2.3. Оценка устойчивости сау по ее частотным и логарифмическим частотным характеристикам

Понятие устойчивости САУ связано со способностью системы возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния.

Оценка устойчивости САУ производится по алгебраическим или частотным критериям устойчивости, описанным в [1,2,3]. К частотным критериям устойчивости относятся:

1. критерий устойчивости Михайлова;

2. критерий устойчивости Найквиста;

3. оценка устойчивости САУ по ее ЛЧХ.

Если в характеристический полином замкнутой САУ

(21)

где ,–полиномы числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы , подставить значение , то получим характеристический комплекс .

(22)

где его вещественная и мнимая части определяются как:

	(23)
	(24)

а функции и представляют собой модуль и аргумент (фазу) характеристического комплекса

При изменении частоты от 0 до  вектор из комплексной плоскости X-Y опишет своим концом кривую (годограф вектора ), называемую кривой Михайлова (рис. 14).

Рис. 14. Кривая Михайлова

Критерий устойчивости Михайлова формулируется таким образом: для устойчивости линейной САУ n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова при изменении частоты от 0 до бесконечности проходила последовательно n квадрантов в направлении против часовой стрелки, окружая начало координат, причем ее конец должен уходить в бесконечность в том квадранте комплексной плоскости X-Y, номер которого равен степени характеристического уравнения n.

Критерий устойчивости Найквиста в общем случав формулируется следующим образом: для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы разность между числами положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов AФЧХ разомкнутой системы через ось абсцисс левее точки при изменении частоты и от 0 до  была равна , где k - число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью. При этом начальная точка характеристики на оси абсцисс левее точки считается как половина перехода. Для систем, находящихся в разомкнутом состоянии на границе устойчивости, т.е. имеющих  нулевых корней характеристического уравнения, число k считается равным нулю, а АФЧX берется с дополнением в бесконечности (рис. 15).

Рис.15.	Рис.16.
Рис.17.

На основании критерия устойчивости Найквиста могут быть сформулирова-ны требования, которым должны удовлетворять логарифмические частотные хара-ктеристики разомкнутой системы для того, чтобы она была устойчива в замкнутом состоянии. Это связано с тем, что в точках пересечения АФЧХ отрезка ЛАЧХ положительна, а ЛФЧХ пересекает прямую (-180°) снизу вверх (положительный перевод) или сверху вниз (отрицательный переход).

Требования к ЛАЧХ и ЛФЧХ в общем случае формулируются следующим образом: для устойчивости замкнутой САР необходимо и достаточно, чтобы разность между числами положительных и отрицательных переходов ЛФЧХ разомкнутой системы через прямую (-180°) при тех значениях частоты , для которых ЛАЧХ разомкнутой системы положительна, была равна , где k - число корней характеристи­ческого уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью. При этом начало ЛФЧХ в бесконечно удаленной точке =0 на прямой (-180°) считается за половину перехода. В случае астатических систем (0) при подсчете точек пересечения ЛФЧХ с прямой (-180°) надо иметь в виду, что если начало ЛФЧХ лежит ниже прямой (-180°) (что соответствует АФЧХ на рис,16), то в число отрицательных переходов надо включать бесконечно удаленную влево точку =0.(рис 18)

Рис.18.