Пример 3. Является ли функция y=x2 решением уравнения

xy y 1(y )2 0?

4

Решение. Согласно определению решения дифференциального уравнения, подставим в данное уравнение y x2; y 2x. Получим

y=x2 является решением данного дифференциального уравнения. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения

называется интегрированием дифференциального уравнения.

При интегрировании дифференциального уравнения первого порядка общее решение содержит одну произвольную постоянную. Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка содержит n произвольных констант.

Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка имеет вид

оно удовлетворяет уравнению (1.1) при любом наборе C1,C2,…..,Cn. Если решение уравнения (1.1) получено в неявном виде

то решение (1.6) называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Вопросы к разделу «Основные понятия и определения»

1.Какое уравнение называют обыкновенным дифференциальным уравнением?

2.Что называют порядком дифференциального уравнения?

3.Что называют решением дифференциального уравнения?

4.Укажите вид общего решения, общего интеграла дифференциального уравнения.

2.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

2.1.Общие вопросы

Вобщем случае дифференциальное уравнение первого порядка, согласно (1.1), имеет вид

5

который называют общим видом дифференциального уравнения первого порядка.

Если уравнение (2.1) можно разрешить относительно y , то оно

и называется уравнением, разрешенным относительно производной.

Уравнения (2.1) и (2.2) могут быть преобразованы к виду

Такую форму записи дифференциального уравнения назовем симметричной.

Согласно (1.5), общее решение дифференциального уравнения

есть общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка. С геометрической точки зрения общее решение (2.4) [или общий интеграл (2.5)] определяют на плоскости множество интегральных

кривых (однопараметрическое семейство кривых).

Пример 1. Пусть дифференциальное уравнение задано в виде

(2.2): y 3x y; перейдем к виду (2.3): xy

dy 3x y (3x y)dx xydy. dx xy

Нахождение решения y (x) дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего дополнительному условию

(2.6)

где x0 , y0 заданные числа, называется задачей Коши, а условие (2.6)

называется начальным условием или условием Коши.

Часто начальное условие пишут в виде y|x=x 0 =y0.

Решение задачи Коши называют частным решением дифференциального уравнения.

Геометрически задача Коши формулируется следующим образом: среди всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения выделить ту, которая проходит через заданную точку

(x0,y0).

6

Сформулируем теорему Коши о существовании и единственности решения задачи Коши. Если в уравненииy f (x, y) функция

f(x,y) и ее частная производная f (x, y) непрерывны в некоторой

y

замкнутой области D на плоскости XOY, содержащей точку (x0,y0), то существует единственное решение y (x) этого уравнения, удовлетворяющее условию y(x0) y0, т.е. через точку (x0, y0)проходит единственная интегральная кривая.

Если условия теоремы Коши не выполняются, то могут возникать особые решения.

Решение дифференциального уравнения, не получающееся из общего интеграла ни при каком значении произвольной постоянной

C, называется особым решением.

Через каждую точку кривой, изображающей особое решение, проходят по крайней мере две интегральные кривые, т. е. в каждой точке особого решения нарушается единственность решения. Особое решение состоит из особых точек.

Заметим, что часто, интегрируя дифференциальное уравнение, ограничиваются получением общего интеграла, не обращая внимания на область определения D. Тогда есть возможность потерять решения, не содержащиеся в общем интеграле, т.е. некоторые интегральные кривые могут выпасть из рассмотрения в ходе решения.

Далее рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее часто встречающиеся в приложениях. Отметим, что решение дифференциального уравнения надо начинать

сопределения его типа.

2.2.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Пусть дифференциальное уравнение приведено к виду (2.3):

P(x, y)dx Q(x, y)dy 0.

Если функции P(x, y) и Q(x, y) могут быть разложены на множители (иногда после преобразований)

P(x, y) P1(x)P2(y),Q(x, y) Q1(x)Q2(y),

то уравнение (2.3) называется уравнением с разделяющимися переменными и принимает вид

7

Разделим обе части уравнения (2.7) на Q1(x)P2(y) 0, получим уравнение с разделенными переменными

Интегрируем (2.8) и получаем общий интеграл:

(x C)2 R2 y2. Так как делили обе части уравнения на y 0 и на

R2 y2 0,выясним, не потеряны ли при этом решения. Непосредственной проверкой легко убедиться, что функция y 0 не является решением данного дифференциального уравнения, а функции y R являются решениями этого уравнения, однако получить их из общего интеграла нельзя ни при каком значении константы С, т. е. это особые решения. Почему они возникли? Надо проверить выполнение усло-

нарушается непрерывность производной при y R; y 0 (см. теорему Коши в подразделе 2.3).

8

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение x2 y2 y 1 y.

Решение. Приведем уравнение к виду (2.3): x2 y2 dy y 1 dx

x2 y2dy (y 1)dx. Уравнение имеет вид (2.7), т. е. является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получаем

1 C. x

Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Делили обе части уравнения на x2(y 1),поэтому могли потерять решения x=0; y=1. Непосредственной подстановкой в данное уравнение этих функций выясняем, что y=1 есть решение дифференциального уравнения, причем из общего интеграла его нельзя получить ни при каком значении С; функция x=0 не является решением.

Пример 4. Найти частное решение дифференциального уравне-

ния y y 1 0 при условии y(0) 1.

грал. Делили на (1 y), поэтому проверяем, является ли функция y=1 решением. Подставив в данное уравнение y=1, убеждаемся, что y=1 тоже решение.

Подставим начальное условие в общий интеграл:1 С(1 0,5)e0, откуда следует, что С =2; подставляя найденное значение константы в общий интеграл, получаем частный интеграл (решение задачи Ко-

ши):1 2(1 y)ex.

Решить дифференциальные уравнения и найти частное решение (частный интеграл), если указаны начальные условия.

9