3-й семестр / Лекции / 08 - презентация
.pdf
Условиям теоремы Дирихле функция удовлетворяет. Используя условие четности функции, получим коэффициенты разложения ее в ряд Фурье:
|
|
|
|
|
2 |
|
|
− |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
0 = |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
= |
|
|
( |
|
|
− |
|
|
)| |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
− |
=cos |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
∫0 |
2 |
|
|
cos = (=− |
1 |
= |
1 |
sin) = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
− |
|
1 |
|
|
|
+ ∫0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
( |
|
sin | |
|
sin ) = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
= |
(− |
cos | ) = |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
= |
( |
) |
= |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
1 − cos |
|
2 |
|
1 − (−1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0, = 2 = { 22 , = 2 + 1. Таким образом,
( ) = −2 = 4 + 2 (cos12 + cos332 + cos552
+ ), 0 < < .
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
0+0 |
|
|
При этом 0 |
= |
|
|
|
= |
± |
|
= |
= 0. |
|||||
|
|
|
, |
|
|
|||||||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|||||||||
( |
) |
|
|
2 2 |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
S(x) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2 :
( |
|
) |
= |
| |
|
| |
|
− < ≤ . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Функция – четная, следовательно, |
|
= 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0 |
= |
|
|
|
|
= |
|
∙ |
|
| |
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
|
2 |
|
|
|
|
∙ cos = ( |
= =cos |
) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= = |
|
sin |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∫0 sin ) = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= |
( |
sin | |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
((−1) − 1) = |
|
|
|||||||||||||||||
= |
( |
cos |0 ) = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= {− |
4 |
, = 2 − 1 = 1,2, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
4 ∑∞ |
cos(2 −1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
2 |
− |
|
|
|
|
=1 |
|
(2 −1)2 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Внутри интервала − < ≤ точек разрыва нет, поэтому сумма ряда Фурье совпадает с ( ) = | |.
На границах интервала:
(±) = +2 = .
Таким образом, сумма ряда Фурье полностью совпадает с рассматриваемой периодической функцией.