Sbor_z_u_m (1)

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!

Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым. В этом и состоит ценность теоремы Лапласа!

Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм. При этом матрица знаков у нас увеличится:

В следующем примере раскроем определитель по четвертому столбцу:

Пример:

А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: 18. Для тренировки лучше будет также раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке.

2.3. Вычисление обратной матрицы

Что такое обратная матрица? Прежде определим единичную матрицу.

Определение: Единичной матрицей n-го порядка называется такая матрица En, что для любой квадратной матрицы n-го порядка An выполняется соотношение

An En En An An .

Можно показать, что у единичной матрицы на главной диагонали расположены единицы, а все остальные элементы равны нулю.

Определение: Обратной матрицей для матрицы An с неравным нулю определителем (|An|0) называется такая матрица An-1, для которой выполняется соотношение

An An 1 An 1 An En .

32

Что необходимо знать и уметь для успешного изучения данного материала? Ответ. Вы должны уметь вычислять определители. Вы должны понимать, что такое матрица и уметь выполнять некоторые операции с матрицами.

Обратную матрицу A-1 можно найти по следующей формуле:

исходной матрицы, а ÃT – присоединённая матрица, или транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A.

(Обозначение Ã читаем «A с тильдой»)

Понятие обратной матрицы, как и понятие определителя, существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Обозначения: Как Вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается добавлением надстрочного индекса (-1) к символу исходной матрицы.

Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще, конечно, требуется найти обратную матрицу для матрицы «три на три», но мы настоятельно рекомендуем изучить более простое задание, чтобы усвоить общий принцип решения.

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы .

Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

1) Сначала находим определитель матрицы.

.

Важно! У матрицы, определитель которой равен НУЛЮ, обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ (Это следствие из основной теоремы об обратной матрице).

Врассматриваемом примере, как выяснилось, |A| = -2 0, а значит, всё в порядке.

2)Находим матрицу миноров элементов.

Матрица миноров элементов имеет такие же размеры, как и матрица A, то есть, в данном случае,

.

Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.

Возвращаемся к нашей матрице . Сначала рассмотрим левый верхний элемент

.

Как найти минор этого элемента матрицы?

33

А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшееся число в данном случае и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров:

Рассматриваем следующий элемент матрицы :

Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:

То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:

Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:

Готово.

– это и есть матрица миноров соответствующих элементов матрицы A.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений соответствующих элементов.

Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел:

. Именно у тех чисел, которые обведены в кружок! Получим:

34

B

алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы B.

1) Находим определитель матрицы.

Здесь определитель раскрыт по первой строке. Также не забываем, что |B| = -1 0, а значит, всё нормально – обратная матрица существует.

2) Находим матрицу миноров.

Матрица миноров имеет размерность «три на три» , и нам нужно найти девять чисел. Подробно рассмотрим парочку миноров.

Рассмотрим элемент матрицы в первой строке и первом столбце:

МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два»

Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента. Его нужно вычислить:

Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:

36

Проверка:

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Нахождение обратной матрицы для матрицы «четыре на четыре» не рассматриваем, так как такое задание может дать только преподаватель-садист. Это чтобы студент вычислил 1 определитель «четыре на четыре» и 16 определителей «три на три».

В ряде учебников, методических указаниях можно встретить несколько другой подход к нахождению обратной матрицы, но мы Вам рекомендуем пользоваться именно вышеизложенным алгоритмом решения. Почему? Потому что в этом случае вероятность запутаться в вычислениях и знаках – гораздо меньше.

3. Решение системы линейных уравнений

Рассмотрим методы решения системы линейных уравнений. В курсе высшей математики системы линейных уравнений требуется решать как в виде отдельных заданий, например, «Решить систему по формулам Крамера», так и в ходе решения остальных задач. С системами линейных уравнений приходиться иметь дело практически во всех разделах высшей математики.

Сначала немного теории. Что обозначает математическое слово «линейных»? Это значит, что в уравнениях системы все переменные (зависимые и независимые) входят в первой степени: x, y, z без всяких причудливых вещей в виде x2, y3, x4y, xyz, sin(xy),… и т.п., от которых

ввосторге бывают только участники математических олимпиад.

Ввысшей математике для обозначения переменных используются не только знакомые с

детства буквы x, y, z. Довольно популярный вариант – переменные с индексами: x1, x2, x3, … . Либо начальные буквы латинского алфавита, маленькие и большие: a, b, c, …, A, B, C. Нередко можно встретить греческие буквы: α, β, γ, δ, … – это известные многим «альфа, бета, гамма,

дельта». А также набор с индексами, скажем, с буквой «мю»: μ1, μ2, μ3. Но, как бы ни обозначались переменные, принципы, методы и способы решения системы линейных уравнений от этого не меняются.

38

Таким образом, если Вам встретится что-нибудь страшное в виде ξ11, ξ12, ξ13, … , то не спешите в страхе закрывать задачник. В конце концов, вместо ξ11 можно нарисовать солнце, вместо ξ12 – птичку, а вместо ξ13 – рожицу (преподавателя). И, как ни смешно, систему линейных уравнений с данными обозначениями тоже можно решить.

С системами линейных уравнений все знакомы из школьного курса математики. По сути дела, начинаем с повторения.

3.1. Решение системы линейных уравнений методом подстановки

Этот метод также можно назвать «школьным методом», или методом исключения неизвестных. Образно говоря, его можно также назвать «недоделанным методом Гаусса».

Пример 1:

Решить систему линейных уравнений:

.

Здесь дана система из двух уравнений с двумя неизвестными. Обратите внимание, что свободные (без x и y), члены (числа 5 и 7) расположены в левой части уравнения. Решение системы не зависит от того, где они изначально находятся, слева или справа. И эта запись не должна приводить в замешательство, при необходимости систему всегда можно записать, «как обычно»:

.

Не забываем, что при переносе слагаемого из части в часть у него нужно поменять знак. Что значит решить систему линейных уравнений?

Решить систему уравнений – значит найти такие значения переменных, которые обращают КАЖДОЕ уравнение системы в тождество (очевидное равенство).

Это утверждение справедливо для любых систем уравнений с любым количеством неизвестных.

Решаем. Из первого уравнения выражаем: x = y – 5.

Полученное выражение (x = y – 5) подставляем во второе уравнение:

2(y – 5) + y +7 = 0.

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим значение y:

Далее вспоминаем про то, от чего плясали: x = y – 5. Значение y нам уже известно, осталось найти: x = 1 – 5 = -4.

Ответ: x = -4, y = 1.

После того, как решена ЛЮБАЯ система уравнений ЛЮБЫМ способом, настоятельно рекомендуем выполнить проверку на черновике или калькуляторе.

1) Подставляем найденный ответ (x = -4, y = 1) в первое уравнение: -4-1+5 = 0; 0 = 0 – получено верное равенство.

39

2) Подставляем найденный ответ (x = -4, y = 1) во второе уравнение:

.

0 = 0 – получено верное равенство. Или, если говорить проще, «всё сошлось».

Рассмотренный способ решения не является единственным, из первого уравнения можно было выразить y, а не x. Можно, наоборот, что-нибудь выразить из второго уравнения (2x + y = -7) и подставить в первое уравнение. Кстати, заметьте, что в данном случае самый невыгодный из четырех способов – выразить x из второго уравнения:

Получаются дроби, а оно зачем? Есть более рациональное решение.

Тем не менее, в ряде случаев без дробей всё-таки не обойтись. В этой связи обращаем

Ваше внимание на то, КАК записано выражение. Не так: , и ни в коем случае не

так: .

Если в математике Вы имеете дело с дробными числами, то все вычисления старайтесь проводить в обыкновенных правильных и неправильных дробях.

Именно , а не или ! Запятую можно использовать лишь иногда, в частности, если 3,5 – это окончательный ответ какой-нибудь задачи, и с этим числом больше не нужно выполнять никаких действий.

Многие читатели наверняка подумали «да зачем такое подробное объяснение, как для класса коррекции, и так всё понятно». Ничего подобного, вроде бы такой простой школьный пример, а сколько ОЧЕНЬ важных выводов! Вот еще один:

«Любое задание следует стремиться выполнить самым рациональным способом».

Хотя бы потому, что это экономит время и нервы, а также снижает вероятность допустить ошибку.

Если в задаче по высшей математике Вам встретилась система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, то всегда можно использовать метод подстановки (если не указано, что систему нужно решить другим методом) Ни один преподаватель не снизит оценку за использование «школьного метода». Более того, в ряде случаев метод подстановки целесообразно использовать и при большем количестве переменных.

Пример 2:

Решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными

Похожая система уравнений часто возникает при использовании так называемого метода неопределенных коэффициентов, когда мы находим интеграл от дробнорациональной функции. Рассматриваемая система взята как раз оттуда.

При нахождении интеграла – цель быстро найти значения коэффициентов A, B, C, а не изощряться формулами Крамера, методом обратной матрицы и т.д. Поэтому, в данном случае уместен именно метод подстановки.

40