05 Методы решения задач электростатики

________________________________________________________________________________

r) = 1/ r-r' = 1/R,

где r - радиус-вектор точки наблюдения, r' - переменная интегрирования. Примем во внимание формулу

где (r-r') - функция Дирака. Правильность этой формулы строго доказывается в математической физике. Однако проверка ее справедливости осуществляется очень просто. Функция в формуле (13) является решением уравнения Пуассона, если заряды расположены в конечной области пространства

Применим к обеим частям формулы (13) оператор . Тогда

Это равенство тождественно справедливо для всех (r), что возможно лишь при

когда равенство (14) сводится к определению функции:

(r) (r') (r-r')dV'.

В качестве в формуле (12) выберем потенциал, удовлетворяющий уравнению Пуассона.1 Тогда (12) принимает вид

где R= r-r' - расстояние между точкой наблюдения и текущей точкой интегрирования.

Эта формула выведена для точек, расположенных внутри объема V. Для точек вне объема правая часть (16) равна нулю.

Если ограничивающая объем поверхность S удаляется на бесконечность и электрическое поле при этом убывает быстрее чем 1/R, то поверхностный интеграл в выражении (16) стремится к нулю, и оно переходит в формулу (13).

На первый взгляд может показаться, что формула (15) дает решение уравнения Пуассона с заданными граничными условиями, поскольку значения функций и / n входят в уравнение только в точках границы объема. Однако такое заключение является неправильным. Дело в том, что на границе области для уравнения Пуассона нельзя задать одновременно и значения функции и ее производной по нормали / n, так как в этом случае задача оказывается переопределенной и, вообще говоря, не имеет решения. Поэтому формула (15) является интегральным уравнением.

________________________________________________________________________________

3. Метод изображений

Для расчета электростатических полей, ограниченных какой-либо проводящей поверхностью правильной формы или в которых есть граница геометрически правильной формы между двумя диэлектриками, широко применяют метод зеркальных изображений.

Это искусственный прием расчета, в котором кроме заданных зарядов вводят еще дополнительные заряды, величины и местоположение которых выбирают так, чтобы удовлетворить граничным условиям в поле.

Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости. Заряженная ось

( - заряд на единицу длины) расположена в диэлектрике параллельно поверхности проводящей среды.

h

Проводящая среда

h

m -

Проводящей средой может быть какая-либо металлическая стенка или, например, земля. Требуется определить характер поля в верхней полуплоскости (диэлектрике).

В результате электростатической индукции на поверхности проводящего тела выступают заряды. Плотность их меняется с изменением координаты х. Поле в диэлектрике создается не только заряженной осью, но и зарядами, выступившими на поверхности проводящего тела в результате электростатической индукции. Несмотря на то, что распределение зарядов на поверхности проводящей среды неизвестно, данную задачу легко можно решить по методу зеркальных изображений.

Поместим в точку m фиктивный заряд обратного знака (- ). Расстояние h от точки m до плоскости раздела сред такое же, как и расстояние от действительного заряда до плоскости раздела. В этом смысле осуществлено зеркальное изображение.

Убедимся, что напряженность поля от двух зарядов в любой точке границы раздела имеет только нормальную к границе составляющую и не имеет тангенциальной составляющей. Действительно, тангенциальные составляющие от обоих зарядов имеют противоположные направления и в сумме дают нуль в любой точке поверхности.

Найдем поле заряженной оси. Применяя теорему Гаусса, найдем напряженность электрического поля

где В – постоянная интегрирования.

Легко убедиться в том, что потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, для этого подставим полученное выражение в выражение для оператора Лапласа в цилиндрических координатах (зависимость от полярного угла и от координаты z отсутствует)

________________________________________________________________________________

Так как потенциал каждой из осей удовлетворяет уравнению Лапласа и одновременно удовлетворено граничное условие, то на основании теоремы единственности полученное решение является единственным.

4. Теорема взаимности

При расчетах электростатических полей часто используется следующее утверждение, носящее название теоремы взаимности. Потенциал поля, создаваемый в точке r2 зарядом q, находящимся в точке r1, равен потенциалу, создаваемому в точке r1 тем же зарядом, помещенным в точке r2.

В случае одного точечного заряда эта теорема имеет тривиальный характер

Теорема взаимности допускает обобщение. Пусть в точке r1 находится заряд q1, а в точке r2 заряд q2. Тогда имеем, очевидно:

q1 2 (r1) = q2 1 (r2).

Действительно, потенциал, создаваемый в точке r1 зарядом q1, равен

Пусть, наконец, имеется произвольное множество проводников, имеющих заряды qi при потенциалах i и заряды q'i при потенциалах 'i. Тогда имеет место равенство

qi i' = q'i i . i i

Доказательство проводится путем суммирования потенциалов точечных зарядов. Теорема взаимности весьма полезна для вычисления зарядов, индуцированных на

проводниках.

Пусть, например, к заземленной проводящей сфере радиуса a приближается заряд q и помещается в точке, отстоящей на расстоянии r от начала координат, находящегося в центре сферы. На ее поверхности индуцируется заряд (-q'), причем на основании теоремы взаимности

(a)q' = - q (r),

или

q' q (r) qa .(a) r

5. Метод конформных преобразований

Поле, зависящее только от двух декартовых координат х и у называется плоским. Удобным средством решения плоских задач является теория функций комплексного переменного. Основания для применения этой теории следующие.

Электростатическое поле в пустоте удовлетворяет двум уравнениям: rotE = 0 и divЕ =0,

________________________________________________________________________________

такое поле мы называли лапласовым. Первое из них позволяет ввести потенциал поля согласно уравнению Е = - grad . Второе же уравнение показывает, что наряду со скалярным потенциалом можно ввести и векторный потенциал поля А согласно E = rotA.

В плоском случае вектор Е лежит в плоскости ху и зависит только от этих двух координат. Соответственно, вектор А можно выбрать так, чтобы он был везде направлен

Но такие соотношения между производными функций и А с математической точки зрения совпадают с условиями Коши – Римана, выражающими тот факт, что комплексное выражение

функция w(z) имеет в каждой точке определенную производную, не зависящую от

направления, в котором оно берется. Так, дифференцируя в направлении оси X, найдем, что

Функция называется wкомплексным потенциалом.

Вектор напряженности поля Е коллинеарен вектору dr, который направлен по касательной к силовой линии. Векторы коллинеарны, если их проекции пропорциональны.

Силовые линии поля поэтому определяются уравнением

dx dy . EX EY

Выражая ЕХ и ЕУ через производные от А (EX A иEY A ), перепишем это уравнение

y x

в виде dx A dy A = 0, откуда А(х,у) = const. Таким образом, линии постоянных значений

x y

мнимой части функции w(z) представляют собой силовые линии поля. Линии же

постоянных значений ее вещественной части являются эквипотенциальными линиями. Взаимная ортогональность этих двух семейств линий обеспечивается соотношениями (17), согласно которым (ЕХЕу-ЕХЕУ=0)

________________________________________________________________________________

заряженной прямой нити (совпадающей с осью z). Напряженность этого поля дается формулами

где r, полярные координаты в плоскости ху, а - заряд единицы длины нити. Соответствующий комплексный потенциал

Напряженность поля находится как модуль производной комплексного потенциала

Если же заряженная нить проходит не через начало координат, а через точку (хо, уо ), то комплексный потенциал

w ln(z - z0 ), 2 0

где z0 x0 iy0 .

С математической точки зрения функциональное соотношение w=w(z)

осуществляет конформное отображение плоскости комплексного переменного z на

плоскость комплексного переменного w. Пусть С есть контур сечения проводника в

плоскости ху, а 0 – потенциал этого проводника. Тогда задача об определении поля,

создаваемого этим проводником, сводится к нахождению такой функции w(z), которая

плоскости w; тогда вещественная часть Rew дает потенциал рассматриваемого поля. Если

же функция w(z) отображает контур С на линию параллельную оси абсцисс, то потенциал

дается формулой Imw.

Иногда поступают по другому – находят, какому полю соответствует заданная аналитическая функция (комплексный потенциал). Ценность метода невелика, так как лишь в ряде случаев можно угадать комплексный потенциал. Необходимо отметить, что хотя техника комплексных переменных часто оказывается очень мощной, она ограничена только двумерными задачами; к тому же это все-таки косвенный метод.