становится одномерным, зависящим только от х2. То же самое можно проделать и для всех остальных значений х1. В результате мы будем иметь набор значений х1 и х2, для которых f1(x1,x2) = 0. Далее, для того же самого набора значений х1, используя подпрограмму Подбор параметра в Excel, найдем значения х2, для которых f2(x1,x2) = 0. Если теперь построить с помощью Excel графики изменения х2 в зависимости от х1 для двух этих случаев, то на пересечении этих графиков можно приближенно определить значения начальных приближений по х1 и х2. Если графики не пересекаются, следует задать новый диапазон изменения х1 и повторить процедуру сначала.

4.2.2. Метод Ньютона

Пусть задана система нелинейных уравненийИ2-го порядка (4.2), причем левые части уравнений известны в виде формул. Заданы также числовые значения начальныхДприближений х10 и х20, а также

точность вычислений значений корней ε. Функции должны быть дифференцируемы и формулы частных производных тоже должны быть известны.

Исходную систему можно записать в матричном виде

F(X) = 0,

Ji-1 – матрица, обратная матрице J на i-й итерации,

J – матрица Якоби, т.е. матрица первых частных производных:

Таким образом на каждой итерации вычисляется вектор Р, его

компоненты сравниваются с заданной погрешностью ε по формуле

причем когда D<=ε, вычисления прекращаются и вектор Хi считается решением. В противном случае вычисляются новые значения Х и выполняется следующая итерация.

21

Достаточным условием сходимости метода служит неособенность матрицы Якоби, т.е. ее определитель (якобиан) не должен быть равным нулю на любой итерации.

4.2.3. Метод итераций

Пусть задана система нелинейных уравнений 2-го порядка (4.2), причем левые части уравнений известны в виде формул. Заданы также числовые значения начальных приближений х10 и х20, а также точность вычислений значений корней ε.

Для применения итераций исходная система приводится к виду

5. Метод наименьших квадратов

Пусть в результате эксперимента получена таблица некоторой зависимости F(x)

22

Требуется найти функцию вида y=f(x), которая в точках x1, x2, …, xn принимает значения, наиболее близкие к табличным значениям у1,

у2,…, уп.

Такую задачу называют задачей аппроксимации, формулу называют эмпирической формулой или уравнением регрессии у на х, а саму функцию называют приближающей функцией.

На практике эту приближающую функцию F(x) находят следующим образом. По таблице строят точечный график функции F(x), по которому устанавливают вид приближающей функции из числа известных.

Если вид приближающей функции установлен, то задача сводится к отысканию значений параметров. Их можно вычислить по методу наименьших квадратов, суть которого заключается в следующем.

Пусть требуется найти приближающую функцию, например с двумя параметрами у=F(х, а, b).

i=1 и

Решив эту систему из двух уравнений с двумя неизвестными, получим значения параметров а, b, следовательно, получим конкретный вид приближающей функции F(x, а, b).

5.1. Линейная регрессия

Пусть требуется найти приближающую функцию в виде линейной функции F(x, a, b) = ax+b.

Тогда система (5.1) примет вид

∑n (yi −axi −b) xi = 0;

i=n1

∑(yi −axi −b) 1 = 0.i=1

23

После несложных преобразований её можно привести к виду

Решив систему, получим значения параметров а и b:

зависимости между зависимой переменной х и независимой переменной у.

Коэффициент корреляции принимает значения в интервале от -1

до + 1.

показательной функции y=b ax.

Предполагая, что в исходной таблице значения аргумента и значения функции положительны, прологарифмируем равенство. С помощью математических тождественных преобразований приведем

модель к линейному виду. lny=lnb+ lnax;

lny=lnb+ x lna.

Делаем замену:

Y=lny;

24