1.6. Проверка гипотезы о коэффициентах линейной регрессии

Коэффициент _j незначим, если _j =0, j=1, …, p; в этом случае зависимая переменная Y не зависит от j-го фактора (т. е. фактор незначим). Проверим гипотезу H_j: _j =0.

Оценка b_j параметра _j имеет (см. §1.4) нормальное распределение , причем дисперсия определяется как j-й диагональный элемент матрицы (31). Среднее квадратичное отклонение возмущений  обычно неизвестно, и в (31)  заменяют на s (см. формулу (32а)); выборочную дисперсию, полученную в результате такой замены, обозначим . Так как b_j и s независимы, то статистика

(36)

имеет распределение Стьюдента с n-p-1 степенями свободы.

Если гипотеза Н_j верна, то

, (36а)

и большие по модулю значения статистики (36а) маловероятны. Поэтому при выполнении неравенства

|T_j |> t(;n-p-1), (37)

где t(;n-p-1) – квантиль распределения Стьюдента уровня 1-, гипотезу Н_j следует отклонить. Вероятность ошибки первого рода при использовании правила (37) равна .

Проверяя неравенство (37), можно определить, какие факторы надо исключить из модели множественной регрессии как незначимые.

1.7. Интервальное оценивание коэффициентов уравнения регрессии

Так как статистика (36) имеет распределение Стьюдента с n-p-1 степенями свободы, то с вероятностью γ=1- справедливо соотношение:

Из последнего неравенства получаем интервальную оценку коэффициента регрессии _j надежности γ:

(38)

1.8. Интервальное оценивание дисперсии возмущений

Так как статистика S² (см. формулу (32)) имеет распределение хи-квадрат с n-p-1 степенями свободы, то с вероятностью γ=1- справедливо соотношение:

,

где через ²(z; n-p-1) обозначен квантиль уровня значимости 1-z распределения хи-квадрат.

Из последнего неравенства с учетом формулы (32) получаем доверительный интервал дисперсии возмущений ² надежности γ:

. (39)

1.9. О выборе линейной модели

В настоящем пособии рассматривается только линейная регрессионная модель. Такой выбор обусловлен, с одной стороны, ограниченным объемом практикума, а, с другой стороны, тем, что именно линейная модель чаще всего используется в эконометрических исследованиях.

Причины, по которым предположение о линейности связи Y(X) получило распространение, перечислены ниже (см., например, [5]):

1. Простота линейной модели.

2. Для линейной модели характерен меньший риск существенной ошибки прогноза.

3. Если двумерная случайная величина (X,Y) имеет нормальное распределение, то уравнение регрессии Y(X) является линейным (также как и уравнение регрессии X(Y)). Предположение о нормальном распределении часто является вполне обоснованным.

4. Многие традиционно используемые в эконометрике зависимости Y от X можно свести к линейной модели заменой переменных (например, для экспоненциальной зависимости достаточно вместо Y рассмотреть lnY).

5. Большинство «гладких» нелинейных зависимостей можно привести к линейным (Yf′X при малом X).

Насколько хорошо линейная (и любая другая) модель соответствует реальному объекту можно судить лишь продолжая наблюдения над объектом и сравнивая прогнозируемые значения величин с реальными. Математические аспекты анализа качества линейной модели рассматривались в §1.5.