3-й семестр / Лекции / 06 - презентация

Пример 5.

Найти область сходимости степенного ряда ∑∞=1 22 . Применим признак Коши:

Ответ: область сходимости данного ряда [−1,1], = 1.

Пример 6.

Лейбница, сходится.

= 0. ∑∞=1 2 – расходится (гармонический ряд). Ответ: область сходимости данного ряда [−4,0], = 2.

Пример 7.

Ответ: область сходимости данного ряда [52 , 72], = 12.

5.3. Равномерная сходимость степенного ряда, его почленное интегрирование и дифференцирование

Теорема 2 (о равномерной сходимости степенного ряда).

принадлежащий этому интервалу. Обозначим 0 = {| |, | |}. Тогда для всех [ , ] будет выполняться неравенство | | < | 0|. Степенной ряд сходится абсолютно в точке 0, т.к. 0

(− , ). Кроме того: | | ≤ | 0 |.

Т.е. степенной ряд мажорируется на отрезке [ , ] сходящимся положительным числовым рядом, а, значит, согласно теореме Вейерштрасса, сходится на этом отрезке равномерно.

Теорема доказана.

Степенные ряды обладают свойствами равномерно сходящихся функциональных рядов.

1). Сумма степенного ряда непрерывна на любом отрезке, принадлежащем интервалу сходимости, а, значит, непрерывна на всем интервале.

2). Интеграл от суммы степенного ряда ( ) на любом отрезке, принадлежащем интервалу сходимости, равен сумме ряда, полученного из данного степенного ряда путем почленного интегрирования на том же отрезке:

∫ ( ) = ∫ (∑∞=0 ) = ∑∞=0 ∫ .

Если в качестве отрезка интегрирования взять отрезок [0, ], где(− , ), то равенство приобретает вид:

т.е. в результате почленного интегрирования степенного ряда на отрезке [0, ] получается также степенной ряд. Пользуясь, например, признаком Даламбера, можно показать, что радиус сходимости полученного ряда совпадает с радиусом сходимости исходного ряда.

означает, что сумма степенного ряда дифференцируема на интервале сходимости, и производная суммы равна сумме ряда из производных.

Замечание. Почленное дифференцирование можно применить повторно к ряду из производных первого порядка, второго и т.д.. Значит, сумма степенного ряда имеет внутри интервала сходимости производные всех порядков.

Замечание. При почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда интервал сходимости сохраняется. Сходимость на концах интервала может появляться или исчезать.

Пример 8. Найти сумму ряда ∑∞=1(−1) +1 ∙ .

Данный ряд сходится на промежутке (−1,1]. Обозначим ( ) его сумму и применим теорему о почленном дифференцировании:

′( ) = ∑∞=1(−1) +1 ∙ −1 = ∑∞=0(−1) ∙ = 1+1 .

Полученный в результате почленного дифференцирования степенной ряд является суммой геометрической прогрессии и сходится на интервале (−1,1).

∫ ′( ) = ( ) − (0) = ∫ 1 = ln(1 + ).

0 0 1+

Пример 9. Найти сумму ряда ∑∞=0( + 1) ∙ .

Данный ряд сходится на интервале (−1,1). Обозначим ( ) его

сумму и применим теорему о почленном интегрировании:

∫0 ( ) = ∑∞=0 +1 = ∑∞=1 = 1− .

Полученный в результате почленного интегрирования степенной ряд является суммой геометрической прогрессии и сходится на интервале (−1,1).

Разбор примерного варианта контрольной работы №1

Вариант 0