2.5. Уравнения в полных дифференциалах
Уравнение вида
P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 |
(2.21) |
называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция U(x, y), что
P(x, y)dx Q(x, y)dy dU(x, y). |
(2.22) |
Равенство (2.22) означает, что левая часть уравнения (2.21) является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y).
Для того, чтобы уравнение (2.21) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнение равенства
|
P(x, y) |
|
Q(x, y) |
. |
|
(2.23) |
|
y |
|
|
|||
|
|
x |
|
|
||
В этом случае dU(x, y) 0 |
U(x, y) C есть общий интеграл |
|||||
уравнения (2.21). Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x, y)dy, |
(2.24) |
dU(x, y) Ux |
(x, y)dx Uy |
|||||
то из (2.22) и (2.24) следует
U P, U Q 2U P , 2U Q P(x, y) Q(x, y) , т.е.
x y x y y y x x y x
формула (2.23) справедлива. Теперь найдем функцию U(x, y).
U P(x, y) U P(x, y)dx (y), в последнем равенстве считаем
x
(y)произвольной постоянной. Найдем U .
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
U |
y |
|
|
|
|
|
|
но |
|
Q(x, y) , следовательно, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y |
y |
P(x, y)dx (y) , |
|
y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
отсюда определяем (y). Таким обра- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y |
P(x, y)dx (y) Q(x, y), |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
зом, функция U(x, y) найдена. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Пример 12. Найти общий интеграл дифференциального уравне- |
|||||||
ния (2x 3x2 y)dx (x3 |
3y2)dy 0. |
|
|||||||||
|
|
|
|
Решение. P(x, y) 2x 3x2 y; |
Q(x, y) x3 3y2 . |
||||||
|
|
|
|
Проверим выполнение равенства (2.23): |
|||||||
16
P(x, y) 3x2; Q(x, y) 3x2.
y x
Следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Далее найдем функцию U(x, y), следуя изложенному выше алгоритму.
U 2x 3x2 y U (2x 3x2 y)dx (y) U x2 x3y (y)
x
|
|
U |
x |
3 |
|
|
|
|
Так как |
U |
Q(x, y) x |
3 |
3y |
2 |
, |
получаем, что |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
y |
|
(y). |
y |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
3 |
|
|
|
|
|
3 |
3y |
2 |
|
|
|
2 |
(y) y |
3 |
C, |
|
следовательно, |
|||||
|
(y) x |
|
|
(y) 3y |
|
|
|
|
|||||||||||||||
U(x, y) x2 |
x3y y3,тогда x2 x3y y3 C общий интеграл. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
Пример 13. Найти общий интеграл уравнения |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 9xy2)xdx (4y2 6x3)ydy 0. |
|
||||||||||||
|
|
|
Решение. Проверим выполнение равенства (2.23): |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
P(x, y) (2 9xy2)x |
P(x, y) |
18x2 y. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(x, y) (4y2 6x3)y |
Q(x, y) |
18x2 y. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, данное уравнение есть |
|
уравнение в полных |
||||||||||||||||||
дифференциалах. Далее, следуя изложенному выше алгоритму, найдем функцию U(x, y).
|
U |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
9x3y2 |
|
|
|
|
|||
|
|
(2 9xy |
|
)x |
U (2 9xy |
|
)xdx |
(y) U |
x |
|
|
|
|
|
(y). |
||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Тогда |
|
|
|
6x |
3 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(x, y) (4y |
2 |
6x |
3 |
)y, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
(y). Так как |
y |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
получаем |
6x |
3 |
|
|
|
|
2 |
6x |
3 |
y |
|
|
|
|
|
3 |
(y) |
y |
4 |
. |
То- |
||||||||||||||
|
|
y (y) 4y |
|
|
(y) 4y |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
гда |
U x2 3x3y2 y4 |
x2 |
3x3y2 |
y4 |
C |
|
общий |
|
интеграл |
||||||||||||||||||||||||||
уравнения.
Найти общие интегралы дифференциальных уравнений.
2.26.eydx (xey 2y)dy 0.
2.27.(3x2 cos y)dx (xsin y 2cos y)dy.
2.28.(x2 y yex)dx (x 2y ex)dy.
2.29.(x cos y)dx (xsin y cos y)dy 0.
17