(1 Семестр)

1. В первой задаче правило Лопиталя применяется дважды. После первого применения следует выделить множители, имеющие ненулевые пределы, и заменить их этими пределами. В противном случае повторное дифференцирование может привести к громоздким выкладкам

Пример (сомножители с ненулевым пределом взяты в квадратные скобки).

2. Для решения 2-й задачи следует воспользоваться стандартными разложениями по формуле Маклорена для функций e^x , sinx , cosx , (1+x)ⁿ , ln(1+x). Количество слагаемых разложения нужно взять столько, чтобы они перестали сокращаться.

Пример

.

Ответ: f(x)=x²/10 +o(x²) , x 0 .

3. Пусть дана функция .

Найдем асимптотику в особой точке х= –1. Для этого подставим х= –1 всюду кроме первой скобки знаменателя. Получим . График этой асимптотики приблизительно совпадает с графиком нашей функции вблизи точких= –1. Аналогично, для второй особой точки найдем . Затем следует раскрыть скобки в знаменателе и поделить «уголком» числитель на знаменатель. Частное от деления определит уравнение наклонной асимптоты y=2x–1. По найденным асимптотикам и по наклонной асимптоте можно построить эскиз графика функции. Полезно ещё найти точку пересечения с осью Y, положив х=0 .

4. Исследуется простенькая функция по 1-й производной (интервалы монотонности и точки экстремума) и по 2-й производной (интервалы выпуклости и точки перегиба). Строится график с указанием на нем всех найденных точек.