«Вычислительные алгоритмы в инженерных задачах». Использование ЭВМ является одним из основных факторов для

практического овладения вычислительными алгоритмами решения инженерных задач с применением численных методов.

Указания содержат теоретический материал, который охватывает практически все основные разделы курса: методы решения систем линейных уравнений, методы решения нелинейных уравнений и систем; интерполяция и аппроксимация функций,

3

1. Математическое моделирование

В настоящее время в науке и инженерной практике широко используется метод математического моделирования.

Впервые математические модели были использованы для решения практической задачи в 30-х годах в Великобритании при создании системы противовоздушной обороны. Для разработки данной системы были привлечены ученые различных специальностей. Система создавалась в условиях неопределенности относительно возможных действий противника, поэтому исследования проводились на адекватных математических моделях.

Математическая модель – это знаковая модель исследуемой системы, составленная на языке математики.

Математическая модель представляет собой совокупность математических выражений, отражающих существенные для исследования свойства моделируемого объекта.

Математическое моделирование – это процесс построения и

−практическСм отсутств ем ограничений на применение, так как математическое моделирование пригодно для исследования любых объектов;

−высокой адаптивностью, т. е. возможностью внесения требуемых изменений в модель при необходимости;

−меньшими материальными и временными затратами на моделирование;

−возможностью проведения исследований на критических режимах, которые приводят к разрушению материальных моделей.

Можно выделить следующие основные этапы построения математической модели:

1. Определение цели, т.e. чего хотят добиться, решая поставленную задачу.и

4

2. Определение пapaметров модели, т.е. заранее известных фиксированных факторов, на значения которых исследователь не влияет.

3. Формирование управляющих переменных, изменяя значение которых можно приближаться к поставленной цели. Значения управляющих переменных являются решениями задачи.

4. Определение области допустимых решений, т.е. тех ограничений, которым должны удовлетворять управляющие переменные.

5. Выявление неизвестных факторов, т.е. величин, которые могут изменяться случайным или неопределенным образом.

6. Выражение цели через управляющие переменные, параметры и неизвестные факторы, т.e. формирование целевой функции, называемой также критерием эффективности или критерием оптимальности задачи.

Математическое моделирование позволило исследовать на ЭВМ очень сложные процессы, такие, например, как глобальные

задачи к конкретным машинным операциям. Одну и ту же задачу можно решить различными методами, при этом в рамках каждого метода можно составить различные алгоритмы.

4. Разработка алгоритма. Составляется алгоритм решения задачи согласно действиям, задаваемым выбранным методом решения.

5. Составление программы. Алгоритм решения задачи переводится на конкретный язык программирования.

6. Отладка программы. Отладка заключается в поиске и устранении синтаксических и логических ошибок в программе.

5

7. Решение задачи на ЭВМ и анализ результатов. При этом обычно выполняется многократное решение задачи на ЭВМ для различных наборов исходных данных. Получаемые результаты интерпретируются и анализируются специалистом или пользователем, поставившим задачу.

Существуют разные виды численных методов:

1.Прямые – решение получают за конечное число арифметических действий.

2.Итерационные – точное решение может быть получено теоретически в виде предела бесконечной сходящейся последовательности вычислений.

3.Вероятностные – методы случайного поиска решения

(угадывания).

Все виды численных методов позволяютИполучить только приближенное решение задачи, т.е. численное решение всегда содержит погрешность. Д

Точность решения задачи оценивается абсолютной или

относительной погрешностью. Абсолютная погрешность А∆бx* − x

ВозникаетСв результате допущений, принятых при получении

модели. Реальность всегда сложнее любой модели, поэтому этот источник погрешности всегда влияет на численное решение. Величина этой погрешности определяется сравнением экспериментальных данных с результатами расчетов по модели (оценивается адекватность модели объекту).

2.Погрешность исходных данных. Зависит от точности измерения параметров, используемых в модели. Любые измерения приближенны, поэтому и этот источник всегда влияет на решение.

3.Погрешность метода решения задачи. Возникает в результате применения итерационного или вероятностного метода решения. Эти

методы позволяют получить точное решение только в результате

6

бесконечной последовательности действий. Поэтому для получения приближенного решения бесконечный процесс прерывают при достижении требуемой точности решения.

4. Погрешность округления. Возникает в результате проведения вычислений с конечным числом значащих цифр.

Погрешность элементарных арифметических действий изучается в теории погрешности. Учесть погрешность округления при большом количестве арифметических действий практически невозможно.

Есть случайные и систематические источники погрешности округления.

Случайные источники обычно компенсируют друг друга. Систематические источники вызывают накопление погрешности

неустранимой Спогрешности. Увеличение погрешности метода снижает точность, уменьшение – увеличивает время решения задачи.

2. Погрешность округления должна быть значительно меньше (на два порядка) погрешности метода и неустранимой погрешности.

Для оценки погрешности решения на практике можно использовать следующие приемы:

1. Решить задачу различными численными методами и результаты сравнить.

2. Незначительно изменить исходные данные и повторно решить задачу. Результаты сравнить. Если они различаются сильно, задача или метод ее решения является неустойчивым – выбрать другой.

7