Программа для сравнения двух последовательностей.

Задаем последовательности

> a[n]:=1/n^3+1/n^4; b[n]:=10/n^3+1/n^5;

Находим предел отношения

> L:=limit(a[n]/b[n],n=infinity);

Составляем программу сравнения последовательностей

> if L=0 then print('a[n]=o(b[n])') elif L=1 then print('a[n]*~*b[n]') elif L=infinity or L=–infinity then print ('b[n]=o(a[n])') else print('Ne*znaiu') end if;

>

ЗАДАЧА 6. Вычислить пределы последовательностей.

В этой задаче используется правило сохранения главных слагаемых

а) Из двух слагаемых п^х , п^у главнее то, у которого больше показатель.

б) Из двух слагаемых a^п , b^п главнее то, у которого больше основание.

Кроме того полезно знать, что aⁿ  , если |a|>1 ; aⁿ0 , если |a|<1 .

в) При сравнении логарифмической, степенной и показательной бесконечностей пользуются правилом: ln(n)  n^x  aⁿ .

Замечание. Правило сохранения главных слагаемых не всегда применимо

Пример 1. . Неверный ответ!

Правильное решение (умножение на сопряженное)

.

Пример 2. При п  exp(n²+n)  exp(n²) . Неверно!!!

ДР-1. Элементарные методы построения графиков, точки разрыва, пределы.

(1 Семестр)

ЗАДАЧА 1. Построить график ОДНОЙ функции, удовлетворяющей различным предельным соотношениям.

На + (далеко направо) функция может стремиться к + (график неограниченно уходит вверх), к –  (график неограниченно уходит вниз) и к конечному числу (график выходит на некоторый горизонтальный уровень).

Аналогичные три варианты поведения функции возможны на –  (далеко налево).

В конечной точке х₀ односторонние пределы функции могут равняться – , + и конечному числу. Все эти комбинации вариантов показаны на рисунке. При этом если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, то в этой точке имеется вертикальная асимптота (разрыв 2-го рода). Если односторонние пределы конечны и различны, то в этой точке имеем разрыв 1-го рода.

ЗАДАЧА 2. Графики функций и их элементарные свойства.

Для каждой из 3-х функций следует, прежде всего, найти область определения и только затем с использованием MAPLE строить графики функции командой

> plot(f(x),x=a..b,опции);

Здесь диапазон изменения аргумента (x=a..b) должен быть продуман. Он не должен выходить за границы области определения и в то же время должен охватывать все характерные точки. Избегайте трафаретно-бездумных диапазонов типа от –10 до +10. Если функция имеет бесконечные разрывы, то следует добавить опцию y=m..n (ограничение по Y). Желательно добавить опцию черного цвета (если нет цветного принтера)

> plot(f(x),x=a..b,y=m..n,color=black);

Желательно также рассмотреть несколько вариантов диапазонов изменения переменных и выбрать из них самый выразительный. Например, при построении графика функции у=1/х диапазон х=1..3 не дает представления о функции в целом.

После построения функции следует ответить на ЧЕТЫРЕ вопроса.

1) ОГРАНИЧЕННОСТЬ. Имеет ли график функции ограничение горизонтальной прямой сверху («потолок» у=b) и ограничение горизонтальной прямой снизу («пол» у=а).Ответ должен иметь вид: «функция ограничена сверху константой у=5, снизу – неограничена».

СОВЕТ: Полезно найти , т.е. горизонтальную асимптоту, если она есть.

2) ЗНАКОПОСТОЯНСТВО. Указать, где функция положительна ( её график лежит выше оси Х) и где она отрицательна (её график лежит ниже оси Х).

Ответ: f(x)>0 для x(a, b) , f(x)<0 для x(m, n) .

3) НЕПРЕРЫВНОСТЬ. Функция непрерывна на данном интервале, если её график на этом интервале можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.

Примечание.

Функция(см. рисунок) не является непрерывной на отрезке [0 , 1] . Она непрерывна на интервале (0, 1) , а в точкахх=0 и х=1 она не является непрерывной (не определена в окрестности точки). В этих точках функция непрерывна справа и слева.

4) МОНОТОННОСТЬ. Функция возрастает, если её график идет «в гору» и убывает, если её график идет «под гору». Если функция возрастает на (2, 3) и на (3, 4), то не всегда можно объединять эти интервалы, т.е. писать, что она возрастает на (2, 3)(3, 4). Например, функция у=1/(3–х) возрастает на каждом из этих интервалов, но не является возрастающей на их объединении.

ЗАДАЧА 3. Характер точек разрыва.

Графики строить при помощи MAPLE. Диапазон изменения аргумента выбирать так, чтобы в нем содержались все точки разрыва. В местах разрыва MAPLE рисует вертикальные линии. Чтобы избавиться от них задают опцию discont=true. При наличие бесконечных разрывов обязательно задавать ограничение по оси Y (опция у=a..b). Цвет выбирать черный.

После построения графиков следует написать определения точек разрыва 1-го и 2-го рода. Затем в каждой точке разрыва х₀ найти односторонние пределы

>limit(f(x),x=x₀,left); >limit(f(x),x=x₀,right);

и сделать выводы относительно характера разрыва.

ЗАДАЧА 4. Данная задача заменяется на следующую: «Проиллюстрировать графически данный предел».

Решение. Строим график функции и указываем три точки – на оси Х, на оси Yи на графике функции. Эти точки снабжаем стрелочками, показывающими направление процесса.

Пример 1. Пример 2..

ЗАДАЧА 5. Вычислить шесть пределов.

Вычисления проводятся ВРУЧНУЮ с указанием главных слагаемых, которые сохраняются. Использовать правило: логарифмическая бесконечность слабее степенной, а степенная – слабее показательной. И не забывать, что ln 0 = –  , .

Программу MAPLE применятьисключительнодля проверки результата.

ДР-2. Производная и её приложения.