УДК 517.9 ББК 22.161.61 И 85

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, проф. А.И. Задорин (Омский филиал Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН);

канд. физ.-мат. наук, доц. В.В. Благонравов (ФГБОУ ВПО ОмГУ)

Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве учебного пособия.

Исакова А.И.

И 85 Пособие для практических занятий и контроля самостоятельной работы студентов по разделу «Дифференциальные уравнения»: учебное по-

собие / А.И. Исакова. – Омск: СибАДИ, 2014. – 96 с.

Учебное пособие является руководством по изучению раздела «Дифференциальные уравнения», входящего в курс высшей математики технического вуза. Каждый раздел содержит необходимый теоретический материал, многочисленные примеры, иллюстрирующие методы решения дифференциальных уравнений, задачи для аудиторной работы с ответами, контрольные вопросы. Приведены индивидуальные задания. В пятом разделе рассмотрены многочисленные примеры применения дифференциальных уравнений для решения задач изобластифизики,теоретическоймеханики,строительноймеханики, экономики.

Предназначается для студентов, обучающихся по инженерным направлениям и специальностям в технических вузах.

Ил. 6. Библиогр.: 5 назв.

© ФГБОУ ВПО «СибАДИ», 2014

ВВЕДЕНИЕ

Математическое образование современного инженера немыслимо без овладения таким разделом курса высшей математики, как «Дифференциальные уравнения». Этот раздел востребован при изучении физики, теоретической механики, сопромата, строительной механики, а также при изучении специальных дисциплин, соответствующих будущей профессиональной деятельности инженера.

Предлагаемое пособие в сжатой форме содержит необходимый теоретический материал. Приведены примеры с подробным решением дифференциальных уравнений, иллюстрирующие применение методов их решения. Достаточное количество задач, снабженных ответами, для аудиторной работы позволит студенту приобрести необходимые навыки решения дифференциальных уравнений, а преподавателю

– проконтролировать степень усвоения материала на занятии. В пособии предложены варианты индивидуальных заданий.

Пособие содержит примеры применения дифференциальных уравнений для решения прикладных задач, которые по своей физической сути доступны для восприятия студентами до изучения последующих специальных дисциплин.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Под уравнением в математике понимают равенство, из которого надо найти неизвестную величину (число) или функцию.

Если неизвестная функция входит в уравнение под знаком производной, то уравнение будет дифференциальным; если неизвестная функция зависит только от одной переменной, то такое дифференциальное уравнение называют обыкновенным.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную величину x, ис-

вертого порядка.

3

Решением дифференциального уравнения (1.1) называется вся-

кая функция y одного аргумента x, x (a,b), y дифференцируема n раз, которая при подстановке ее в это уравнение обращает это уравнение в тождество.

График решения называется интегральной кривой данного уравнения.

С точки зрения формально-математической задача решения (интегрирования) дифференциальных уравнений есть задача, обратная дифференцированию. Задача дифференциального исчисления: по заданной функции y=f(x) найти ее производную y f (x). Простейшая обратная задача уже встречалась ранее в интегральном исчислении: по заданной функции f(x) найти ее первообразную F(x), т.е. такую функцию F(x), что F (x) f (x). Обозначим первообразную через y, т.е. F(x)=y(x). Тогда эта задача отыскания первообразной может быть записана в форме уравнения

Формула (1.4) есть решение дифференциального уравнения (1.2) [или, что то же самое, уравнения (1.3)]. Из (1.4) следует, что дифференциальное уравнение (1.2) имеет бесчисленное множество решений, каждое из которых получается, если произвольной постоянной C придавать конкретные значения. Решение (1.4) называют общим решением уравнения (1.2). Каждое решение, которое получается из общего, если придать C определенное значение, называют частным решением.

Пример 2. Пусть y 2x; тогда, учитывая, что y dy , имеем dx

dy 2x dy 2xdx y 2xdx C y x2 C общее решение dx

данного дифференциального уравнения. С геометрической точки зрения полученное общее решение представляет собой семейство парабол. При C=0, например, получаем частное решение y=x2.

4