3-й семестр / Лекции / 08 - презентация

Замечание. Теорема остается справедливой в случае, когда функция ( ) определена на всей числовой оси, является периодической с периодом 2 и на отрезке [− , ] кусочнодифференцируема.

Точнее, в этом случае тригонометрический ряд Фурье этой

функции.

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию ( ) периода 2, заданную на отрезке [− , ] следующим образом:

( ) = {, − ≤ < 0.− , 0 ≤ <

Обосновать сходимость ряда Фурье. Нарисовать график суммы ряда Фурье.

График функции ( ) выглядит так:

Решение. Вычислим коэффициенты Фурье этой функции:

= 1 (− + (−1) + ) = (−1) .

Тригонометрический ряд Фурье ( ), соответствующий данной функции, имеет вид:

( ) → 34 + 2 (cos12 + cos332 + cos552 + ) − − (sin − sin22 + sin33 − ).

Поскольку данная функция непрерывна во всех внутренних точках отрезка [− , ], то согласно теореме Дирихле для всех

(− , ) имеет место равенство: ( ) = ( ).

Например, полагая = 0, получим:

= 34 + 2 (1 + 312 + 512 + )

или

На концах отрезка [− , ] сумма ряда Фурье имеет следующее значение:

(± ) = 12 ( (− + 0) + ( − 0)) = 12 .

На рисунке показаны графики функции ( ) и суммы ( ) ее ряда Фурье:

7.3. Сходимость в среднем ряда Фурье

Пусть функция ( )определена на отрезке [ , ], и ставится задача о наилучшем приближении этой функции с помощью другой функции ( ) из определенного класса функций, определенных на этом же отрезке. Если требуется обеспечить близость функций во всех точках отрезка, то в качестве критерия близости рассматривается величина, равная

[,]| ( ) − ( )|

и функция ( ) выбирается так, чтобы эта величина принимала наименьшее возможное значение. В этом случае обеспечивается равномерная на всем отрезке близость функций. Если требуется обеспечить близость функций на отрезке в среднем, то в качестве критерия близости рассматривают величину, равную

∫ ( ( ) − ( ))2 .

Для достижения наилучшего приближения в среднем требуется минимизировать эту величину.

Пусть функция ( ) кусочно-дифференцируема на отрезке [− , ]. Тогда согласно теореме Дирихле тригонометрический ряд Фурье этой функции во всех точках непрерывности сходится к этой функции. Можно показать, что величина

= ∫ ( ( ) − ( ))2 ,

характеризующая отклонение в среднем частичной суммы ( ) тригонометрического ряда Фурье от функции ( ) на отрезке [− , ], стремится к нулю при → ∞:

lim→∞ = 0.

Это означает, что тригонометрический ряд Фурье сходится в среднем на отрезке [− , ] к своей сумме.

Кэффициенты Фурье функции ( ) удовлетворяют равенству:

202 + ∑∞=1( 2 + 2) = 1 ∫− 2( ) ,

которое называется равенством Парсеваля и является аналогом теоремы Пифагора в бесконечно-мерном пространстве функций, кусочно-дифференцируемых на отрезке [− , ].

Действительно, если считать,

что квадрат “длины функции” в этом пространстве равен

∫− 2( ) ,

что основная тригонометрическая система функций является базисом этого пространства, а ряд Фурье – разложением функции по этому базису, то

согласно равенству Парсеваля квадрат “длины функции” равен сумме квадратов ее координат.

В частном случае, когда функция ( ) непрерывна на отрезке [− , ] и имеет кусочно-непрерывную производную на этом отрезке, то ее тригонометрический ряд Фурье сходится во всех точках этого отрезка к функции ( ), причем равномерно.

7.4. Представление рядом Фурье функции произвольного периода

Пусть функция ( ) определена и кусочно-дифференцируема на отрезке [− , ]

или ( ) определена на всей числовой оси, периодична с периодом 2 и кусочно-дифференцируема на отрезке [− , ].

Сделав замену переменной = , = , получим:

( ) = ( ) = ( ).