09405; р(Х = 4) = 0,99 • 0,95 • 0,9(1 - 0,8) = 0,16929;

р(Х = 5) = 0,99 • 0,95 • 0,9 • 0,8 = 0,67716.

Поясним вычисление вероятности события {Аг = 5}: игроку предъявляют пятый вопрос тогда и только тогда, когда он дает верные ответы на первые четыре вопроса.

Закон распределения случайной величины А"таков (табл. 7.5):

													Таблица 7.5
		*i			1	•	2			3	4		5
		Pi		0,01		0,0495			0,09405		0,16929		0,67716
		Pi
		Контроль: 0,01 + 0,0495 + 0, 09405 + 0,16929 + 0,67716 = 1. Далее
		р(Х<2)=р(Х=			1) =	0,01;		р{Х>		4)=р(Х=5)	= 0,617\6;
	р{\		<Х<3)		=р(Х=2)+р(Х^З)			=		0,14355.
		В качестве упражнения предлагается самостоятельно получить закон
распределения					случайной		величины			Хх - числа верных			ответов игрока
(табл. 7.6):
													Таблица 7.6
		X\i	0		1		2			3		4		5
		Pi	0,01		0,0495		0,09405			0,16929		0,270864		0,406296
		Pi

7.4.6. Построить закон распределения и функцию распределения индикатора события А. Индикатор принимает значение 1, если событие А произошло в данном эксперименте, и равен нулю, если событие А не произошло. Вероятность события А равна р.

Решение. Закон распределения индикатора таков:

	0	1
Pi	я	р
X/

Здесь q - \ -р. Запишем функцию распределения:

J0,	х<0;
F(x) - ЛЯ,	0 < х < 1;
[l,	х> 1.

График функции распределения показан на рис. 7.3.

62	63

,Рис. 7.3

7.4.7.В год проводится 8 тиражей государственного займа. В каждом! тираже из 10 ООО ООО облигаций выигрышными оказываются 20 ООО. Цена одной облигации 50 у.е., выигрыш составляет 300 у.е. Некто приобрел т\ облигаций. На какой выигрыш он может рассчитывать в течение год

ес л и т = 1,40, 100, 200?

Решение. Рассчитываем выигрыш в процентах к основному капиталу Рассмотрим случай, когда т = 1. Так как в тираж выходит оче* незначительное число облигаций по отношению к общему количеств можно положить, что вероятность выигрыша в каждом тираже рав~ р = 0,002. Всего в году проводится п = 8 испытаний (тиражей), и "успех, здесь - выигрыш по одной облигации. Положим испытания независимым- хотя это и не совсем так, ведь вышедшая в тираж облигация больше н участвует в розыгрышах. Но вследствие того, что вероятность "успеха очень мала, допущение о независимости испытаний можно счита- справедливым.

Случайная величина^ - выигрыш владельца облигации, исчисляем" в процентах, может принимать два значения: 0 и 500 %. Вероятности эт значеггий подсчитываются по формуле Бернулли:

р(Х = 0) = Cj • р° q* = 0,9988 = 0,984;

р(Х = 500) = Cl • р1 • q1 = 8 • 0,002 • 0,9987 = 0,016.

	0	500

т	0,984	\| 0,016

года.

Если т = 40, то число независимых испытаний за год равно п = 40-8 320. Здесь при расчетах уже можно воспользоваться формулой Пуассона:

A = wp = 320-0,002 = 0,64.

Стоимость сорока облигаций равна 2000 у.е., 250 у.е. чистого выигрыша на одну облигацию составляет 12,5% от затраченных на покуггку облигаций денег. Найдем вероятности значений случайной величиныЛГчисла выигравших облигаций.

	- . - Я
р0(Х = 0) = р0	= ^ - = 0,527; Р\(Х = \) = р^ =~	= 0,337;
		= 0,337;

					-х	•А —Л
Р2 = ^ " ^ — = 0,108;		"	рг=Л	'*	=0,023;	р 4 = £	Д _ = 0,004.
2!	'	"		3!	'		4!
Остальные вероятности практически равны нулю. Закон распределения
случайной величины X таков:
О		12,5			25	37,5	50
0,527	0,337				0,108	0,023	0,004
Если играть 1000 лет подряд, то в среднем 527 раз дохода не будет, 327

раз он составит 12,5 %, 108 раз доход будет равен 25 %, 23 раза - 37,5%, 4 раза - 50 %.

Если т =100, то стоимость облигаций равна 5 000 у.е., Д = 8 1000,002 =

1.6; 250 у.е. составляют 5 % от					5 000 у.е.
Рассчитаем			вероятности рь ...		,р6.
Ро	=	о!	= 0,2;	Р\| =Ле х	= 0,32;	р 2	= 0,26;	р ъ	= 0,14;
		о!
р4	= 0,06;		р5 = 0,02;	вероятность рь		практически равна 0.
Закон распределения случайной величины X:
щ				10		15	20		25
Pi		0,2	0,32	0,26		0,14	0,06		0,02

В среднем два раза в 10 лет дохода не будет, три раза он составит 5 % и три раза 10 %, два раза доход будет более 10 %.

О доходе в 50 % и тем более в 500 % здесь речь не идет, но небольшой I доход становится реальностью для каждого отдельно взятого года.

Пусть т =200. Тогда к = 8-2000,002 = 3,2. Стоимость облигаций равна

10 000

у.е.,

250

у.е. составляют 2,5% от основного

капитала. Найдем

вероятности ро* ••• ,Рч-

р0=е~л =0,041;

А = Ле~х = 0,13;

р2

= 0,5 • Я2

• е~к

= 0,209;

pj =0,223;

р4 =0,178;

р5 = 0,114;

р6 = 0,061;

Pl = 0,028;

p t

=0,011;

р 9

= 0,004.

Закон распределения случайной величины X:

0,041

2,5

7,5

12,5

17,5

>20

0,13

I 0,209

0,223 0,178)0,114

0,061

0,028

0,016

Владелец 200 облигаций почти гарантирует себе не менее пяти процентов ежегодного дохода.

8 . Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Е Д В У Х Д И С К Р Е Т Н Ы Х С Л У Ч А Й Н Ы Х В Е Л И Ч И Н , О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Х Н А О Д Н О М И Т О М Ж Е

П Р О С Т Р А Н С Т В Е Q ( С И С Т Е М Ы Д В У Х С Л У Ч А Й Н Ы Х В Е Л И Ч И Н )

Пусть на одном и том же пространстве элементарных исходов С1 заданы две дискретные случайные величины А'и У с законами распределе ния {(*,, Pj)} и {(yj, qj)} соответственно. Тогда события Л, = {X = Х(},

где / = 1 , 2 , ... и события Bj = {Y = у}), где/т 1 , 2 , ... образуют разбиение множества Q.

£ % Щ	АгАк=0;Ц*к),	I P K )	=	Z A = 1 ;
i	Я,-• Я , - = 0 ; (/*/), Z			i	t		.
I f i y = Q ;	Я,-• Я , - = 0 ; (/*/), Z		= Z<?, =
j		J			J
Следовательно, образуют разбиение множества Q и попарные
произведения А, • By.	]Г £ A ' BJ = Ф	(A, Bj)(Ak		• Bt)= 0,		I * к или J *
s	i j
s

Обозначим вероятности произведений AtB}символами р» :

Pij = piAtBj) =		PiA,)P(Bj		I A,) = piBj)pXA, /Bj)~		PiPiBj IAt) =
= qJpiAi/Bj).						( 8 . 1 )
Вероятности p(J задают совместное распределение случайных величин
X и Y. Говорят еще, что задана система случайных						величин X, Y или
случайный вектор (X, Y).
Случайные	величины X,		Y называются		независимыми тогда и только
тогда, когда ptj	= рду	i = 1	,	2 , / = 1 ,	2	( 8 . 2 )
Если случайные		величины		X, Y принимают конечное число значений:

/ = 1, 2, ...т; j = 1 , 2 , ...и, то вероятности рц можно записать в таблице с т строками и п столбцами (табл. 8.1). Заметим, что

4 = А,П = А,(ВХ + В2 +... + В„) = £			щ	;
		У=1
Bj	= Bp = Bj(Ax + А2 +... + AJ = ZBjAf,
		/=1
Pi	= PiAi)=zZP(AiBj)=1LPIJ>	/	=	1,2,...,т;
	т	т
4j	= PiBj) = I piAtBj )-J>#!		J = 1 n .
	i=l	w

Таблица 8.1

Pu	Pi/		P U		Z Ply = Pi
Pu	Pi/		P U		J
					J
Pn	Po				zZPij=Pi
Pn	Po				j
					j
Pmi	PM/			YUPMJ = PM
Pmi	PM/
I P / 1 =<?!			ZР/Я = °N	M	N
I P / 1 =<?!			ZР/Я = °N	LPI=zZ4j=\
	M N	M	N
Кроме того,	Z Z Py	= Z Р/ = Z <7, =1 •

В дальнейшем, когда речь пойдет о двух и более случайных величинах, всегда будет подразумеваться, что они определены на одном и том же

пространстве О..
8.1,	Примеры	решения	задач

8 . 1 . 1 . Некоторый вид биологической клетки подвергается воздействию, при котором клетка погибает с вероятностью 0,25 и делится на две клетки с вероятностью 0 , 7 5 . Пусть X - число живых клеток после воздействия на одну клетку, Y - число живых клеток после воздействия па X клеток. Клетки реаптруют на воздействие независимо друг от друга, и умершая клетка не оживает. Найти:

а) закон распределения системы (X, Y);

б) законы распределения А" и Y в отдельности;

в) закон распределения	Y	при условии,	что X - 2. Зависимы ли
случайные величины А" и У?
Решение. Пространство Q состоит из пяти исходов:
( 0 , 0 ) ( 2 , 0 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 4 )
0 = { ( 0 ) ( 2 0 )		( 2 2 , ) ( 2 2 2 )	( 2 4 ) } .
Здесь запись 2 0 , например, означает, что первая клетка поделилась на
две, но при последующем	воздействии обе		они погибли. Запись 2 2 2

означает, что первая клетка поделилась на две, а затем первая из этих двух

клеток погибла, а вторая поделилась на две. Запись 0 означает, что исходная клетка погибла.

Сверху в скобках над элементарными исходами записаны значен! случайных величин X,Y, соответствующие этим исходам.

Случайная величина X принимает два значения: 0 и 2; случайная величина Y принимает три значения: 0,2,4. Соответствующие вероятности обозначим через р\, р2 и qh q2, Цъ- Из условия задачи следует:

р(Х = 0) = />, = 0,25; р(Х = 2) = р2 = 0,75;

p(Y = 0/X = 0) = 1; p(Y = 0/X = 2) = 1/4-1/4 = 1/16; p(Y = 21X = 0) = p{Y = 41X = 0) = 0;

p(Y = 2/X = 2) = 1/4-3/4 + 1/4-3/4 = 3/8; p(Y = 4/Х = 2) = 3/4-3/4 = 9/16. Отсюда:

ри = р ( * = 0,К = 0) = 1/4-1 = 1/4;

pn=p(X=0,Y = 2) = p]3=p(X = 0,Y = 4) = 0; р2Х = р ( ^ = 2,У = 0) = 3/4 1/16 = 3/64;

р22 = р(^Г = 2,У = 2) = 3/4-3/8 = 9/32; р23 =р(Х = 2, Y = 4) = 3 / 4-9/16 = 27 / 64;

Тогда:

q} = Р(У = 0) = я , , + р 2 1 = 1 / 4 + 3/64 = 19/64; q2 = р(У = 2) = /?12 + Р22 = 0 + 9/32 = 9/32;

д2 = р ( у = 4) = р | 3 + /?23 =0 + 27/64=27/64; Совместное распределение Л'и К задано в табл. 8.2.

					Таблица 8.2
\ #		0	2	4	Pi
Xi	\	0	2	4	Pi
Xi	\			0	1/4
0	'	1/4	0	0	1/4
2		3/64	9/32	27/64	3/4
%		19/64	9/32	27/64
%

Законы распределения величин А'и К в отдельности, а также закон распределения величины У при условии, что Х= 2, заданы в табл. 8.3 - 8.5.

	Таблица 8.3					Таблица 8.4
Xi	0	2	У(	0	2		4
Pi	1/4	3/4	Я/	19/64	9/32		27/64

У1	0	2	4
Р<у/Х-2)	1/16	3/8	9/16

8J.2. Закон распределения системы (X, У) задан таблицей:

yj	-1	0	1
х,	-1	0	1
х,
-1	0,1	0,2	О	0,1
0	0,05	0,1	0,05	О
1	0,1	0,05	0,15
Найти:

а) законы распределения случайных величин Л" и Y в отдельности; б) закон распределения А" при условии, что Y= 1;

в) вероятность события {Х< 1, Y> 1}. Решение.

р{Х = -\) = pl=Pu+Pl2+ Рп + Рн = 0,4; р(Х = 0) = р2= р2] + р22 + Р23 + р24 = 0,2; р(АГ = 1) = р3 = /?3| + р32 + р33 + рЗА = 0,4; /?(Г = -1) = 91 = /?,, +р2] + р3] =0,25;

= 0) = q2 = р | 2 + р22 + р32 = 0,35;

P(Y = l) = q3 = р]3 + р23 + /?зз = 0А р(У = 3) = <?4 = р14 + р24 + Рз4 = 0,2.

Законы распределения случайных величин X и Y заданы в табл. 8.6 -

8.7.

		Таблица 8.6
Х(	- 1	0	1		У/	-1	0	1	3
Pi	0,4	0,2	0,4		Я,	0.25	0,35	0,2	0,2
				= 0/1Г = \) = р23/Я]			=0,05/0,2 = 0,25;

р(Х = 1/К = 1) = p33lq\ = 0,15/0,2 = 0,75.

Закон распределения случайной величины Л" при условии, что К = 1 , »адан в табл.8.8.

					Таблица 8.8
				х,	0	1
				Pi	0,25	0,75
				Pi
р(Х< 1, К>1) = 0,1 + 0,05				= 0	,15..
8
8	2.	Функция	распределения			системы	двух	случайных
	величин
Эта функция определяется соотношением
F\x,у)	=р(Х<х,	Y<y)	=p(X<x)piY<y/X<x) = p(Y<у)р{Х<xTY<y).						(8.4)

68	69

числовых аргументов, определенная для всех пар (х0 qj). Дискрета случайная величина Z с законами распределения {<p(xit )>j), ptJ), где ptj вероятность события {X = xh Y-yj}, называется функцией двух случай} величин X и Y. Аналогично вводится определение функции любого числа случайных величин.

Дискретные случайные величины X к Y называются независимыми, если вероятность рр равна произведению р, qj для всех пар индексов (/', J) Аналогично вводится определение к независимых в совокупности

дискретных				случайных						величин			Х\,						Хк. В частности, суммой двух
независимых					дискретных						случайных							величин			X	и Y		с	законами
распределения {(дг„ р,)}, {{yjt													qj)}			называется дискретная случайная
величина Uс законом распределения																{(х, + yJtр(qj)}. Обозначение:X + Y. 1
	Произведением						двух		независимых дискретных случайных величин X и
У называется					дискретная случайная										величина Vс законом									распределения.
{(х,_-ур p,<jj)}- Обозначение: XY.
8.4.				Примеры					решения				задач
	8.4.1. Заданы независимые случайные величины Л'и Y:
		Xi	-1			0		1				У/			0			1		2		3
		Pi	0,2			0,5		0,3				ч,		0,2				0,4		0,3		0,1
	Составить				законы				распределения								случайных				величин			Х+	Y, XY,
Х*+ Y2.
	Решение. Указанные законы распределения приведены в табл. 8.11
8.13.
																								Таблица 8.11
					-1				0						1					2		3			4
		Ри			0,04				0,18				0,32						0,29			0,14			0,03
																								Таблица 8.12
		х-У}			- 3				-2				-1				0				1			2	3
		Ри			0,02				0,06				0,08				0,6				0,12		0,09		0,03
																								Таблица 8.13

					0				1				2				4				9		5		10

		р»			0,1				0,3			0,2					0,15			0,05			0,15		0,05

Поясним, например, как получился закон распределения случайно величины XY. Возможны 7 значений произведений х{у/. - 1 , - 2 , - 3 , 0, 1, 2, 3. Вероятности этих значений таковы:

p(XY = -3)= р(Х=-\, Г= 3) =р(Х = -\)p(Y = 3) = 0,20,1 =0,02; p(XY = -2) = р(Х=-\, Y = 2) = 0,20,3 = 0,06;

p{XY	=	-\)=p(X	=	-\,Y-\)		=	0,2-0,4	= 0,08;
p(XY	=	0) =	p(X	=	0	или У=0)=р(Х=0)+р(У=0)-р(Х=0)р{У=0) =
= 0,5 + 0,2 - 0,50,2 = 0,6;
p(XY=		1) =p(X=	\)p(Y=		1)		= 0,30,4	= 0,12;
p(XY - 2) - p(X = 1)				p(Y = 2)			= 0,30,3 = 0,09;
p(XY - 3) -p{X -			1)	p(Y = 3) = 0,3-0,1				= 0,03;

Контроль: 0,02 + 0,06 + 0,08 + 0,6 + 0,12 + 0,09 + 0,03 = 1.

Поясним еще, как была вычислена вероятность события {X2 + Y2 =5}.

р(Х*+ Г!=5)=р(АГ = -1,У = 2 и л и Л ' = \,Y = 2)=p(X--l)p(Y-2) +

• р(Х= \)p(Y = 2) = 0,2-0,3 + 0,30,3 = 0,15.

8.4.2. Ниже для каждой пары значений (дг„ у}) дискретных случайных

величин			X		и	Y заданы		вероятности			рц	(табл.	8.14).		Найти		закон
распределения суммы Z = X + Y.

	\ .				YJ	0		1		2		3
	xt				\.	0		1		2		3
	xt				\.
			-1		^	0,01		0,06		0,05		0,04
			0			0,04		0,24		0,15		0,07
			1			0,05		0,10		0,10		0.09
Решение. Сумма X + Y принимает следующие значения: - 1,0, 1, 2, 3, 4.
Найдем соответствующие вероятности.
р{Х+		у = - 1 ) = р ( А - = - 1 , Г = 0 ) = 0,01;
piX +		Y - 0) = р(Х = -1, Y = 1) + р(Х = 0, Y = 0) = 0,06 + 0,04 = 0,1;
piX+			Y=			\)4*X	=	-l,Y=2)+p(X=0,Y=				\)+р(Х= 1,			Y=0)	=
= 0,05 + 0,24 + 0,05 = 0,34;
piX+Y=2)=piX=-\tY=3)+p(X=0,										Y=2)+p(X=				1 , 7 - 1 ) -
-0,04 + 0,15 +0,1 =0,29;
p{X +			Y = 3) = p(X = 0, Y = 3) + p{X -								1, Y = 2) = 0,07 f 0,1 - 0,17;
p(X+				Y=4)=p{X=			1 , Г = 3 )		= 0,09.
Этот закон						распределения (вероятности						обозначены		гк) задан		в табл.
8.15.

	2К				-1		0		1		2		3		4
	гк				0,01		0,1		0,34		0,29		0,17		0,09

Контроль: 0,01+ 0,1 + 0,34 + 0,29 + 0,17 + 0,09 = 1.

8.4.3. Две независимые случайные величины Хи К имеют такие законы распределения (табл. 8.16 и 8.17).

			Таблица 8.16			Таблица 8.17
Xi	0	1	2	3	-1	3	4
Pi	0,3	0,2	0,1	0,4	0,2	0,1	0,7

в табли1*ах (табл- 8Л8 и 819^

Построить закон распределения случайной величины Z = тт(Х, р. Решение. Для удобства составления закона распределения случайной

величины Z представим ее возможные значения - числа г9 и вероятности этих значений - произведения ptfj

Таблица 8.18

		Z -	ТТ(Х„ у/
\ У у	-1	3	4

о 1	-1	0	0
1	-1	1	1
2	- 1	2	2
3	-1	3	3

Таблица 8.19

		0,2	0,1	0,7
Pi	\
0,3		0,06	0,03	0,21
0,2		0,04	0.02	0,14
од		0,02	0,01	0,07
0,4		0,08	0,04	0,28

Закон распределения случайной величины Z представлен в табл. 8.20.

9 . Ч И С Л О В Ы Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И Д И С К Р Е Т Н Ы Х

С Л У Ч А Й Н Ы Х В Е Л И Ч И Н
9.1 .	Математическое	ожидание

Часто совсем необязательно знать о случайной величине "все". Например, владельца облигаций вряд ли будет интересовать полная картина распределения вероятностей выигрышей. Но он наверняка хотел бы знать, на какой средний годовой доход он может рассчитывать, а также каковы наиболее вероятные вариации этого дохода.

Можно выделить несколько числовых характеристик, которые многое могут сказать о свойствах данной случайной величины. Самая первая,

наиболее	часто	используемая	характеристика,	называется
математическим		ожиданием, или	средним значением.	Формула,

определяющая математическое ожидание, подобна формуле, по которой вычисляют среднее из нескольких чисел.

Если среди п чисел щ		равны	числу х\, п2 равны числу х2,					пт чисел
равны числу хт (п\ + п2		+ ... +	пт	=	п ) ,	то их среднее арифметическое
считается по формуле
пгх]+п2-х2+...+пт-хт _п,			»2	+			пт
			д:,	+	х2	+...+	хт.
п		п			п		п
При этом — + — + ... + ^=- = 1,					0< ™ < 1 , i = 1, 2,			w, так что
п	п	п				п

отношения (частоты) — по своим свойствам напоминают вероятности.

Пусть X - дискретная случайная величина, имеющая закон

распределения {*,,/?, }.
Математическим ожиданием, или	средним	значением,	случайной
величины А'называется число М(Х), определяемое формулой
Л/(Л-) = 5 > ; р , .			(9.1)
I
Когда величина X принимает бесконечное число значений, требуется,
чтобы написанный ряд сходился абсолютно. Тогда говорят, что X имеет
конечное математическое ожидание.	Если ряд	XI*/!'/7/	расходится,

говорят, что дискретная случайная величина X не имеет конечного математического ожидания.

Пример 1. (Из недавнего прошлого). Найти среднее значение иыигрыша на одну карточку спортлото «5 из 36». Карточка стоит 30 коп. Угадавший 5 номеров получает 10 000 руб., угадавший 4 номера получает 50 руб., угадавший 3 номера получает 5 руб.

Случайная величина X чипыи mi.hu рыш игрока, купившего 3 копеечную карточку, принимает четыре ратных шачения: 9999,7, 49,7,

и-0,3 руб. Рассчитаем вероятности та ЮТМИИЯ.

=9999,7) = 1 / С356 = 1 /376992 = 0,0000026;

р(Х = 49,7) = (С31	С54)/С356 =0,00041;
p(X = 4J) = (C2l	С53)/С356 =0,0132;
р(Х = -0,3) = 1 - 0,0132 - 0,00041 - 0,0000026 = 0,9863874.

Найдем математическое ожидание М(Х) выигрыша на одну карточку. М(Х) - 9999,70,0000026 + 49,70,00041+ 4,70,0132 -- 0,3 0,9863874 =

= -0,1875. Средняя потеря игрока в одной игре равна примерно 19 ком. Пример 2. Найти математическое ожидание случайной величин

имеющей распределение Пуассона.

		-А
Нужно просуммировать ряд ]Г к	Л!	. Найдем эту сумму:
а-о	Л!
а-о
-Я	-А	Лк

В соответствии с определением функции дискретной случайно;: величины получаем, что математическое ожидание функции <Р(Х) равно

М(<Р(Х)) = ^<рМ-р^

(9-

Если значений х, бесконечно много, то для существова математического ожидания ряд в правой части должен сходит

абсолютно.

Пример 1. Случайная величина М задана законом распределения:

-2	-1	о	1
0,3	0,1	0,1	0,4	0,1

Найти математическое ожидание случайной величины X2. Состав сначала закон распределения случайной величины X2:

О1

Pi.	0,1		0,5	0,4
Pi.
Тогда МО*3)- 0-0,1 + 1-0,5 + 4-0,4 = 2,1.
Пример 2. Математическое ожидание линейной функции случайно!
величины X,	(р(Х) = ах + 6, где а и Ъ - данные числа, равно
М(ах + Ь) =	Х(ок,. + b)Pi	= a^XiPi + я£ р, = аМ(х) + Ь.
	1	'	'	В частности, М(аХ)
Предполагалось, что число Щх)			существует.	В частности, М(аХ)

= аМ(Х), М(Ь) = Ь.

Пример 3. Задано совместное распределение случайных величин Хи Y.

Найти М{Х), M(Y), М{Х + У).

	- 1	2	3	4

0	0,05	0,1	0,05	0,1
1	0,05	0,05	0,05	0,1
2	0,2	0,01	0,14	0,1

величина X принимает значение 0 с вероятностью 0,05 + 0,1 + 0,05 + ОД =

• 0,3; значение 1 с вероятностью 0,05 + 0,05 + 0,05 + 0,1 = 0,25; значение 2 с вероятностью 0,2 + 0,01+0,14 + 0,1 =0,45.

Случайная величина Y принимает значение -1 с вероятностью 0,05 + 0,05 + 0,2 = 0,3; значение 2 с вероятностью 0,1 + 0,05 + 0,01 = 0,16; значение 3 с вероятностью 0,05 + 0,05 + 0,14 = 0,24; значение 4 с вероятностью 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,3.

	Законы распределениями Y:

		Xi	0	1	2			щ	-1	2	3		4
			0,3	0,25	0,45			щ
		Pi	0,3	0,25	0,45			4t	0,3	0,16	0,24		0,3

		Отсюда М(Х) = 0-0,3 + 1 -0,25 + 2-0,45 = 1,15; M{Y) = -1 0,3 + 2-0,16 +
+ 3-0,24 + 40,3 = 1,94.

	Х+ Y		-1	0		1	2		3	4		5		6
	Р-		0.05J	0,05		0,2	0,1		0,1	0,16		0,24		0,1

60,1 = 3,09 = М(Х) + M(Y).

Последнее совпадение не случайно, справедлива теорема: Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно

сумме их математических ожиданий, если, конечно, последние существуют.

Это утверждение переносится на любое конечное число слагаемых. Докажем его.

Итак, пусть М(Х) и М( Y) существуют. Тогда

' /		' J	i j
= I/2>// +IJV2>(, = Е/А			+2 >у*У =M(X) + M(Y).
J	i	i	j

Правомерность действий вытекает из условия абсолютной сходимости

рядов.

Пример 4. Найти математическое ожидание произведения случайных величин ЛГи У из примера 3.

76	77

Закон распределения произведения XY таков:

ху	-2	-1	0	2	3	4	6	8

РА	0,2	0,05	0,3	0,05	0,05	0,11	0,14	0,1

Следовательно, M{XY) = -20,2 + (-1 0,05) + 00,3 + 20,05 + 3 0,05 4-0,11 +60,14 + 80,1 = 1,88.

В общем случае математическое ожидание произведения случайны . величин не равно произведению их математических ожиданий. Но если случайные величины X и Y независимы, иначе говоря, ру = ptqh то верна теорема:

Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

В самом деле,

M{XY)			=		z^YdxiyjPij=Y<lZxiyjPi4j=zZxipizZyjqj=M(X)M{Y\
		1 J			i J	'		J
Указанные			преобразования			позволяет		выполнить абсолютна:,
сходимость рядов.
9.2.		Дисперсия			и	среднеквадратическое			отклонение
Рассмотрим			две случайные			величины X		и Y с	такими	законами

	Xi	-0,1		0	0,1		У\	-1000	0	1000 ,
		0,3		0,4	0,3
	Pi						Hi	0,3	0,4	0,3

У этих случайных величин одинаковые, равные нулю, математические ожидания. Но значения случайной величины X близки к ее среднему, а значения случайной величины Y далеко разбросаны от нуля. Судить с разбросе значений случайной величины относительно ее среднего по значению самого математического ожидания нельзя. Нужна другая числовая характеристика. Одной из самых распространенных мер разброс, значений случайной величины относительно ее среднего значения является

дисперсия.

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от ее математического ожидания (под отклонением здесь понимается разность). Обозначается дисперсия символом D(X).

Таким образом,

D(X) = M[X-M(X)f.			(9.3)
Раскроем скобки в формуле, определяющей дисперсию:
D(X) =	М[Х - М(Х)]2	= [М(Х2) - 2М(Х)Х + М2(Х)]=
=	M(X2)-2[M(X)f	+[M(X)f	= M(X2)-[M(X)f.

При

раскрытии

скобок

мы

воспользовались

уже

доказанными

йствами математического ожидания. Итак,

ДА") = M(X2)-[M(X)f.

(9.4

Именно по этой формуле дисперсия чаще всего и вычисляется.

Пример 1. Вычислим дисперсии случайных величин Xu

Y, описанных

начале этого пункта. Сначала составим законы распределения величин X2

У2 (табл. 9.1

-9.2).

Таблица 9.2

х/

0,01

у?

10"

0,4

0,6

0,4

0,6

я,

М(Х2)-

[Л/(А)]

2 = 0,006;

Дисперсия

случайной

величины

Y в сто миллионов раз больше, чем

сперсия случайной величины X.

Пример 2. Дисперсия линейной функции от случайной величины.

ДоА* + Ь) = М(оХ + Ь ) 2

[M(aX

b)]2

= М(а2Х2 +

2 • аЪХ + Ь2) -

[М2

(аХ)

2аЬМ(Х)

Ь2

а2М(Х2)

а2М2(Х)

а2

[М(Х2)

М2(Х)\=

a2D(X).

частности, D{aX)

a2D(X),

D { b )

= 0.

Мы вновь воспользовались известными свойствами математического

|ожидания.

Пример 3. Найдем дисперсию случайной величины X, имеющей

пределение Пуассона.

-А

=2>

-А

= Ле-А

(*2) = 1* :

( * - 1 )

( * - 1 + 1 )

0I*

к-2

+ ^ - Я 1

( * - 1 ) !

у — + я

2_-Я о

К-

•

2 ( * - 2 ) !

=А2 +Л. Окончательно

-е~Аел

+Яе~л - е

ДА")

М(Х2)-

М2(Х)

Я2+А-А2

Я.

' V +

Ле~'

Дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна ее математическому ожиданию.

Пример 4. В общем случае дисперсия суммы двух случайных величин не равна сумме их дисперсий. Однако дисперсия суммы независимых случайных величин X и У равна сумме D(X) + D(Y). Для доказательства воспользуемся уже известными свойствами математического ожидания.

•

М(Х + У)2		= М(Х2 +2ХУ+	У2) -	М(Х2) f 2М(Х)М(У) + М(У2);
М2(Х + У) = [М(Х) + M(Y)f			= М2(Х) + 2М(Х)М(У) + М2(У);
D(X + У)	= М(Х + У)2 - М2(Х + У) = D(X) + ГНУ).
Заметим,	что	D(X -Y) = D(X) + (-1)2		• D(Y) = D(X) + D(Y).
Таким образом, дисперсия			разности двух независимых случайных

величин равна сумме дисперсий этих величин.

Сред)тм квадратическим отклонением, или стандартом случайной величины X, называется корень квадратный из ее дисперсии. Обычна применяют одно из двух обозначений:

ах = о-(Х) = ЩЩ.

(9.51

Из определения дисперсии как математического ожидания квадрат! случайной величины следует, что дисперсия не может быть меньше нуля, поэтому из ее значения всегда можно извлечь квадратный корень.

9.3	Другие	числовые	характеристики
Здесь приводятся только определения.
Начальным моментом		k-vo порядка случайной		величины X называете!
математическое ожидание k-й степени этой случайной величины.
ак(Х) = М(Хк) = ^ р		,		(9.61

•

Предполагается, что бесконечный ряд сходится абсолютна Математическое ожидание - это начальный момент первого порядка.

Центрированной случайной величиной называется разность междя

величиной А" и ее математическим ожиданием.
X = X - М(Х).	(9.Я

Математическое ожидание центрированной случайной величины равн<| нулю.

Центральным моментом к-ro порядка случайной величины называется математическое ожидание к степени соответствующ центрированной величины.

Мк (X) = М{Хк)-Jfo - М(Х))к Pl.

(9.8J

Предполагается, что ряд сходится абсолютно. Дисперсия - это второ! центральный момент.

Нормированной случайной величиной называется отношение случайно!

величины А' к ее среднему квадратическому отклонению.
Х = Х/а(Х).	(9.Щ
Дисперсия нормированной случайной величины равна I.

Модой дискретной случайной величины называется наиболее вероятное ее значение. Например, модой биноминального распределения является число к0 = [пр - q]+1.

9.4.

Ковариация.

Дисперсия

суммы

случайных

величин в общем случае

Пусть X и У - две дискретные случайные величины, имеющие математические ожидания М(А) и М(У) и дисперсии ЩХ) и Д У ) .

Математическое ожидание произведения ХУ определяется формулой

M{xr)=2xiyjpr

Ряд сходится абсолютно, так как |х, • >>;| < Щ +y2\l2. Следовательно,

число М(ХУ) существует.- Найдем математическое ожидание произведения центрированных

случайных величин X и У.

М(ХУ) = М[(Х - М(Х))(У - М(У))]= М(ХУ) - 2М(Х)М(У) + М{У)М(Х) =

=М(ХУ) - М(Х)М(У).

Ковариацией случайных величин X и У называется математическое ожидание произведения центрированных случайных величин ХУ.

Ковариация обозначается так: Cov(Af,	У). Мы доказали, что
Cov(X, У) = М(ХУ) - М(Х)М(У).	(9.10)
Подчеркнем, что X к У должны	обладать дисперсиями, только тогда
ковариация существует.

Если А* и У независимы, то, как было ранее доказано, М(Х, У) = М(Х)М(У); поэтому ковариация независимых случайных величин равна

0. Обратное утверждение неверно.
Пусть	теперь Х\, Х2, ....		Хп - случайные величины			с	дисперсиями
(конечными) ЩХ\), D(X2),		LXXP) и математическими ожиданиями ЩХ\),
М(Х2), .... М(Х„). Обозначим через S„ сумму А",				+ Х2 +		...	+ Х„. Найдем
ВД,).
M(Sn)	= M(X, + Х2 +	...+ Х„) = М{Х,) +		М(Х2)+			...+ М(ХП).
Обозначим эту сумму через Мп. Имеем
			ч2		"l2
ISn-Mn)2	= Х А - , - Х Л / ( А - , )		L ( A - ( . - M ( A \)		=	1.[х,-щх1)7		+

	L l	l
2n^i-^(Xi)].[Xj-M(Xj).\	L l
2n^i-^(Xi)].[Xj-M(Xj).\
i,j>i

ВО

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.03 Mб21278.pdf
#
07.01.20211.03 Mб101279.pdf
#
07.01.2021301.8 Кб1128.pdf
#
07.01.20211.03 Mб51280.pdf
#
07.01.20211.03 Mб21281.pdf
#
07.01.20211.03 Mб121282.pdf
#
07.01.20211.03 Mб21283.pdf
#
07.01.20211.03 Mб371284.pdf
#
07.01.20211.03 Mб41285.pdf
#
07.01.20211.03 Mб1001286.pdf
#
07.01.20211.03 Mб01287.pdf