Sbor_z_u_m (1)
.pdf
Когда дана любая система уравнений, в первую очередь желательно выяснить, а нельзя ли ее как-нибудь СРАЗУ упростить? Анализируя уравнения системы, замечаем, что второе уравнение системы можно разделить на 2, что мы и делаем:
Справка: математический знак |
обозначает «из этого следует это», он часто |
используется в ходе решения задач. |
|
Теперь анализируем уравнения, нам нужно выразить какую-нибудь переменную через остальные. Какое уравнение выбрать? Наверное, Вы уже догадались, что проще всего для этой цели взять первое уравнение системы:
Здесь без разницы, какую переменную выражать, можно было с таким же успехом выразить A или B.
Далее, выражение для C подставляем во второе и третье уравнения системы:
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
Третье уравнение делим на 2:
Из второго уравнения выразим B и подставим в третьей уравнение:
41
Практически всё готово, из третьего уравнения находим: 4A+4=0 => A =-1. Из второго уравнения: B = A – 4 = -1 - 4 = -5. Из первого уравнения: C = 1+5 = 6.
Ответ: A =-1; B = -5; C = 6.
Проверка: Подставим найденные значения переменных в левую часть каждого уравнения системы:
1) |
|
2) |
|
3) |
. Получены соответствующие правые части |
уравнений. Таким образом, решение найдено. |
|
Пример 3:
Решить систему линейных уравнений с 4 неизвестными
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
3.2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы
В ходе решения систем линейных уравнений нужно стараться использовать не «школьный метод», а метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы. Почему? Это экономит время и упрощает вычисления, как сейчас увидите.
Пример 4:
Решить систему линейных уравнений:
Мы взяли ту же систему, что и в первом примере.
Анализируя систему уравнений, замечаем, что коэффициенты при переменной y одинаковы по модулю и противоположны по знаку (–1 и 1). В такой ситуации уравнения можно сложить почленно:
42
Действия, обведенные красным цветом, выполняются МЫСЛЕННО. Как видите, в результате почленного сложения у нас пропала переменная y.
В этом и состоит суть метода – избавиться от одной из переменных.
Теперь всё просто: 
– подставляем в первое уравнение системы (можно и во второе, но это не так выгодно – там числа больше):
.
В чистовом оформлении решение должно выглядеть примерно так:
Ответ: x = -4, y = 1.
Пример 5:
Решить систему линейных уравнений:
В данном примере можно использовать «школьный» метод, но большой минус состоит в том, что когда мы будем выражать какую-либо переменную из любого уравнения, то получим решение в обыкновенных дробях. А возня с дробями займет время, к тому же, если у Вас не «набита рука» на действиях с дробями, то велика вероятность допустить ошибку.
Поэтому целесообразно использовать почленное сложение (вычитание) уравнений. Анализируем коэффициенты при соответствующих переменных:
Как видим, числа в парах (3 и 4), (4 и –3) – разные, поэтому, если сложить (вычесть) уравнения прямо сейчас, то от переменной мы не избавимся. Хотелось бы видеть в одной из пар одинаковые по модулю числа, например, 20 и 20 либо 20 и –20.
Будем рассматривать коэффициенты при переменной x:
Подбираем такое число, которое делилось бы и на 3 и на 4, причем оно должно быть как можно меньше. В математике такое число называется наименьшим общим кратным. Если Вы затрудняетесь с подбором, просто перемножьте коэффициенты: 3∙4 = 12.
Далее первое уравнение умножаем на число
.
Второе уравнение умножаем на число 
. В результате система придет к виду:
Вот теперь из первого уравнения почленно вычитаем второе.
43
На всякий случай приведём еще раз действия, которые проводятся мысленно:
Следует отметить, что можно было бы сделать и наоборот – из второго уравнения вычесть первое, это ничего не меняет. Начисто запишем:
.
Теперь подставим вычисленное значение переменной (y) в одно из уравнений системы. Например, в первое:
.
Ответ: 
.
Решим систему другим способом. Рассмотрим коэффициенты при переменной (y):
.
Очевидно, что вместо пары коэффициентов (4 и –3) нам нужно получить 12 и –12. Для этого первое уравнение умножаем на 3, второе уравнение умножаем на 4:
.
Почленно складываем уравнения и находим значения переменных:
Ответ:
Пример 6:
Решить систему линейных уравнений:
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
3.3. Решение системы по правилу Крамера
Ранее мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Далее разберём правило Крамера и решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод).
Для того, чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите раздел Вычисление определителей.
44
Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!
Во-первых, пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера.
Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.
Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!
Рассмотрим систему уравнений
.
На первом шаге вычислим определитель, который называют главным определителем системы.
.
Если 
, то система имеет бесконечно много решений или не имеет решений (несовместна).
В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса. Если 
, то система имеет единственное решение, и для нахождения двух неизвестных мы должны вычислить еще два определителя:
и |
. |
На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой |
|
D с соответствующими индексами. Корни уравнения находим по формулам: |
|
, |
. |
Пример 7: |
|
Решить систему линейных уравнений |
|
.
Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему мы взяли из эконометрической задачи.
Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби. Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера. Прежде всего, вычислим определитель системы:
,
значит, система имеет единственное решение. Вычислим ещё два определителя:
;
45
;
Ответ: 
, 
Как видите, корни получились иррациональными, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики. Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс.
Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий: «Δ ≠ 0 , значит, система имеет единственное решение». В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.
Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе:
подставляем приближенные значения 
и 
в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.
Пример 8:
Решить систему по формулам Крамера. Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:
Находим главный определитель системы:
. Если D = 0, то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.
Если D ≠ 0, то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, |
, |
И, наконец, ответ рассчитывается по формулам: 
, 
, 
.
46
Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на
два».
|
s |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Здесь столбец свободных членов |
s |
2 |
|
последовательно «прогуливается» слева направо |
|
|
|
|
|
|
s3 |
|
|
|
по столбцам главного определителя.
Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по такому же принципу.
Пример 9:
Решить систему по формулам Крамера.
.
Решение: Вычислим определитель системы
, - значит, система имеет
единственное решение.
47
Ответ: 
.
Время от времени встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:
Здесь в первом уравнении отсутствует переменная 
, во втором – переменная 
. В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель, в данном случае он имеет вид:
.
Здесь на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Примечание: Определители рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой есть ноль, или максимальное число нулей, так как вычислений получается меньше.
Пример 10:
Решить систему по формулам Крамера.
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
3.4. Решение системы с помощью обратной матрицы
Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение.
Пример 11:
Решить систему с матричным методом
.
Решение: Запишем систему в форме матричного произведения: 
, где
.
48
Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаем, всем понятно.
Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице 
нужно поставить нули.
Решение системы найдем по формуле: 
. Согласно формуле нам нужно найти
обратную матрицу |
и выполнить матричное умножение |
. |
|
|
|
|
|
Алгоритм нахождения обратной матрицы подробно разобран на уроке Вычисление |
|||||||
|
|
|
|
~T |
|
||
|
|
A 1 |
|
A |
|
||
обратной матрицы. Обратную матрицу найдем по формуле: |
|
A |
|
где |A| – определитель |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрицы A, Ã – матрица алгебраических дополнений исходной матрицы, а ÃT – присоединённая матрица, или транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A.
Сначала разбираемся с определителем:
.
Здесь определитель раскрыт по первой строке.
Внимание! Если A 0 , то обратной матрицы не существует, и решить систему
матричным методом невозможно. В этом случае для получения соотношений между неизвестными применяется метод исключения неизвестных (метод Гаусса).
Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров
.
Как мы уже обозначали, первая цифра в символе элемента – это номер строки, в которой находится данный элемент, а вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:
Так, например, элемент M13 находится на пересечении первой строки и третьего столбца, а элемент M32 находится на пересечении третей строки и второго столбца.
, |
, |
, |
, |
, |
, |
Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь мы их вычислили слева направо по строкам. Таким образом:
49
|
|
6 |
||
~ |
|
|
6 |
|
A |
|
|||
|
|
|
12 |
|
|
|
|
||
|
|
|
6 |
|
~ |
|
|
|
1 |
AT |
|
|||
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
1
11
18
6
11
1
– это матрица миноров соответствующих элементов матрицы A;
11
1 – матрица алгебраических дополнений, а
18
12
18 – транспонированная матрица алгебраических дополнений.
18
Выполненные шаги мы подробно разбирали на уроке Вычисление обратной матрицы. Теперь записываем обратную матрицу:
|
|
|
|
~ |
|
|
1 |
6 |
6 |
12 |
|
1 |
6 |
6 |
12 |
||||
|
A 1 |
AT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
11 18 |
|
|
|
|
1 11 |
18 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
60 |
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
1 |
18 |
|
|
|
11 |
1 |
18 |
||
Не вносим |
|
|
в |
матрицу, это |
серьезно |
|
затруднит |
дальнейшие вычисления. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
60 |
|
|
||||||||||||||||
Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления. Осталось провести матричное умножение.
Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь.
Пример 12:
Решить систему с помощью обратной матрицы.
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Ответы:
Пример 3: 
. Пример 6: 
.
Пример 8: 
, 
.
50