Практическая работа №1. Решение задач эконометрики с применением парной линейной регрессии

1. Теоретическая часть

1.1. Уравнение парной линейной регрессии

Пусть функционирование экономического объекта описывается двумя числовыми переменными: входной переменной X и выходной переменной Y. Возможно, что X может изменяться (регулироваться) исследователем, а значе­ние Y получается как результат функционирования объекта.

Предполагается, что Y зависит от X практически линейно:

Y=mX+b+e, (1)

где m и b – детерминированные величины, e – случайная величина.

Выходная переменная Y называется зависимой переменной (или объяс­няемой переменной, или откликом). Входная переменная X называется незави­симой переменной (или объясняющей пере­менной, или фактором, или регрес­сором). Случайную величину e в экономет­рике называют возмущением.

Если математическое ожидание возмущения равно нулю, то функция

f(x)= mx+b

является условным математическим ожиданием Y при заданном значении X=x: f(x)≡M_xY. В этом случае соотношение (1) называется регрессионным уравне­нием. Чтобы подчеркнуть, что переменных всего две, а связь между ними ли­нейная, говорят, что (1) – уравнение парной линейной регрессии. Функция f(x) называется регрессией (линейной) Y по X (или функцией регрессии), а величины m и b – параметрами линейной регрессии (m – коэффициентом, b – сдвигом).

Пусть имеется n наблюдений величин X и Y: (x₁,y₁), (x₂,y₂), …, (x_n,y_n). Из соотношения (1) получаем: y_i=mx_i+b+ε_i, где ε_i – возмущение в i-ом наблюдении, i=1, …, n.

Требуется по наблюдениям найти в некотором смысле наилучшие оцен­ки и значений m и b. Если и получены, то оценку отклика по извест­ному значению фактора x можно определить по формуле:

. (2)

Формулу (2) можно использовать для прогноза значения отклика по инте­ресующему исследователя значению фактора.

1.2. Оценивание параметров уравнения линейной регрессии

Для получения оценок и традиционно используется метод наимень­ших квадратов (МНК). В соответствии с МНК значения и определяются из условия минимума остаточной суммы, которая равна сумме квадратов от­клонений наблюдений отклика y_i от оценок, полученных с помощью соотношения (2).

Обозначим: – оценка отклика для i-го наблюдения, i=1, …, n; – отклонение наблюдения отклика от оценки; величины e_i называются остатками; Q_e – остаточная сумма.

Графически определение остатков поясняется на рис. 1. Координатная плоскость, на которой нанесены точки наблюдений, назы­вается полем корреляции.

С учетом принятых обозначений остаточная сумма является суммой квадратов остатков и задается формулой:

(3)

Ясно, что чем меньше Q_e, тем лучше оценки соответствуют наблюдениям. Из необ­ходимого условия экстремума Q_e (равенства ча­стных производных по и нулю) можно получить формулы для оценок параметров уравнения линейной регрессии:

, (4)

. (5)

В формулах (4) и (5) использованы обозначения: – выборочная ковариация переменных X и Y, – выборочная дисперсия переменной X, и – выборочные средние значения X и Y, соответственно.

Определения перечисленных выше выборочных характеристик приводятся в Приложении. Вывод формул (4) и (5) дается, например, в [5].