04 Электростатическое поле

Лекция № 4

Электростатическое поле.

В этой лекции мы рассмотрим электростатическое поле в средах с диэлектрической проницаемостью, равной единице – вакууме и проводниках.

1. Уравнения электростатического поля

При постоянстве во времени всех величин уравнения Максвелла

Это означает, что в стационарном случае электрическое и магнитное поля теряют между собой связь и их можно рассматривать изолированно друг от друга. Уравнения (5) и

(6) показывают, что в этом случае единственным источником электрического поля являются заряды, а магнитного поля - токи проводимости. Область электростатических явлений характеризуется не только стационарностью электрических полей, но и отсутствием электрических токов. Поэтому уравнения электростатики (5) необходимо дополнить условием j = 0.

Итак, уравнения электростатического поля и граничные условия имеют такой вид rotE = 0, 0divE =

E2n - E1n = / 0 или D2n – D1n =

E2t = E1t

2. Проводники в электростатическом поле

Что произойдет, если проводник - тело, способное проводить электрический ток, - поместить в электростатическое поле? Так как в проводнике присутствуют "свободные заряды" (например, в металлах ими являются валентные электроны атомов), то в нем появится кратковременный электрический ток: на свободные заряды проводника будут действовать электрические силы, которые приведут их в движение. Однако в природе действует закон термодинамической необратимости, согласно которому в замкнутой системе любой макроскопический процесс, любое видимое движение рано или поздно прекратится и система должна прийти в состояние термодинамического равновесия. В результате ток должен прекратиться и через некоторое время (время релаксации) в проводнике наступит состояние равновесия зарядов. Если проводник представляет собой металлическое тело, то его свободные электроны придут в движение против силовых линий поля и будут накапливаться на его левом конце. Правый конец проводника потеряет часть электронов и окажется заряженным положительно. Заряды проводника разделятся, и у проводника появится собственное электрическое поле. Этот процесс называется электростатической индукцией.

Собственное поле проводника наложится на внешнее поле и тем самым исказит последнее. Каково же будет результирующее поле? Внутри проводника поле обязательно исчезнет. Это легко понять. Допустим обратное - предположим, что при равновесии зарядов внутри проводника его поле отлично от нуля. В проводнике имеются свободные заряды,

________________________________________________________________

которые под действием поля придут в движение, и равновесие будет нарушено. Следовательно, при равновесии зарядов, напряженность поля внутри проводника должна быть равна нулю. Это же следует из закона Ома в дифференциальной форме j E. Так как в электростатике j 0, из закона Ома видно, что Е = 0.

Точно так же можно доказать, что на поверхности проводника при равновесии зарядов силовые линии поля всегда перпендикулярны к его поверхности. Действительно, если бы это было не так, то отличная от нуля касательная составляющая поля вдоль поверхности привела бы заряды проводника в движение. Следовательно, поверхность проводника представляет собой эквипотенциальную поверхность, а весь проводник в электростатическом поле есть эквипотенциальное тело - все его точки имеют один и тот же потенциал.

А как распределены индуцированные заряды по проводнику? Внутри проводника заряды, как и поле, должны отсутствовать. Если бы внутри проводника образовался объемный заряд, то он создал бы вокруг себя электрическое поле, тогда как поле внутри проводника (как было только что доказано) отсутствует. Следовательно, не должно быть и зарядов.

Итак, весь заряд проводника в электростатическом поле скапливается на его поверхности. Более того, можно даже сказать, каким образом заряд распределяется по поверхности: поверхностная плотность заряда (заряд, приходящийся на единицу площади) "следует" за кривизной поверхности - в местах большей кривизны и плотность заряда будет больше.

Особенно большая кривизна характерна для остриев углов, кромок. В этих местах регистрируется и большая плотность заряда. А чем больше плотность заряда, тем больше напряженность поля вблизи них. Поэтому, на остриях и образуется сильное электрическое поле. Если проводник находится в воздухе при атмосферном давлении, то вблизи острия напряженность поля может быть весьма большой и наблюдается местный пробой воздуха. Возникает коронный разряд, вследствие которого заряды с проводника стекают.

Рассмотрим сплошной проводник в электростатическом поле. Внутри проводника поле отсутствует. Допустим, что из проводника изъята его внутренняя часть и образовалась полость. В точках полости как не было поля, так и не будет. Действительно, от того, что изъята часть проводника, где поля не было, ничего не изменится - поле не может возникнуть, т.к. заряды (создающие его) останутся на внешней поверхности на своих местах. Так что поле в полостях проводников, даже помещенных в электростатическое поле (как и в проводящих стенках) отсутствует. Этим обстоятельством обычно пользуются при устройстве

электростатической защиты.

Могут встретиться два случая защиты. Первый связан с тем, что бывает желательно в какой-то части пространства в сильном электростатическом поле создать область, где бы поле отсутствовало. Например, нужно "обезопасить" от воздействий поля какой-то прибор. Тогда экраном может служить металлический кожух, в который помещается прибор. Внутри кожуха поля нет. Другой случай связан с тем, что часто желательно поле заключить в определенные пространственные рамки, за пределами которых его напряженность равнялось бы нулю. Например, установку, создающую сильное поле, необходимо экранировать от обслуживающего персонала. В этом случае установку помещают внутри замкнутой металлической сетки, которую обязательно заземляют. Если заземление отсутствует, то напряженность поля будет равна нулю между прутьями сетки. Если же сетка заземлена, то индуцированный на ее внешней поверхности заряд стекает в Землю. Потенциал сетки будет равен потенциалу Земли. В пространстве вне области, ограниченной сеткой, поле, создаваемое установкой, практически отсутствует. Таким образом, можно говорить об обратимости электростатического экранирования. Эффективность электростатического экранирования не зависит от толщины экрана.

________________________________________________________________

3. Скалярный потенциал

то электростатическое поле будет потенциальным. Работа сил при перемещении заряда из одной точки в другую не зависит от пути, по которому производится это перемещение, а только от координат начальной и конечной точек пути. Это непосредственно следует из условия (7).

Работа сил поля при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому

где S - поверхность, натянутая на данный контур. В (8) использованы теорема Стокса и равенство (7). Пусть имеется два пути , связывающих точки А и В (рис.1)

C

В

двумя точками, обуславливает существование скалярной функции , разностью значений которой в конечной и начальной и точках пути, определяется эта работа. Такая скалярная функция называется скалярным потенциалом. Так как ротор градиента всегда равен нулю, то общим решением уравнения (7) является

причем знак минус возник исторически и никакого принципиального значения не имеет. Благодаря наличию знака минус в формуле (10) вектор напряженности электрического поля направлен в сторону уменьшения потенциала. На основании (10) выражение для интеграла

(9) может быть записано в виде

B B B

В (11) учтено, что

grad dl = dx + dy+ dz = d ,

x y z

поскольку компонентами вектора перемещения l являются dx, dy и dz. Равенство (11) показывает, что работа при перемещении заряда между двумя точками действительно выражается через разность потенциалов этих точек.

________________________________________________________________

Нормировка потенциала. Сам по себе потенциал является вспомогательной величиной. Его числовое значение не имеет какого-либо физического смысла и не может быть измерено. Физический смысл имеет лишь разность потенциалов, которая может быть определена экспериментально. Но эта разность не изменится, если к значению потенциала во всех точках пространства добавить одну и ту же постоянную величину, так как при вычислении разности потенциалов эта произвольная постоянная величина сократится. Поэтому потенциал определен лишь с точностью до аддитивной постоянной, которая может быть выбрана произвольно. Пользуясь этим, можно потенциал в любой фиксированной точке сделать равным наперед заданной величине. Тогда потенциал всех остальных точек оказывается определенным однозначно. Такая процедура придания однозначности скалярному потенциалу называется нормировкой потенциала. На практике в качестве условия нормировки потенциала обычно принимают равным нулю потенциал Земли. В теоретической физике обычно полагают, что потенциал равен нулю на бесконечности, если заряды расположены в конечной области пространства. При такой нормировке потенциал= 0 равенство (11) в случае, когда точка В находится в бесконечности, приводит к соотношению

где форма пути интегрирования является произвольной. Для практического вычисления этот путь целесообразно выбрать наиболее удобным для интегрирования.

Потенциал точечного заряда. Так как поле точечного заряда является сферически симметричным, потенциал также должен быть сферически симметричным. Он зависит только от расстояния r между точкой, в которой вычисляется потенциал, и точечным зарядом, который создает этот потенциал. Напряженность поля точечного заряда равна

При вычислении (13) в качестве пути интегрирования выбран путь вдоль радиус-вектора.

функцию координат, нетрудно определить напряженность электрического поля по формуле

(10).

Потенциал системы точечных зарядов. Если имеются два точечных заряда q1 и q2 каждый из которых в отдельности создает поля E1 и E2, то полная напряженность поля, образуемого двумя зарядами, равна

где Таким образом, потенциал суммы точечных зарядов равен сумме потенциалов, созданных каждым точечным зарядом в отдельности. Поэтому потенциал системы зарядов равен

где ri - расстояние от заряда qi до точки, в которой вычисляется потенциал Если координаты точки, где определяется потенциал обозначить (x, y, z), а координаты заряда qi - (xi, yi, zi), то последнюю формулу можно написать в виде

________________________________________________________________

Потенциал непрерывно распределенных зарядов. В случае непрерывного распределения зарядов с плотностью весь объем разбивают на бесконечно малые элементы, содержащие заряды. В пределе к этим зарядам можно применить формулу (16) для потенциала суммы точечных зарядов. В результате получаем

Если заряд распределен на поверхности S с поверхностной плотностью , то аналогично предыдущему случаю получаем выражение

Формула (17) для непрерывного распределения заряда получена обобщением формулы (16) для системы точечных зарядов, однако между этими формулами имеется существенное различие. Формула (16) для системы точечных зарядов дает для потенциала в точке нахождения заряда бесконечное значение (1/r при r 0). Потенциал же (17) имеет конечное значение во всех точках, если конечно и заряды расположены в конечной области пространства.

Здесь и в дальнейшем мы обозначаем буквой r радиус-вектор точки наблюдения, а буквой r' - радиус-вектор источника поля.

Бесконечность потенциала в точке нахождения точечного заряда обусловлена бесконечной величиной плотности заряда, так как мы принимаем объем, в котором расположен заряд, равным нулю. При переходе к непрерывному распределению заряда в бесконечно малом объеме находится бесконечно малый заряд, так что плотность заряда во всех точках конечна. Благодаря этому оказывается конечным во всех точках и потенциал .

Если имеются как поверхностные, так и объемные заряды, то формулы (17) и (18)

Однако такой путь прямого вычисления потенциала не всегда целесообразен, так как приводит зачастую к очень сложным вычислениям. С другой стороны, применимость этой формулы требует специального анализа, если заряды не расположены в конечной области пространства. В указанных случаях удобнее свести задачу о нахождении потенциала к решению дифференциального уравнения.

________________________________________________________________

4. Уравнения Пуассона и Лапласа

Для вывода дифференциального уравнения, которому подчиняется скалярный

2 2

Уравнение Пуассона по заданному распределению зарядов в пространстве позволяет найти потенциал в каждой точке поля. Зная можно по формуле (20) определить Е. Решение уравнения (21) имеет вид

где интегрирование распространяется на всю область, в которой расположены заряды, создающие поле. Это утверждение может быть доказано путем применения оператора Лапласа к интегралу (23). Заметим, что выражение (23) будет удовлетворять уравнению Пуассона и в том случае, если к нему добавить произвольную постоянную (т.к. const =0). Для того чтобы решение уравнения Пуассона было вполне определенным необходимо задать граничные условия. Решение (23) получается в том случае, если принять потенциал на бесконечности равным нулю. Можно показать, что решение уравнения Пуассона при заданных граничных условиях является единственным.

В физических приложениях часто приходится решать уравнение Пуассона в некоторой области V, ограниченной замкнутой поверхностью S. В этом случае положим

Как видно, (24) является решением уравнения Пуассона и удовлетворяет заданным граничным условиям на S, если 0 удовлетворяет уравнению Лапласа и определенным граничным условиям на S. В итоге задача сводится к решению уравнения Лапласа в области V при некоторых граничных условиях на S. В физических задачах могут встречаться три типа граничных условия:

1)на S задан потенциал задача Дирихле)

2)на S задана нормальная составляющая поля (nE) (задача Неймана)

3)на одной части S задан потенциал , а на другой ее части - нормальная составляющая поля (nE) (смешанная граничная задача).

5. Энергия поля в электростатике

Энергия электрического поля при наличии диэлектриков дается известной формулой

Для постоянного электрического поля E = - grad поэтому, пользуясь правилами векторного дифференцирования (div( a) = diva + agrad ), находим

ED= -D grad = divD - div( D).

________________________________________________________________

Заменим divD = и подставим в интеграл (25)

Последний интеграл в (27) обращается в нуль. По теореме Остроградского-Гаусса

div( D)dV= DndS,

V S

но на больших расстояниях от системы зарядов потенциал убывает не медленнее 1/r, а индукция Dn не медленнее 1/r2. Таким образом, подынтегральное выражение убывает как

1/r3, а поверхность S увеличивается как r2. В итоге DndS = 0.

S

Для полной энергии ограниченной электростатической системы получаем

Очевидно, что если в системе помимо объемных имеются и поверхностно распределенные заряды, то формула (28) получит вид

Мы получили два разных выражения для полной энергии (25) и (29). Эквивалентность этих выражений имеет место только в постоянных электрических полях и, как мы увидим в дальнейшем, нарушается в полях переменных. Переменное электрическое поле вообще не может быть охарактеризовано однозначным скалярным потенциалом , и поэтому формула (29) теряет смысл в переменном поле. Выражение же (25) для энергии электрического поля остается справедливым и в переменных полях. Поэтому оно должно рассматриваться как основное определение энергии электрического поля. Формула (29) выражает энергию через потенциалы и заряды, в этом отношении она соответствует духу теории действия на расстоянии. Напротив, формула (25) соответствует представлениям теории поля: электрическая энергия выражена через напряженность и индукцию электрического поля. Электрическая энергия распределена в пространстве с объемной плотностью

w = 1 ED.

2

В электростатике электрическое поле неотделимо от зарядов, являющихся его источниками. Переменные же электромагнитные поля могут существовать независимо от возбудивших их электрических зарядов. Заряды могут нейтрализоваться, а поле, которое они возбудили, может продолжать существовать в виде электромагнитных волн, которым присущ определенный запас энергии. Эта энергия не может быть представлена как потенциальная энергия зарядов, взаимодействующих на расстоянии, поскольку самих зарядов уже нет.

Плотность энергии электростатического поля равна 0E2/2. Если это выражение записать через потенциал, получим w = 0( )2/2. Потребуем, чтобы электростатическая энергия была минимальной для данного объема. Методы вариационного исчисления приводят к уравнению Лапласа. Таким образом, требование минимальности энергии приводит к уравнению Лапласа.

заряда dV равна произведению этого заряда на потенциал в этой же точке. Вся энергия поэтому равна интегралу от dV. Но, кроме этого, есть множитель 1/2. Он необходим, потому что энергия считается дважды. Взаимная энергия двух зарядов равна заряду одного из них на потенциал другого в этой точке, или заряду другого на потенциал от первого во второй точке. Так что для двух точечных зарядов можно написать

________________________________________________________________

Интеграл в (28) отвечает сложению обоих слагаемых в скобках выражения (30). Вот зачем нужен множитель 1/2.

Для потенциала, создаваемого системой точечных зарядов, получаем формулу

6. Бесконечность энергии электростатического поля точечного заряда в классической электродинамике.

Напряженность поля точечного заряда дается выражением

так что плотность энергии на расстоянии r от заряда равна

За элемент объема можно принять сферический слой толщиной dr, по площади равный 4 r2. Полная энергия будет

Верхний предел не приводит к затруднениям. Но раз заряд точечный, то мы намерены интегрировать до самого нуля (r=0), а это означает бесконечность в интеграле. Уравнение (32) утверждает, что в поле одного точечного заряда содержится бесконечно много энергии. Представление о том, что вся энергия сосредоточена в поле, не согласуется с предположением о существовании точечных зарядов. Трудность с расходимостью собственной энергии точечного заряда является фундаментальной и проявляется не только в классической электродинамике, но и в современной теории элементарных частиц. Для того чтобы избежать расходимости собственной энергии, следует считать элементарные частицы протяженными. Но это неизбежно означает наличие у них внутренней структуры, т.е. "неэлементарность".

"Единого способа избавиться от неопределенности энергии поля, по-видимому, вообще нет" (Р.Фейнман, Фейнмановские лекции по физике, вып.6 «Электродинамика», М.,

Мир, 1966, С.291).

Ввиду невозможности вычислить в рамках классической электродинамики собственную энергию системы точечных зарядов, мы должны ограничиться вычислением энергии их взаимодействия.

7.Классификация задач электростатики

Взависимости от того, что задано, и что определяют, задачи электростатики можно подразделить на три типа.

Задачи первого типа. По заданному закону распределения потенциала в пространстве найти распределение свободных зарядов, вызвавших поле. Это наиболее простой тип задач,

их можно решить с помощью уравнения Пуассона. Величина - / в данной точке согласно уравнению Пуассона равняется сумме частных производных второго порядка от

________________________________________________________________

Задачи второго типа. Задан закон распределения свободных зарядов в пространстве в функции координат (x, y, z). Найти закон изменения потенциала в пространстве (x, y, z). Эта задача значительно сложнее первой и состоит в решении дифференциального уравнения второго порядка в частных производных.

Задачи первого и второго типов практически встречаются редко, чаще имеют дело с задачами третьего типа.

Задачи третьего типа. Известны потенциалы (или полные заряды) и геометрия тел, создающих поле. Требуется найти закон изменения Е или во всех точках поля. Основная трудность задачи состоит в том, что хотя полные заряды тел известны, но плотность распределения зарядов на отдельных участках заряженного тел неизвестна. Решения уравнения Лапласа для отдельных областей должны быть согласованы друг с другом, т.е. на границе раздела двух сред с разными диэлектрическими проницаемостями должны выполняться граничные условия.

В простых случаях, характеризующихся наличием симметрии, задачи третьей группы можно решать с применением теоремы Гаусса в интегральной форме. В более сложных случаях аналитическое решение задач третьей группы получают, используя уравнение Лапласа.

Аналитические методы решения задач третьей группы могут быть подразделены на подгруппы. В первой из них производят интегрирование уравнения Лапласа без использования вспомогательных (искусственных приемов). Во второй используют различные искусственные приемы.