1261

Особенности планирования эксперимента:

стремление к минимизации общего числа опытов;

одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс, по специальным правилам – алгоритмам;

выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.

Планирование эксперимента может служить основой для автоматизированного проектирования какого-либо процесса. Для этого необходимо наличие математического описания объекта проектирования или математической модели, положенной в основу компьютерной модели на подходящем языке программирования.

Такая модель должна отражать функциональное взаимодействие элементов и их соединений, пространственные связи и расположение.

Впроцессе измерений, последующей обработки данных, а также формализации результатов в виде математической модели возникают погрешности и теряется часть информации, содержащейся в исходных данных. Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о

ееадекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами.

Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов, при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшими затратами труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

Всвоей работе мы будем рассматривать методику полного факторного эксперимента [1–3, 19, 28, 50, 70, 74–75]. В соответствии с данной методикой при проведении экспериментов все факторы варьируются на трех уровнях – среднем (основном, нулевом), верхнем и нижнем, отстоящих от основного на одинаковую величину, называе-

мую интервалом варьирования Х.

Для упрощения записей и последующих расчетов уровни факторов переводят в кодовый (нормализованный) масштаб с помощью следующего преобразования:

31

где xi – значение i-го фактора в новом кодовом масштабе; Хi – интервал варьирования i-го фактора; Хi – значение i-го фактора в старом натуральном масштабе; Хi0 – основной уровень i-го фактора.

Таким образом, в новом масштабе верхний уровень фактора будет равен (+1), нижний уровень равен (-1), основной уровень равен 0.

Нижняя граница интервала варьирования не может быть меньше погрешности определения фактора, верхняя граница интервала варьирования определяется условием невыхода из области определения фактора. Интервал варьирования корректируется в ходе эксперимента, если не удовлетворяется условие адекватности модели.

Эксперименты в зависимости от количества факторов выполняются по специальному плану (прил. 1).

При проведении экспериментов в соответствии с выбранным планом целесообразно опыты в нулевых точках (когда все факторы находятся на основном уровне) равномерно распределять между всеми остальными [81].

После проведения экспериментов получают математические за-

где i, j = 1, 2, ..., k – порядковые номера факторов; уi – исследуемое свойство бетона; хi – исходные факторы; b0, bi, и bij – коэффициенты уравнений, которые вычисляются по следующим формулам:

32

N

yu

здесь уu – значение исследуемого свойства бетона в u-м опыте; xiu – значение i-го фактора в u-м опыте; xju – значение j-го фактора в u-м опыте (j i); N – число опытов в плане за исключением опытов в нулевых точках (для трехфакторного эксперимента N = 8, для четырехфакторного эксперимента N= 16).

Величина модуля коэффициента модели указывает на силу влияния фактора, а знак – на направление. Величина коэффициента равна вкладу данного фактора при переходе фактора с нулевого уровня на крайний уровень – эффект фактора (основной эффект, главный эффект).

После получения уравнений производят проверку отличия коэффициентов bi от нуля и пригодности уравнений для описания исследуемых зависимостей. Выбор схемы статистического анализа и расчетных формул зависит от типа использованного плана и вида получаемых уравнений.

Полученные в результате расчетов зависимости (уравнения) уточняются производственными экспериментами и в дальнейшем могут использоваться для решения различных производственных задач, связанных с корректировкой и оптимизацией состава бетона.

2.3. Методы статистической обработки данных

При планировании эксперимента в целях уменьшения числа выходных параметров математической модели можно использовать корреляционный анализ [1, 50, 122]. Для этого нужно измерить все параметры, затем оценить корреляцию, отсеять часть параметров и строить модель для минимально возможного их числа.

Коэффициент парной корреляции является общепринятой в математической статистике характеристикой связи между двумя слу-

33

чайными величинами. Для проверки значимости коэффициента парной корреляции пользуются таблицей критических значений.

После реализации эксперимента по выбранному плану проводят обработку результатов эксперимента с построением математических зависимостей свойств бетонной смеси от выбранных факторов.

Затем производят проверку отличия коэффициентов уравнений bi от нуля и пригодности уравнений для описания исследуемых зависимостей. Выбор схемы статистического анализа и расчетных формул зависит от типа использованного плана и вида получаемых уравнений.

Статистический анализ линейных зависимостей производится следующим образом.

Средние значения параметра оптимизации в различных опытах, но при неизменных значениях факторов, то есть когда все факторы удерживаются на одних и тех же уровнях, имеют различные величины в силу статистической обусловленности эксперимента. Суммарная погрешность параметра оптимизации в этом случае составляет ошибку воспроизводимости одного из опытов плана. Пусть по какой-то строке матрицы планирования проводится n повторных опытов, тогда по результатам таких опытов вычисляется ошибка воспроизводимости.

По результатам опытов в нулевых (основных) точках определя-

ют:

а) среднее арифметическое значение

n0

y0u

б) дисперсию ошибки

n0

(y0 y0u )2

в) среднее квадратическое отклонение, характеризующее ошибку опыта

г) среднюю квадратическую ошибку коэффициентов

34

где y0u – значение исследуемого свойства бетона в нулевой точке в u-м опыте; n0 – число опытов в нулевой точке (число повторных опытов одной строки плана); N – число опытов в плане, за исключением опытов в нулевых точках (повторных опытов).

Далее определяют расчетное значение критерия Стьюдента tр по формуле

и сравнивают для каждого bi полученное значение tр с табличным t, при числе степеней свободы n0–1.

Если tр< t, то при заданном уровне значимости коэффициент считают равным нулю, а соответствующий ему член уравнения отбрасывают. Начинать проверку следует с наименьшего по абсолютному значению коэффициента, так как в случае его значимости надобность в проверке остальных величин отпадет. После отбрасывания незначимых членов получают уточненное уравнение, выражающее зависимость искомого параметра от факторов, характеризующих состав и свойства бетонной смеси.

Проверку значимости коэффициентов регрессии можно осуществить и с помощью доверительного интервала, который вычисляется по формуле

где t – табличное значение критерия Стьюдента.

Коэффициент регрессии значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала.

Затем полученное уравнение подвергается проверке на пригодность (адекватность). Для этого вычисляют дисперсию адекватности (или остаточную дисперсию) по формуле

где yu – значение исследуемого свойства бетона в u-м опыте; yu – зна-

чение исследуемого свойства бетона в u-м опыте, вычисленное по

35

уточненному уравнению; m – число значимых коэффициентов, включая b0.

Определяют расчетное значение критерия Фишера Fр:

S2

Fр ад (2.20)

S2

y

и сравнивают его с табличным значением критерия F для степеней свободы, с которыми определялись Sад2 и Sy2, т.е. N–m и n0–1 соответ-

ственно. Уравнение признается пригодным, если Fр<F.

2.4. Выбор и обоснование исследуемых факторов, влияющих на качество и свойства бетона

С помощью математических методов можно исследовать и анализировать определенные сложные системы, включающие много элементов и связей, и на основе подобного анализа отыскивать решения, наилучшим образом удовлетворяющие поставленным целям. Получение бетона с определенным комплексом свойств будет зависеть от многих технологических факторов.

Общее число технологических факторов, оказывающих влияние на свойства бетона, может быть очень большим. В этом случае успешное управление технологией, подразумевающее влияние наиболее существенных факторов и целенаправленное воздействие на них с целью достижения заданных свойств бетона или решения других задач, без анализа данной системы с помощью математических методов практически невозможно, тем более что при исследовании и анализе системы приходится учитывать не только прямое влияние технологических факторов на свойства бетона, но и обратное – влияние проектируемых свойств на значение того или иного технологического параметра, а также взаимодействие факторов друг с другом.

При рассмотрении объекта исследования как системы «черный ящик» фактором называют независимую величину, влияющую на поведение исследуемого объекта. Сложность любого исследования определяется количеством одновременно контролируемых факторов и параметров. Часто приходится изучать влияние нескольких факторов, по очереди или одновременно, т.е. проводить многофакторный эксперимент.

36

Фактор может иметь непрерывную или дискретную область изменения. Для непрерывных факторов, таких как температура, время, масса и т.д., всегда выбираются дискретные множества уровней. Это соглашение существенно облегчает построение эксперимента и упрощает оценку его сложности [1–3, 65, 71].

Области определения факторов, как правило, ограничены. Ограничения носят либо принципиальный, либо технический характер. Число возможных уровней для большинства факторов ограничено:

точностью измерений;

техническими возможностями измерительной техники;

естественными колебаниями измеряемой величины в ходе единичного опыта;

областью допустимых значений этой величины [19].

Любой эксперимент начинается с отбора исследуемых факторов. В рассмотрение нужно включить все существенные факторы, которые могут влиять на процесс. Если какой-либо существенный фактор окажется неучтённым, то это может привести к ошибочным заключениям, а при физическом эксперименте и к неприятным последствиям. Существенный неучтенный фактор повышает ошибку опыта.

В то же время увеличение числа факторов увеличивает размерность факторного пространства, а увеличение размерности пространства в степенной зависимости влечёт увеличение числа опытов. О такой ситуации образно говорят как о «проклятии размерности». Если число факторов больше пятнадцати, нужно обратиться к методам отсеивания несущественных факторов [19, 74].

Требования, предъявляемые к факторам при планировании эксперимента:

фактор должен быть управляемым, т.е. нужное значение фактора поддерживается постоянным в статистическом смысле;

фактор должен быть операциональным, т.е. может быть указана последовательность действий (операций), с помощью которых устанавливаются его конкретные уровни;

фактор не должен зависеть от других факторов;

фактор должен быть однозначным, т.е. должен прямо указывать на способ воздействия на исследуемый объект и иметь ясный физический смысл;

факторы должны быть совместимы, т.е. все комбинации факторов внутри их областей допустимых значений осуществимы, безопасны и не приведут к изменению характера процесса;

37

множество факторов должно быть достаточно полным. Если какой-либо существенный фактор пропущен, это приведёт к неправильному определению оптимальных условий и большой

ошибке опыта.

В качестве факторов (варьируемых в экспериментах величин) в зависимости от условий конкретной задачи могут назначаться В/Ц (Ц/В) смеси, расход воды (или цемента), расход крупного или мелкого заполнителей, соотношение между ними (r), показатели качества составляющих материалов, расход химических добавок и т.п.

Сущность планирования экспериментов и выбора составов бетонов с применением математико-статистических методов заключается в установлении математической зависимости между заданными свойствами бетона и расходом и свойствами составляющих материалов. Получаемая математическая зависимость используется для назначения и поиска оптимальных составов бетонных смесей [81].

Общие требования к параметрам (откликам) при планировании эксперимента следующие:

параметр должен быть количественным, т.е. задаваться числом;

параметр нужно уметь измерять, т.е. располагать подходящим прибором для прямого измерения или располагать методикой косвенных измерений;

параметр должен быть однозначным в статистическом смысле, т.е. заданному набору значений факторов должно соответствовать одно с точностью до ошибки эксперимента значение параметра;

параметр должен удовлетворять условию корректности, т.е. он должен действительно оценивать эффективность функционирования системы в заранее выбранном смысле;

параметр должен удовлетворять требованию универсальности или полноты; под универсальностью параметра понимается его способность всесторонне характеризовать объект;

параметр должен иметь физический смысл, быть простым и легко вычисляемым;

параметр должен быть эффективен в статистическом смысле. Из нескольких параметров оптимизации наиболее эффективен тот, который определяется с возможной наибольшей точностью. Если эта точность недостаточна, приходится обращаться к увеличению числа опытов.

38

Выбрать параметр, удовлетворяющий всем требованиям, практически невозможно. Требования чаще используются для сравнения нескольких возможных параметров и выбора, наиболее отвечающего данным требованиям.

При описании прочностных характеристик бетона рекомендуется использовать планы первого порядка. В случае, когда вид искомой зависимости неизвестен, а также при описании таких характеристик, как жесткость (подвижность) бетонной смеси, следует применять планы второго порядка.

Построение математических зависимостей производится на основе специальных лабораторных экспериментов с последующим их уточнением в производственных условиях.

Проведению лабораторных экспериментов должны предшествовать следующие этапы:

уточнение оптимизируемых параметров (класс бетона, заданные значения удобоукладываемости и т.д.);

выбор факторов, определяющих изменчивость оптимизируемых параметров;

расчет основного исходного состава бетонной смеси;

выбор интервалов варьирования факторов;

выбор плана и условий проведения эксперимента;

расчет всех составов бетонной смеси в соответствии с выбранным планом;

реализация самого эксперимента;

обработка результатов эксперимента с построением математических зависимостей свойств бетонной смеси от выбранных факторов.

Приготовление бетонной смеси, формование образцов, испытание смеси и образцов производится в соответствии с положениями стандартов. Основной исходный состав назначается по одному из трех первых методов, рассмотренных в п. 1.3.

При проведении опытных замесов в соответствии с выбранным планом целесообразно опыты в нулевых точках (когда все факторы находятся на основном уровне) равномерно распределять между всеми остальными, дублируя их через каждые 3–5 замесов.

Результаты опытов обрабатываются с использованием аппарата математической статистики, при этом получают алгебраические уравнения, выражающие зависимости исследуемых свойств бетона от исходных факторов.

39

3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЛИЯНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ НА СВОЙСТВА БЕТОНА

Основными задачами экспериментальных исследований являются опытное определение численных значений параметров, необходимых для расчета коэффициентов математических моделей, подтверждение адекватности математических моделей, подтверждение работоспособности конструкторских разработок. Для прогнозирования свойств бетона уже на стадии его проектирования необходимы соответствующие регрессионные зависимости основных качественных показателей бетона от параметров бетонной смеси.

Исследование влияния различных факторов на такие свойства бетона, как прочность при сжатии, плотность, морозостойкость, теплопроводность, проводилось на основе экспериментальных данных лабораторий заводов железобетонных изделий г. Омска.

3.1. Экспериментальные исследования влияния различных факторов на свойства тяжелого бетона

Наиболее существенное влияние на прочность, плотность и морозостойкость тяжелого бетона без добавок оказывают следующие факторы: водоцементное отношение смеси (В/Ц), количество цемента (Ц) и соотношение по массе между песком и щебнем (П/Щ).

Данные для состава тяжелого бетона без добавок приведены в прил. 2: прочность при сжатии (табл. П. 2.1), плотность (табл. П. 2.4), морозостойкость (табл. П. 2.7).

В результате обработки экспериментальных данных были получены следующие уравнения регрессии:

прочность при сжатии, МПа,

Rсж=172,192+0,039Х1–138,224Х2–188,049Х3–0,335Х1Х2+ +0,097Х1Х3+212,628Х2Х3, (3.1)

плотность, кг/м3,

=6733,693–7, 133Х1–5724,662Х2–11174,172Х3+78,576Х4+ +12,23Х1Х2+10,557Х1Х3–0,155Х1Х4+10871,695Х2Х3–

–154,293Х2Х4+94,771Х3Х4, (3.2)

морозостойкость, циклы,

F=4932,115–4,015Х1–6353,804Х2–8333,733Х3–60,504Х4+3,074Х1Х2+ +4,766Х1Х3+0,16Х1Х4+105,078Х2Х4–21,701Х3Х4–0,005Х12+

+4764,663Х22+5989,393Х32–0,392Х42, (3.3)

40