09 Квазистационарные электромагнитные поля

Лекция № 9

Квазистационарные электромагнитные поля

1. Условия квазистационарности. Уравнения Максвелла в квазистационарной области

Квазистационарным (квазистатическим) называется электромагнитное поле, которое изменяется со временем достаточно медленно. Критерий "достаточной медленности" изменения поля можно сформулировать двумя способами.

1. Изменение электромагнитного поля происходит настолько медленно, что внутри проводящих сред можно пренебречь током смещения по сравнению с током проводимости:

Используя понятие времени релаксации среды М= 0 , условие (4) можно записать в виде

0

т.е. вплоть до частот колебаний, соответствующих ультрафиолетовой части спектра. Эта оценка приближенная, поскольку не учитывает инерционных свойств среды, которые играют существенную роль при очень больших частотах. Учет инерционных свойств вещества ослабляет эту оценку на несколько порядков, однако и после этого диапазон частот, при которых можно пренебрегать токами смещения по сравнению с токами проводимости, остается весьма большим.

2. Изменение поля происходит настолько медленно, что в пределах рассматриваемой области пространства можно пренебречь эффектами запаздывания, обусловленными тем, что скорость распространения электромагнитных волн - величина конечная. Изменение величин, характеризующих плоскую волну, распространяющуюся со скоростью с вдоль оси Х, можно представить в виде

Отсюда видно, что эффектом запаздывания можно пренебречь тогда, когда в правой части

(7)можно пренебречь зависимостью от х, т.е. когда соблюдается неравенство

1Будем использовать комплексную функцию, имея в виду, что измеряемыми физическими величинами в электродинамике являются действительные части соответствующих комплексных выражений. Обозначения мы оставим прежними во всех случаях, когда это не вызывает путаницы.

________________________________________________________________________________

где - длина волны, можно условие (8) переписать в виде

x<< (10)

т.е. считать скорость распространения электромагнитных волн бесконечной и пренебречь эффектами запаздывания можно, если линейные размеры области много меньше длины волны.

Если рассмотреть ток с частотой 50 Гц, то соответствующая ему длина волны равна нескольким тысячам километров и, следовательно, в этом случае эффектами запаздывания можно пренебречь даже для областей сравнительно больших размеров. Итак, к квазистационарным электромагнитным полям можно отнести большинство полей рассматриваемых в электротехнике, а также многие поля, встречающиеся в радиотехнике.

В зависимости от свойств проводников одно из условий квазистационарности обычно сильнее другого, и поэтому лишь одно из них является определяющим.

Уравнения Максвелла в квазистационарной области. При пренебрежении токами смещения уравнения Максвелла приобретают такой вид:

rotH = j, rotE= – B ,

Таким образом, в области квазистационарных полей электрическое и магнитное поля нельзя рассматривать раздельно. Однако между ними учитывается лишь главная связь, осуществляемая явлением электромагнитной индукции Фарадея. Связь, осуществляемая токами смещения, для квазистационарных полей не учитывается.

2. Напряженность электрического поля, выраженная через потенциалы

Напряженность электрического квазистационарного поля возникает не только за счет зарядов, но и за счет изменения магнитного поля. Она зависит и от скалярного, и от векторного потенциалов. Векторный потенциал вводится так же, как и в случае стационарных магнитных полей:

градиента от скалярного потенциала. Выражая в (13) вектор В с помощью векторного потенциала А, находим:

Здесь последовательность операций взятия производной по времени и вычисления ротора изменена. Переписав (14) в форме

________________________________________________________________________________

видим, что E A является потенциальным вектором и, следовательно, может быть

t

Вектор напряженности электрического поля выражается через скалярный и векторный потенциалы следующей формулой:

Второе слагаемое в правой части (17) учитывает закон электромагнитной индукции Фарадея и обуславливает непотенциальность электрического поля в квазистационарном случае. Благодаря наличию это члена работа, совершаемая полем при перемещении заряда между двумя точками зависит от формы пути.

3. Уравнения для скалярного и векторного потенциалов

Рассмотрим однородную среду. Подставляя в уравнение

(как и в случае статических полей). Это обусловлено тем, что для квазистационарных полей пренебрегают эффектом запаздывания и считают, что скалярный потенциал в данной точке пространства в некоторый момент времени определяется распределением зарядов во всем пространстве в тот же момент времени, причем характер движения зарядов никакого значения не имеет. Поэтому скалярный потенциал имеет такое же значение, как если бы все заряды были неподвижны.

При выводе уравнения для векторного потенциала все вычисления и рассуждения совершенно одинаковы с теми, которые были использованы в случае магнитостатического

4. Скин-эффект

Постоянный ток распределяется равномерно по поперечному сечению проводника. В случае переменных токов картина меняется - плотность тока у поверхности проводника увеличивается, а в центре - уменьшается. Это явление концентрации переменного тока у поверхности проводника называется скин-эффектом. Скин-эффект вызван электромагнитным взаимодействием элементов тока.

Рассмотрим элементарную теорию скин-эффекта. Для упрощения вычислений возьмем бесконечный однородный проводник, занимающий полупространство Y 0. Ток течет в направлении оси Х, совпадающей с плоскостью XZ. Исходные уравнения теории имеют вид:

________________________________________________________________________________

Для вывода уравнения для Н поступим по-другому. Возьмем ротор от обеих частей равенства (20)

rotrotH = rotE graddivH - 2H 0 H.

t

Так как divH=0, получаем

Уравнения (22) и (23) - это уравнения диффузии (параболические).

Исследуем случай, когда ток течет вдоль оси Х, причем jx=jx(y,t), jy=jz=0, поэтому по закону Ома имеем

Подставляя это выражение для Ex(y,t) в (25) и сокращая после дифференцирования по времени на множитель ei t, получаем:

Первое слагаемое в (29) неограниченно возрастает при y , что физически бессмысленно. Поэтому следует положить А0=0. С учетом этого выражение (29) принимает вид

Ex0 (y) B0e pye ipy .

Окончательно для Ex(y,t)=Ex0(y)ei t получается

________________________________________________________________________________

где j0 - амплитуда плотности тока на поверхности проводника. Плотность тока при удалении от поверхности проводника убывает по экспоненциальному закону e-py. На расстоянии

p (33)

от поверхности проводника плотность тока убывает в e (2,718281828) раз. Поэтому практически можно считать, что весь ток сосредоточен в поверхностном слое проводника толщиной . Принимая во внимание выражение для p2, можно формулу (33) представить в виде

где Т - период колебаний. Таким образом, с увеличением частоты переменного тока скинэффект увеличивается, и ток сосредотачивается во все более тонком слое вблизи поверхности проводника. Скин-эффект также усиливается с увеличением проводимости проводника и величины его магнитной проницаемости. Для металлов при оценке порядка величин можно считать =1, =107 Cм/м. Тогда при Т=10-3 с получаем мм. При периоде 10-5 с, что соответствует длине волны =сТ=3 км, весь ток течет в слое толщиной 0,5 мм. Приведенные оценки показывают, что в области достаточно больших частот скин-эффект приводит к существенному перераспределению тока по сечению проводника.

5. Закон электромагнитной индукции в движущихся проводниках

Пусть некоторый контур с током движется в магнитном поле. Скорость его движения будем считать постоянной в пространстве и намного меньшей по сравнению со скоростью света. Найдем изменение потока индукции через контур с проводником

d d BdS. dt dt

По определению

где В(t+ t) – вектор индукции, взятый в момент времени t+ t и S2 – поверхность, в которую переходит поверхность в момент t+ t. При этом векторы нормали к обеим поверхностям считаются ориентированными в одну сторону.

Применим теорему Остроградского-Гаусса к замкнутой поверхности, образованной поверхностями S1 и S2 и боковой поверхностью , образовавшейся при смещении контура

Знак минус связан с нашим выбором ориентации вектора нормали. Для боковой поверхностиможно написать очевидное равенство

dΣ [dl v] t ,

где v – скорость движения контура с током, dl – элемент его длины. Поэтому

где интеграл берется по кривой, ограничивающей поверхность S1 (т.е. по контуру с током). C точностью до бесконечно малых второго порядка можно написать:

________________________________________________________________________________

Из (36), (37) и (38) находим:

Формула (39) показывает, что изменение потока индукции через контур тока во времени может происходить либо вследствие изменения вектора индукции, либо при движении контура с током в заданном поле под углом к линиям поля не равным нулю (векторы v и В не должны быть параллельны).

Переходя во втором интеграле выражения (39) к интегрированию по поверхности с помощью теоремы Стокса имеем

Закон индукции Фарадея для движущегося контура с током запишем в виде

где Е – напряженность поля в линейном проводнике. В правой части стоит полное изменение потока индукции, независимо от причины, вызывающей это изменение.

Непрерывность тангенциальной составляющей вектора напряженности Е позволяет перейти от линейного проводника к соседнему с ним контуру, лежащему в среде вне проводника. При этом можно уже говорить не о движении контура с током, а о движении среды. Скорость v означает при этом скорость движения данной точки среды. В дифференциальном виде уравнение (41) можно записать

Edl rotEdS { B rot[v B]}dS

t

или

Субстанциональная производная определяет изменение индукции В в точке, перемещающейся со скоростью v. Тогда для величины rotE в движущейся системе получаем rotE B rot[v B] -dB

Важность закона индукции Фарадея в форме (42) и (43) связана с тем, что движение проводников в магнитном поле является на практике основным методом возбуждения э.д.с. в электрогенераторах.