Оценка максимального правдоподобия

Оценкой максимального правдоподобия неизвестного параметра (в общем случае это векторный параметр) называется такая точка параметрического пространства, на которой функция правдоподобия на полученной реализации выборки достигает своего максимума:

,

Если -векторный параметр, максимум функции правдоподобия для любой реализации выборки достигается во внутренней точке параметрического множества, и функция правдоподобия дифференцируема по каждой переменной , тогда:

Оценкой максимального правдоподобия неизвестного векторного параметра называется вектор , где есть решение системы уравнений правдоподобия

или системы уравнений правдоподобия

.

• Пусть - выборка из равномерного распределения . В данном случае оценка максимального правдоподобия , состоятельная, и её закон распределения , то есть в данном случае распределение не является асимптотически нормальным (модель не регулярная).

• В случае модели любое значение является оценкой максимального правдоподобия Средняя точка интервала, то есть , является несмещенной оценкой θ.

Доверительный интервал для параметра.

СВ U

Построим доверительный интервал для параметра с заданной доверительной вероятностью γ.

Для этого введём новую СВ Тогда UU Сначала построим такой доверительный интервал для параметра θ*.

Рассмотрим СВ

- это для функция распределения максимума выборки n равномерно распределенных случайных величин на [0,1] . Распределение СВ Z не зависит от θ*, значит, и от θ, поэтому СВ Z – центральная статистика. Наивероятнейшие значения Z в окрестности 1. Тогда доверительный интервал для Z будет иметь вид то есть

Или с вероятностью γ выполняются неравенства:

или

или

- искомый доверительный интервал для параметра θ с доверительной вероятностью γ.

• В модели по выборке объёма n γ-доверительный интервал для параметра θ будет таким: .

• В модели γ-доверительный интервал будет таким: .

Асимптотические свойства о.М.П.

Пусть Х=(- выборка из распределения U(0,θ). Тогда о.м.п.=.

Рассмотрим вспомогательный пример.

Пусть F(x) = x, 0 ≤ x ≤ 1. Здесь =1 и применим критерий с α=1; при этом =, =1. Таким образом, в данном случае имеем предел:

P{ n (─ 1 ) ≤ x } →, x<0.

Возвращаясь к исходной задаче видим, что экстремальные значения выборки не являются асимптотически нормальными. В частности, в рассматриваемом примере имеем (т.к. (ξ/θ)=U(0,1)):

={ n ( ─ 1)≤ x } →, x<0.