3-й семестр / Лекции / 11 - презентация
.pdf
Лекция 11
2.4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши-Римана
Пусть однозначная функция = ( ) определена в некоторой области комплексного переменного . Пусть точки и + принадлежат области .
Обозначим
= ( + ) − ( ), = + .
Определение 13. Однозначная функция = ( ) называется дифференцируемой в точке , если отношение имеет
конечный предел при , стремящемся к нулю. Этот предел
называется производной функции |
( |
) |
в данной точке и |
||||
|
|
||||||
обозначается |
( |
|
) |
или |
|
′, |
т.е. |
′ |
|
|
|||||
′ = ′( ) = .
→0
Замечание. Правила дифференцирования остаются справедливыми и для функции комплексной переменной.
Определение 14. Однозначная функция ( ) называется аналитической в точке 0, если она дифференцируема в самой точке 0 и в некоторой окрестности этой точки. Функция ( ) называется аналитической в области D, если она дифференцируема в любой точке области.
Теорема 2. Для того чтобы функция ( ) = (, ) + (, )
была дифференцируема в точке = + , необходимо и достаточно, чтобы функции (, ), (, ) были дифференцируемы в точке (, ) и чтобы в этой точке имели место равенства
|
|
= |
|
|
, |
|
= − |
|
, называемые |
условиями |
Коши-Римана. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеют |
|||||||
При этом формулы для производной функции ′ |
) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|||
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
′ |
= |
|
|
+ |
|
= |
|
+ |
|
= |
|
− |
|
= |
|
− |
|
. |
|
|
||||||||
Замечание. Условия Коши-Римана (необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции комплексного переменного) позволяют решать вопрос об аналитичности функции в области.
Примеры. Проверить аналитичность функции.
1). ( ) = 2.
Выделим действительную u(x,y) и мнимую v(x,y) части функции, подставив вместо = + :
( ) |
( |
|
|
|
)2 |
= |
( |
|
2 |
− |
2) |
+ 2 , |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
( |
) |
|
|
( |
|
) |
= |
2 |
− |
2 |
( ) |
|
( |
|
) |
= 2 . |
||||||||
т. е. Re |
= , |
|
|
|
|
, Im |
= , |
|
|||||||||||||||||
Функции |
, , |
, |
) |
дифференцируемы |
во всех точках |
||||||||||||||||||||
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
, . Проверим условия Коши-Римана: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 , |
|
|
= 2 , |
|
= −2 , |
|
= 2 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Условия выполнены для любых , , следовательно, ( ) = 2 аналитична во всей комплексной плоскости.
2) ( ) = 3 + 2.
Выделим действительную и мнимую части функции, подставим вместо = − :
( |
|
) |
|
|
|
( |
|
|
|
) |
+ 2 = |
( |
|
) |
||||||
|
|
= 3 − |
|
|
3 + 2 − 3 , |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
( |
|
|
) |
= 3 + 2, |
||||||
т.е. Re |
= , |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
( |
|
|
) |
|
( |
) |
= −3 . |
|
|||||||||
Im |
|
= , |
|
|
||||||||||||||||
Функции , , |
, |
) |
дифференцируемы во всех точках |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
( |
|
|
|
|
|
|||||
, , проверим выполнение условий Коши-Римана: |
||||||||||||||||||||
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
|
(3 +2) |
|
= 3, |
|
|
= |
(−3 ) |
= −3, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= |
|
(3 +2) |
|
= 0, |
|
|
= |
(−3 ) |
= 0, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
так что ≠ , т.е. первое условие Коши-Римана не выполнено ни в одной точке комплексной плоскости.
Значит функция ( ) = 3 + 2 нигде не дифференцируема, а, следовательно, не является аналитической.
3). ( ) = .
( ) = + = ( + ) = + Re ( ) = (, ) = , Im ( ) = (, ) =
(, ), (, ) дифференцируемы как функции действительных переменных при любых , (имеют непрерывные частные производные).
= , = , = − , =
Условия Коши-Римана выполнены для любых x, y, следовательно, ( ) аналитична во всей комплексной плоскости.
′( ) = + = + = ( + ) = .
4). ( ) = ∙( ) = ( + ) ∙ ( − ) = 2 + 2
Re ( ) = (, ) = 2 + 2 Im ( ) = (, ) = 0
= 2, = 0, = 2 , = 0 . Условия Коши-Римана выполнены только в точке (0;0), функция нигде не аналитична.
Свойства аналитических функций.
Если 1( ), 2( ) аналитические функции в области , то
1) 1( ) ± 2( ), |
|
1( ) 2( ) – также аналитические в области |
|||||||||||||||||||
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
1( ) |
|
аналитична во всех точках области , где 2( ) ≠ 0. |
||||||||||||||||||
2( ) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
При этом имеют место формулы: |
|||||||||||||||||||||
[ |
1 |
( ) |
|
|
|
( )]′ |
|
|
′( ) |
|
|
|
′( ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
± 2 |
|
= 1 |
± 2 , |
||||||||||||
[ |
|
|
|
( |
|
)]′ |
|
′( |
) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
= 1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
( ) |
′ |
|
|
′( ) ( )− ′( ) ( ) |
|
|
||||||||||||
[ |
1 |
|
|
] |
|
= |
|
1 |
2 |
|
|
2 |
1 |
|
|
, |
|
||||
|
( ) |
|
|
|
2( ) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
[ |
1 |
( ) |
2 |
( )]′ |
|
|
′( ) |
|
( ) |
( ) ′( ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
2 |
|
|
+ 1 2 . |
||||||||||
Справедлива также таблица производных:
( )′ = −1
( )′ = (Ln )′ = 1 ( )′ = − ( )′ =
1 ( )′ = 2
1 ( )′ = − 2
( )′ = ( )′ =
Определение 15. Функция (, ) называется гармонической в области , если она имеет в этой области непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= 0. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||
Теорема 3. Если функция |
= + аналитична в некоторой |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
, |
|
и мнимая часть |
|
области , то ее действительная часть |
) |
||||||||||||||||||
, |
|
являются |
гармоническими в |
( |
области функ- |
||||||||||||||
) |
этой |
|
|||||||||||||||||
( |
т. е. |
, , |
, |
|
удовлетворяют уравнению |
||||||||||||||
циями, |
) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
) |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Лапласа: |
2 |
|
+ |
2 |
= 0, |
2 |
|
+ |
2 |
= 0. |
|
|
|
||||||
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||