3-й семестр / Лекции / 06 - презентация

Лекция 6

5. Степенные ряды

5.1. Определение. Теорема Абеля

Определение 1. Степенным рядом называется

функциональный ряд вида: ∑∞=0 = 0 + 1 + 2 2 + . Рассматриваются также степенные ряды более общего вида:

∑∞=0 ( − 0) = 0 + 1( − 0) + 2( − 0)2 + ,

которые с помощью замены ( − 0) на новую переменную сводятся к рядам вида ∑∞=0 , изучением которых можно ограничиться.

Выясним, какой вид имеет область сходимости степенного ряда.

Теорема 1 (Абеля).

Если степенной ряд ∑∞=0 сходится в некоторой точке0 ≠ 0, то он абсолютно сходится в любой точке x, такой что

| | < | 0|.

Доказательство. Из сходимости ряда ∑∞=0 0 следует, что его общий член стремится к нулю, а, значит, ограничен, т.е. существует положительное число M такое, что:

| 0 | ≤ ( = 0,1,2, … ).

Возьмем произвольное , для которого | | < | 0| и рассмотрим

ряд ∑∞=0| |. Оценим его общий член:

| | = | 0 ∙ ( 0) | = | 0 | ∙ | 0| ≤ ∙ ,

где = | | < 1.

0

Общий член рассматриваемого ряда меньше, чем соответствующие члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Значит, степенной ряд сходится абсолютно в точке. Теорема доказана.

5.2. Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Значит, данный ряд сходится только в одной точке 0 = 0.

Предположим, что для степенного ряда существуют отличные от нуля значения , при которых он сходится. Если множество этих значений не ограничено, то согласно теореме Абеля ряд сходится всюду, причем абсолютно.

Пусть множество значений , при которых степенной ряд сходится, ограничено, и положительное число – точная верхняя грань этого множества. Если | | < , то найдется значение 0 такое, что | | < | 0| ≤ , при котором ряд сходится. Тогда согласно теореме Абеля ряд сходится абсолютно в точке . Итак, степенной ряд сходится абсолютно в интервале (− , ) и расходится вне этого интервала. На концах интервала, т.е. при= ± может иметь место как сходимость, так и расходимость ряда.

Определение 2. Интервал (− , ) называется интервалом сходимости степенного ряда, а число – радиусом сходимости.

Если степенной ряд сходится на всей числовой оси, то его радиус сходимости = ∞, а если ряд сходится только в одной точке

= 0, то = 0.

Замечание 1. Степенной ряд вида ∑∞=0 ( − 0) сходится или в интервале (0 − , 0 + ) с центром в точке 0, или на всей числовой оси, или только в точке = 0.

Замечание 2. Интервал сходимости степенного ряда может быть найден с помощью признаков Даламбера или Коши. Для установления сходимости или расходимости на концах интервала требуется дополнительное исследование с помощью других теорем.

Пример 1.

Не выполняется необходимое условие сходимости, ряд расходится.

При = −2 получим числовой ряд ∑∞=0(−1) ( + 1). Не выполняется необходимое условие сходимости, ряд расходится. Ответ: область сходимости данного ряда (−2,2), = 2 .

Пример 2.

Интервал сходимости определяется из неравенства:

| +13 | < 1 | + 1| < 3 −3 < + 1 < 3 −4 < < 2.

(−4,2) – интервал сходимости, = 3 – радиус сходимости.

При = 2 получим знакочередующийся ряд ∑∞=2(−1) 1 ,

который сходится условно как знакочередующийся ряд Лейбница.

Ответ: область сходимости данного ряда (−4,2], = 3.

Пример 3.

Найти область сходимости степенного ряда ∑∞=0 ! . Применим признак Даламбера:

Следовательно, область сходимости данного ряда – вся числовая ось. = ∞

Пример 4.

Найти область сходимости степенного ряда ∑∞=1(−1) +1 ∙ . Применим признак Коши:

который сходится условно как знакочередующийся ряд Лейбница.

Ответ: область сходимости данного ряда (−1,1], = 1.