3-й семестр / Лекции / 08 - презентация

Так как рассматриваемая функция является непрерывной всюду, то сумма ее тригонометрического ряда Фурье равна данной функции при всех :

Полученное разложение можно использовать для нахождения суммы ряда:

полагая в этом равенстве = 0, получим:

Выпишем для этого разложения равенство Парсеваля.

Вычислим интеграл в левой части:

Равенство Парсеваля принимает вид:

Итак, с помощью разложений функций в тригонометрические ряды Фурье можно получать значения сумм некоторых числовых рядов.

2). Разложение по синусам.

Доопределим функцию ( ) на промежутке [−3,0) нечетным образом, изменим значение функции при = 0, полагая (0) = 0 и продолжим ее на всю числовую ось как периодическую с периодом, равным 6:

( ) = − (− ) = −(3 − (− )) = −3 − , [−3,0).

Согласно теореме Дирихле сумма тригонометрического ряда Фурье такой функции будет равна функции при всех . Вычислим коэффициенты Фурье этой функции:

= 0, ( = 0,1,2,3, … ),= 23 ∫03(3 − )sin 3 =

Полагая в этой формуле = 32, получим:

32 = 6 ∑∞=1 1 sin 2 .

полученный результат в виде: 4 = ∑∞=0 2 1+1 (−1)

Выписывая равенство Парсеваля для данного разложения, получим значение суммы еще одного числового ряда:

23 ∫03(3 − )2 = ∑∞=1 ( 6 )2

6 = 362 ∑∞=1 12, откуда ∑∞=1 12 = 62.

( ) = , (− ; ), = 2 .

Решение: Условиям Дирихле функция удовлетворяет.

Эта функция – нечетная, следовательно = 0, ( = 0,1,2,3, … ),

График суммы ряда Фурье изображен на рисунке:

Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию ( ) = на интервале (−4; 4).

Решение. Данная функция нечетная, удовлетворяет условиям Дирихле на данном интервале. Функция не является периодической. Продолжим ее на всю числовую ось как периодическую с периодом, равным 8, и разложим полученную периодическую функцию в ряд Фурье.

Ряд Фурье будет содержать только синусы:

т.е. сумма ряда для всех из этого интервала совпадает с

Решение. Продолжим функцию на отрезок (− ; 0) четным

образом:

− , 0 < <

( ) = { +2 , − < < 0 с периодом 2 .

2