6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

′

′′

(n)

) =

0,

(6.1)

F(x, y, y , y

,...y

где

n – наивысший порядок производной, определяет

порядок

уравнения.

Решением ОДУ называется функция y(x), которая после ее

подстановки в уравнение (6.1) обращает его в тождество.

Общее решение ОДУ имеет вид

И

(6.2)

y = y(x,C1,C2 ,...Cn )

где C1, C2, …, Cn – постоянные интегрирования.

Частное

решение получается

из общего при конкретных

Д

значениях Ci, i =1,n . Эти значения определяются из n дополнительных

условий. В

качестве

таких условий

могут быть заданы значения

А

функции и ее про зводных при некоторых значениях аргумента x.

В зависимости от того, как заданы эти дополнительные условия,

выделяют 2 типа задач:

б

•

Задача Коши. Все условия заданы в одной,

начальной точке,

и

поэтому они называются начальными условиями.

•

Краевая задача. Условия заданы

в более чем одной точке,

обычно в начальнойСи конечной. Условия в этом случае называются

краевыми или граничными. Такая задача может возникнуть только

при решении ОДУ с порядком выше первого.

Методы их решения подразделяются на два класса:

1) аналитические методы, в которых решение получается в виде

аналитических функций;

2) численные

(приближенные)

методы,

где

искомые

Найти функцию y(x), удовлетворяющую уравнению

y’ = f(x,y)

(6.3)

Таблица 6.1

x

Y

x0

y0

x1

y1

…

…

xn

yn

И

Если на плоскости построить точки с координатами из таблицы и

соединить их отрезками, то

Д

получится так называемая ломаная

А

б

и

С

И

б

Д

Рис. 6.2. Геометрический смысл метода Эйлера

и

Заменим в уравнении (6.1) Аy’ в точке xi её приближенной оценкой

– отношением

пр ращен й (это

следует из

определения

производной):

yi′ ≈ ∆yi =

yi+1 − yi

=

yi+1 − yi

.

xi+1 − xi

∆xi

h

Тогда получаем:

yi+1 − yi

≈ f (Сx , y ).

h

i i

Отсюда формула Эйлера:

где i =

yi+1 ≈ yi + h f (xi , yi ) ,

(6.4)

0, 1, …., n-

1 – номер узла.

Зная y0

в точке x0 (начальное условие) можно найти y1, затем,

используя уже известные значения x1

и y1, вычислить x2 и y2 и так

yi+1 = yi

+ h (c0 + 2с1 + 2с2 + с3 ) ,

(6.5)

6

где i = 0, 1, …., n-1 –

номер узла, у0 = у(х0) – начальное условие,

c

0

= f (x

, y

), c

=

f (x

+ h

, y

+ h

c0 ),

i

i

1

i

2

i

2

И

c

= f (x

+ h

, y

+h c1 ), c

= f (x

+h, y

+h c

).

2

i

2

i

2

3

i

i

2

′

Д

7. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений

′

А

Дана система дифференциальных уравнений:

y′

= F

(x,

y , y

,...., y

),

1

1

1

2

n

б

y2

= F2 (x, y1, y2 ,...., yn ),

...

и

yn

= Fn (x, y1, y2 ,...., yn ).

Рассмотрим задачу Коши для данной системы. Пусть известны

С

x0

= a, y1(x0) = y1(0), y2(x0) = y2(0), …, yn(x0) =

начальные условия при

= yn(0). Требуется найти

y1(x),

y2(x),…,

yn(x), проходящие через

заданные точки: (x0,y1(0)), (x0,y2(0)), …, (x0,yn(0)).

Методы решения одного дифференциального уравнения можно

обобщить и на их системы.

Метод Эйлера:

y j(i+1) = y j(i) + h Fj (xi , y1(i) , y2(i) ,..., yn(i) ) .

Метод Рунге–Кутта для системы из двух уравнений с двумя

неизвестными:

y′

= f1 (x, y, z),

z′ = f2 (x, y, z).