ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ

ЭЛЕКТРОНИКИ И МАТЕМАТИКИ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

________________________________________________________________

УТВЕРЖДАЮ

Зав. кафедрой Э и Э, проф.

_______________________Петросянц К.О.

«_____» _______________ 2007 г.

Учебно-методические указания

«Анализ резистивных схем методом узловых потенциалов»

по дисциплине «Электротехника и электроника»

Составитель: Осипов Е.Г.

Москва 2007 г.

Анализ резистивных схем методом узловых потенциалов (МУП)

Предположим, что известны значения потенциалов всех узлов, тогда легко рассчитать токи во всех ветвях по ЗКН (рис.1).

Рис.1

, или ;

Потенциалы узлов рассчитывают обычно относительно какого-либо узла, потенциал которого принимают за ноль. Такой узел называют базовым. Таким образом, для определения токов во всех ветвях достаточно рассчитать значение У-1 (У – количество узлов) потенциалов узлов. Это позволяет сделать МУП.

Введем понятие: ветвь е. Ветвь е – это ветвь, состоящая только из источника ЭДС (рис.2).

Рис.2, ветвь е

Это понятие не является общепринятым и не употребляется в электротехнической литературе. Будем использовать термин «ветвь е», для кратности изложения материала. Все схемы с точки зрения применения МУП к их расчету удобно делить на три группы:

• Схема не содержит ветвей е;

• Схема содержит одну или более ветвей е, и они образуют связный подграф (рис.3а);

• Схема содержит две или более ветвей е, и они не образуют связного подграфа (рис.3б);

а)

б)

Рис.3

На рис.3а ветви е образуют связный подграф: между двумя любыми ветвями е существует путь по ветвям е.

На рис.3б ветви е не образуют связного подграфа: ветвь е, не связана с ветвями е₄ (е₅) посредством ветвей е.

Такое деление расчетных схем позволяет сформулировать единую методику расчета схем МУП.

Методика расчета резистивных схем методом узловых потенциалов (муп)

1. Рассмотреть расчетную схему на предмет наличия в ней ветвей е.

а) Схема не имеет ветвей е. Выбрать любой узел в качестве базового, присвоить ему номер y, и положить потенциал этого узла равным нулю. Остальные узлы пронумеровать в произвольном порядке, присвоив им номера от 1 до У-1.

б) Схема имеет одну и более ветвей е, и они образуют связный подграф. За базовый узел взять один из узлов, к которому подключена ветвь е, присвоив ему, номер У, и положить его потенциал равным нулю . Остальные узлы пронумеровать от 1 до У-1. определить потенциалы всех узлов, к которым подключены ветви е. Это легко сделать, поскольку потенциалы узлов, соединенных ветвью е, различаются по значению между собой на величину ЭДС (рис.4). В результате получим значения потенциалов для узлов, где – количество ветвей е.

Рис.4

По ЗКН , или учитывая ; или ;

Проиллюстрируем выше сказанное на примере. На рис.5 показан фрагмент схемы, который отражает все ветви е, имеющиеся в ней.

Рис.5

На этом фрагменте к пяти из шести узлов подключены ветви е. Выберем в качестве базового узла один из этих пяти, и его потенциал приравняем нулю . Остальные пронумеруем (рис.5), и рассчитаем потенциалы узлов, к которым подходят ветви е.

; ; ; ;

Эти выражения получают либо на основании ЗКН, как показано выше, либо из следующих рассуждений. Стрелка источника ЭДС показывает возрастание потенциала. Рассмотрим узлы 1 и У. Направление ЭДС , от узла У к узлу 1, поэтому потенциал больше потенциала , следовательно, .

в) Схема имеет две или более ветвей е и эти ветви не образуют связного подграфа. В этом случае применение МУП не позволяет рассчитать значение неизвестных потенциалов в исходной схеме. Для расчета подобных схем МУП необходимо выполнить один или более раз эквивалентное преобразование заданной схемы, чтобы в итоге получить схему, в которой ветви е образуют связный подграф, а затем действовать в соответствии с пунктом б). Эквивалентное преобразование (разноска источника ЭДС) будет рассмотрено позже.

2. Записать необходимое количество узловых уравнении К_МУП = У-1-В_е для расчета неизвестных потенциалов узлов и решить их с учетом значений потенциалов, определенных в п.1. Узловые уравнения формируют для всех узлов исходной (п.1 а), б)) или преобразованной схемы (п.1 в)), кроме узлов, к которым подключены ветви е и базового узла.

Узловое уравнение для узла S в схеме имеющей У узлов (=0 – базовый) в общем случае имеет вид:

, – потенциалы узлов.

G_SS – собственная проводимость узла S. Ее значение равно сумме проводимостей ветвей, подключенных к узлу S.

- общее (взаимное) сопротивление S и m, где , но . Значение G_SМ равно сумме проводимостей ветвей, включенных между узлами S и m. G_SМ = 0, если нет ветвей, соединяющих узлы S и m.

– узловой ток узла S. равен алгебраической сумме токов источников тока и токов источников тока эквивалентных источникам напряжений ветвей, подключенных к узлу S. Указанные токи учитывают в алгебраической сумме со знаком плюс, если источник (ЭДС или тока) направлен к узлу S. В противном случае – со знаком минус.

;

Первая сумма – сумма токов источников тока, вторая – сумма токов источника тока, эквивалентных источникам напряжения. Здесь имеется ввиду то, что источник напряжения можно заменить на эквивалентный ему источник тока (рис.6).

Рис.6

Замечания:

1) Если в ветви с источником тока последовательно включены какие-либо элементы (R и/или е), то е узловых уравнениях учитывают только ток источника тока в правой части уравнения. Например, к узлу S подключена ветвь:

тогда в выражения для G_SS и G_SM не будет входить в виде слагаемого величина 1/R_K , а также в сумме должна отсутствовать слагаемое e_K/R_K, т.е. в узловом уравнении для узла S из всех параметров R_K, e_K, j_K этой ветви будет фигурировать только j_K в сумме .

2) Узловые уравнения для узлов, к которым подключены ветви е, записать невозможно.

Оба замечания вытекают из обоснования метода узловых потенциалов.

Проиллюстрируем формирование элементов узлового уравнения на примере. На рис.7 приведен фрагмент схемы. На фрагменте показан узел S и все ветви, подключенные к этому узлу.

Рис.7

G_SS = 1/R₁ + 1/R₃ – собственная проводимость узла S.

Величина 1/R₄ не входит в G_SS, т.к. R₄ включено последовательно с источником тока j₄ (см.замечание 1).

= 1/R₁ – общая (взаимная) проводимость между узлами S и 1.

= 0, т.к. R₄ включено последовательно с источником тока.

= 1/R₃;

= 0 – нет ветвей непосредственно соединяющих узлы S и 5.

= j₄ – j₂ + e₁/R₁ – e₃/R₃ – узловой ток узла S.

j₄ и e₁/R₁ учтены со знаком плюс, т.к. j₄ и e₁ направлены к узлу S, а j₂ и – со знаком минус, поскольку j₃ и e₃ направлены от узла S. Слагаемые e₁/R₁ и e₃/R₃ – это токи источников тока, эквивалентных источникам напряжения.

3) Задать положительные направления токов в ветвях и напряжений на источниках тока. Рассчитать токи ветвей и напряжения на источниках тока. Сначала определяют токи в ветвях, содержащих сопротивления, и напряжения на источниках тока по ЗКН (рис.8), а затем по ЗКТ токи в ветвях е (рис.9).

Рис.8

Рис.9